《从算式到方程》(2021年精品教案 (省一等奖)) (1)

本资源为2021年制作，是一线教师经过认真研究，综合教学中遇到的各种问题，总结而来。

是一个非常实用的资源。

资源以课本为依托，以教学经验为蓝本，经过二次备课和实践研究，将教学环节进一步细化，综合同课异构的课堂结构，统一编写而成。

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教学目标知识与技能： 1、通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步。

2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。

3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

过程与方法：通过实际问题，感受数学与生活的联系。

情感态度与价值观：培养学生热爱数学热爱生活的乐观人生态度。

重点列出方程，了解方程的概念；培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

难点从实际问题中寻找相等关系
教学环节导学过程学习过程二次备课
自主探究一、情景引入:
教师提出教科书第79
页的问题，同时出现以以下
图：
问题1：从上图中
你能获得哪些信息？
问题2：你会用算
术方法求出王家庄到翠湖
的距离吗？
()
5070
151070230
1513
+
⨯--=
-
()
5070
131050230
1513
+
⨯-+=
-
问题3：能否用方
程的知识来解决这个问题
呢？
可以提示学生从时
间、路程、速度、四地的
排列顺序等方面去考
虑。

〕
当学生列出不同算
式时，应让他们说明每个
式子的含义〕
教师可以在学生答复的
根底上做回忆小结：
1、问题涉及的三个
根本物理量及其关系；
2、从知的信息中可
以求出汽车的速度；
3、从路程的角度可以列
出不同的算式：
突出问题的应用
意识．教师首先用
一个学生感兴趣
的实际问题引人
课题，然后运用算
术的方法给出解
答。

在各环节的安
排上都设计成一
个个的问题，使学
生能围绕问题展
开思考、讨论，进
行学习．
尝
试应用如果设王家庄到翠湖的路
程为x千米，那么王家庄距
青山千米，王家庄距
教师引导学生设未
知数，并用含未知数的字
母表示有关的数量
教师引导学生寻找相等
秀水千米．
问题1:题目中的“汽车匀速行驶〞是什么意思？
问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其他各段路程的车速吗？
问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？关系，列出方程．
教师根据学生的答复情
况进行分析，如：
依据“王家庄至青山
路段的车速=王家庄至秀
水路段的车速〞可列方
程：
5070
35
x x
-+
=
依据“王家庄至青山路段
的车速=青山至秀水路段
的车速〞
可列方程：
505070
32
x-+
=
列算式：只用数，
表示计算程序，依
据是问题中的数
量关系；
列方程：可
用未知数，表示相
等关系，依据是问
题中的等量关系。

补
偿提高
对于上面的问题，你还
能列出其他方程吗？
如果能，你依据的是哪
个相等关系？
如果直接设元，
还可列方程：
70
60
5
x+
=
如果设王家庄到青山
的路程为x千米，那么可以
列方程：
120
60;
335
x x x+
==
依据各路段的车速相
等，也可以先求出汽车到达
翠湖的时刻：
55
2
126
⨯=，再列出方
程
5
3
6
x
+
=60
建议按以下的顺序进行：
〔1)学生独立思考；〔2)
小组合作交流；〔3〕全班
交流．
说明：要求出王家庄到
翠湖的路程，只要解出方
程中的x即可，我们在以
后几节课中再来学习．
作业布置
与
预习提纲必做题： P84.1 ，2 P85. 5.6..9
选做题：根据以下条件，用式表示问题的结果：（1）一打铅笔有12支，m打铅笔有多少支？
（2）某班有a名学生，要求平均每人展出4枚邮票，实际展出的邮标量比要求数多了15
枚，问该班共展出多少枚邮票？
2、根据以下条件列出方程：小青家3月份收入a元，
生活费花去了三分之一，还剩2400元，求三月份的收
入。

教
加深学生对知识的理解，促进学生对课堂的反思
学
札
记
学生对生活中的立体图形感兴趣，气氛极好，能认识圆柱、圆椎、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言简单描述它们的某些特征，也能分别举出生活中的物体哪些是属于圆柱、圆椎、正方体、长方体、棱柱、球．
本节课，课堂情境的创设，不仅存在于课堂的开始，而是充满课堂的整个时空，努力使之与生活、社会沟通.同时通过创设问题情境，营造活泼、热烈的气氛，辅以教师富有激情的语言穿插，学生在宽松、和谐的环境中进行讨论，发现问题并解决问题，使整个课堂完成了由感性到理性的知识升华过程.教师充分发挥其主导作用，激发了学生智慧的火花，用自己的激情和精心创设的情景为学生合作探究蓄势；又以清晰的头脑理清讨论的主线，呵护学生富有个性的创新，使学生享受了成功的快乐，体验了学习的乐趣. 这是本节课的成功所在.
这节课缺乏之处:学生在将几何体进行分类时，语言表达不够准确.“冰冻三尺，非一日之寒〞，学生的数学语言表达能力需要在今后的教学实践中努力培养.
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。

接着，我利用可操作材料，体会展开图与长方体、正方体的联系；通过立体与平面的有机结合，开展学生的空间观念。

这样由浅入深、由表及里地使学生逐步达教学目标的要求：闭上眼睛想象展开或折叠的过程，促进学生建立表象，帮助学生理解概念，开展空间观念。

但是，本节课仍存在着一些缺乏：学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原那么；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基此题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。

24.1 圆 (第3课时)
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，
要研究，要解决的问题．
二、探索新知
问题：如下图的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只
能在EF所在的⊙O其它位置射门，如下图的A、B、C点．通过观察，我们可
以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都
O B
A
C
与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且
它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1
2
∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=
12
∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．
〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=
1
2
∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
12∠AOD-12∠COD=1
2
∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，
因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD
三、稳固练习
O
B
A
C
D
1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展
例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为
R ，求证：
sin a A =sin b B =sin c C
=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c
C
=2R ，
即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c
R
，因此，十清楚显要在直角三
角形中进行．
证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D
在Rt △DBC 中，sinD=
BC DC ，即2R=sin a
A
同理可证：sin b B =2R ，sin c
C =2R
∴sin a A =sin b B =sin c
C
=2R
五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业
1．教材P95 综合运用9、10、 [教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。