人教A版数学必修一山东省德州市乐陵一中高一上学期期中试卷【解析版】.docx

2014-2015学年山东省德州市乐陵一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目）1．（5分）设集合A={x∈Q|x＞1}，则（）
A．∅∉ A B．C．D．⊆A
2．（5分）若幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，则α一定（）
A．α＞0 B．α＜0 C．α＞1 D．不确定
3．（5分）下列函数是偶函数的是（）
A．y=x3B．y=lg|x| C．D．y=x2，x∈[0，1]
4．（5分）已知集合A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为（）
A．18 B．30 C．D．28
5．（5分）f（x）=（x+1）的定义域是（）
A．（0，1）∪（1，4] B．[﹣1，1）∪（1，4] C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]
6．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625
f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260
f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
7．（5分）函数y=a﹣x和函数y=log a（﹣x）（a＞0，且a≠0）的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣4）的值是（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
9．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
10．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）
A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C． f（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为．
12．（5分）求满足＞16的x的取值集合是．
13．（5分）已知f（x）=a x（a＞0，a≠1）过点（2，9），则其反函数的解析式为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）给出下列结论：
①=±2；
②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；
③幂函数图象一定不过第四象限；
④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；
⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．
其中正确的序号是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B．
（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．
17．（12分）求值：
（1）
（2）log25．
18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
19．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．
20．（13分）已知奇函数f（x）=+a．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）证明x＞0时，f（x）＞0．
21．（14分）已知函数f（x）的值满足f（x）＞0（当x≠0时），对任意实数x、y都有f （xy）=f（x）•f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．
2014-2015学年山东省德州市乐陵一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目）1．（5分）设集合A={x∈Q|x＞1}，则（）
A．∅∉ A B．C．D．⊆A
考点：元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．
分析：根据题意，易得集合A的元素为全体大于1的有理数，据此分析选项，对于A，集合与集合之间符号有误，可得其错误，对于B，是无理数，可得B正确，同理可得C错误，对于D，是无理数，{}不是A的子集，则D错误，综合可得答案．
解答：解：根据题意，集合A的元素为全体大于1的有理数，
分析选项，对于A，集合与集合之间用⊆，应该为∅⊆A，则选项A错误，
对于B，是无理数，则，选项B正确，C错误，
对于D，是无理数，{}不是A的子集，D错误，
故选B．
点评：本题考查元素与集合关系的判断，注意集合A中的元素的特点．
2．（5分）若幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，则α一定（）
A．α＞0 B．α＜0 C．α＞1 D．不确定
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
分析：结合幂函数的性质，从而得到答案．
解答：解：∵幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，
∴α＞0，
故选：A．
点评：本题考查了幂函数的单调性，幂函数的性质，是一道基础题．
3．（5分）下列函数是偶函数的是（）
A．y=x3B．y=lg|x| C．D．y=x2，x∈[0，1] 考点：对数的运算性质；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：A．y=x3是奇函数；
B．由于lg|﹣x|=lg|x|，即可判断出；
C.为非奇非偶函数；
D．y=x2，x∈[0，1]，其定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数．
解答：解：A．y=x3是奇函数；
B．∵lg|﹣x|=lg|x|，∴函数y=lg|x|是偶函数；
C.为非奇非偶函数；
D．y=x2，x∈[0，1]，其定义域关于原点不对称，因此为非奇非偶函数．
故选：B．
点评：本题考查了函数奇偶性的判定方法，属于基础题．
4．（5分）已知集合A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b，若4和10的原象分别对应是6
和9，则19在f作用下的象为（）
A．18 B．30 C．D．28
考点：映射．
专题：计算题．
分析：根据映射的定义及条件若4和10的原象分别对应是6和9，解出a和b，然后再求解；
解答：解：∵集合A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b，
∴，解得，a=2，b=﹣8，
∴y=2x﹣8，
当x=19时，y=2×19﹣8=30，
故选B．
点评：此题主要考查映射与函数的定义及其应用，理解象与原象的定义，不要弄混淆了，此题是一道好题．
5．（5分）f（x）=（x+1）的定义域是（）
A．（0，1）∪（1，4] B．[﹣1，1）∪（1，4] C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]
考点：对数函数的定义域．
专题：计算题．
分析：直接由对数式的真数大于0求解分式不等式得答案．
解答：解：根据题意得，
解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤4
故f（x）=（x+1）的定义域是（﹣1，1）∪（1，4]．
故选：D．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．6．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625
f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260
f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
考点：二分法求方程的近似解．
专题：应用题．
分析：由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项
解答：解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，
故应选C
点评：本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题
7．（5分）函数y=a﹣x和函数y=log a（﹣x）（a＞0，且a≠0）的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的（）
A．B．C．D．
考点：对数函数的图像与性质；反函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：由指数函数和对数函数的图象和性质，分析四个答案中图象的正误，可得答案．解答：解：∵函数y=log a（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），
故函数y=log a（﹣x）的图象只能出现在第二，三象限，
故排除BC，
由AD中，函数y=log a（﹣x）均为减函数，
故a＞1，
此时函数y=a﹣x也为减函数，
故选：A
点评：本题考查的知识点是指数函数和对数函数的图象和性质，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．
8．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣4）的值是（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用分段函数的性质、对数函数的运算性质即可得出．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣4）=f（﹣1）=f（2）=log22=1．
则f（﹣4）=1．
故选：D．
点评：本题考查了分段函数的性质、对数函数的运算性质，属于基础题．
9．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
考点：指数函数单调性的应用．
专题：计算题．
分析：将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．
解答：解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，
由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1
∴b＜a＜c
故选C
点评：本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．
10．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）
A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C． f（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）
考点：函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．
专题：压轴题．
分析：因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）．
用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由f（x）﹣g（x）=e x
联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．
解答：解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x，
又∵f（x）﹣g（x）=e x
∴解得：，，
分析选项可得：
对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；
对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；
对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；
对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确；
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性性质的应用．另外还考查了指数函数的单调性．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为[﹣4，3]．
考点：函数的图象与图象变化．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的图象求函数的最大值和最小值，从而求得函数的值域．
解答：解：由函数的图象可得，当x=5时，函数取得最小值为﹣4，函数的最大值为3，故函数的值域为[﹣4，3]，
故答案为[﹣4，3]．
点评：本题主要考查函数的图象的特征，利用函数的图象求函数的最大值和最小值，属于基础题．
12．（5分）求满足＞16的x的取值集合是（﹣∞，1）．
考点：指数函数单调性的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数y=（）x的单调性可判断x﹣3＜﹣2，即可求解．
解答：解：∵＞16，
∴＞（）﹣2，
∵根据函数y=（）x的单调性可判断
∴x﹣3＜﹣2，
故：x＜1
故答案为：（﹣∞，1）
点评：本题考查了函数的单调性，求解不等式．
13．（5分）已知f（x）=a x（a＞0，a≠1）过点（2，9），则其反函数的解析式为y=log3x．考点：反函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质即可得出．
解答：解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1）过点（2，9），
∴9=a2，解得a=3．
∴f（x）=3x．
其反函数为：y=log3x．
故答案为：y=log3x．
点评：本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
考点：对数的运算性质；函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的奇偶性、单调性即可得出．
解答：解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．
当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg（﹣x），
由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．
综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
15．（5分）给出下列结论：
①=±2；
②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；
③幂函数图象一定不过第四象限；
④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；
⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．
其中正确的序号是③④．
考点：幂函数图象及其与指数的关系；指数函数的单调性与特殊点．
专题：函数的性质及应用．
分析：①=2；
②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，函数y（x）在[﹣1，0]内单调递减，在[0，2]内单调递增，即可得出值域．
③利用幂函数的性质可得：幂函数图象一定不过第四象限；
④由于当x=﹣1时，f（﹣1）=a0﹣2=﹣1，即可得出函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点；
⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．
解答：解：①=2，因此不正确；
②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，因此不正确；
③幂函数图象一定不过第四象限，正确；
④当x=﹣1时，f（﹣1）=a0﹣2=﹣1，∴函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），正确；
⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e），因此不正确．
综上可得：只有③④正确．
故答案为：③④．
点评：本题考查了根式的运算性质、指数函数与对数函数幂函数的单调性，考查了推理能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B．
（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：（1）由题意和并集、补集的运算先求出A∪B、C R A，再分别求出∁R（A∪B）及（∁A）∩B；
R
（2）由A∩C=A得A⊆C，根据子集的定义列出关于a的不等式组，求出a的范围．
解答：解：（1）因为A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，
所以A∪B={x|3＜x＜10}，C R A={x|x≤4或x≥10}，
则C R（A∪B）={x|x≤3或x≥10}，…（4分）
（C R A）∩B={x|7≤x＜10}，…（8分）
（2）由A∩C=A得，A⊆C，
所以，解得3≤a≤7…（12分）
点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及利用集合间的关系求参数的范围，属于基础题．
17．（12分）求值：
（1）
（2）log25．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：（1）指数幂的运算性质，求解．（2）对数的运算性质，求解．
解答：解：（1）
=
=；
（2）=；
所以（1）原式=，（2）原式=．
点评：本题考查了指数幂的运算性质，对数的运算性质，属于计算题，容易出错，做题要仔细认真．
18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）首先根据二次函数f（x）=ax2+bx得对称轴为x=﹣，再根据f（x﹣1）=f
（3﹣x）可得对称轴为x=1，∴2a+b=0．根据f（x）=2x有两等根，可得∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值需要对定义域进行讨论：分t＜1和t＞1两种情形．
解答：解：（1）∵方程f（x）=2x有两等根，ax2+（b﹣2）x=0有两等根，
∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2，
∵f（x﹣1）=f（3﹣x），∴=1，∴x=1是函数的对称轴，
又此函数图象的对称轴是直线x=﹣，∴﹣=1，∴a=﹣1，
故f（x）=﹣x2+2x；
（2）∵函数f（x）=﹣x2+2x对称轴为x=1，x∈[0，t]，
∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，∴f（x）max=﹣t2+2t，
当t＞1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）max=f（1）=1，
综上，．
点评：本题考查了待定系数法求解析式，以及分类讨论二次函数在闭区间上的最大值，属于基础题．
19．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题．
分析：先根据题意设t小时后蓄水池内水量为y吨，得出蓄水池中水量y关于t的函数关系式，再利用换元法求出此函数的最小值即可．本题解题过程中可设，从而
．转化成二次函数的最值问题求解．
解答：解：设t小时后蓄水池内水量为y吨，（1分）
根据题意，得（5分）
=
=
=（10分）
当，即t=5时，y取得最小值是50．（11分）
答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨．（12分）
点评：本小题主要考查建立函数关系、二次函数的性质等基础知识，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
20．（13分）已知奇函数f（x）=+a．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）证明x＞0时，f（x）＞0．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据2x﹣1≠0，即2x≠1，求解．（2）根据奇函数的概念，
，求解．
（3）根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．
解答：解：（1）∵2x﹣1≠0，即2x≠1，
∴x≠0
故f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（2）解：∵f（x）是奇函数
又∵
∴
∴
（3）证明：当x＞0时，2x＞1，
∴2x﹣1＞0
∴，
即x＞0时，f（x）＞0
点评：本题考查了函数的概念，性质，属于容易题．
21．（14分）已知函数f（x）的值满足f（x）＞0（当x≠0时），对任意实数x、y都有f （xy）=f（x）•f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）令x=y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）•f（﹣1），从而得到函数是偶函数；
（2）设0＜x1＜x2，∴，f（x1）=f=f•f（x2），从而f（x1）＜f（x2），进而求出函数的单调性；
（3）由题意得9=[f（3）]3，结合f（a+1）≤，得到f（a+1）≤f（3），从而得到答案．
解答：解：（1）令x=y=﹣1，f（1）=1，
令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）•f（﹣1），∵f（﹣1）=1，
∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：设0＜x1＜x2，∴，
f（x1）=f=f•f（x2），
，
∵，
∴f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（27）=9，
又f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]3，
∴9=[f（3）]3，∴f（3）=，
∵f（a+1）≤，∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，a+1，3都大于0，∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，故0≤a≤2．
点评：本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，是一道中档题．。