(五年高考)高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 文(全国通用)-人教版高三全册数学试题

第三节 简单的线性规划
考点一 不等式表示的平面区域
1.(2015·某某，10)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0
表示的平面区域为三角形，且其面积等于4
3
，
则m 的值为( )
A.－3
B.1
C.4
3
D.3
解析 不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标
y B ＝
2m ＋2
3
， C 点横坐标x C ＝－2m ，
∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝
（m ＋1）
2
3＝4
3，∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1. 答案 B
2.(2014·某某，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2
＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心
C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )
A.5
B.29
C.37
D.49
解析 平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6，1)处时，a 2
＋b 2
取得最大值62
＋12
＝37，故选C.
答案 C
3.(2012·某某，6)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，
则目标函数z ＝3x －y 的取值X
围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，－1 C.[－1，6] D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－6，32
解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1
表示的可行域如图所示，
由目标函数z ＝3x －y 得直线y ＝3x －z ，
当直线平移至点B (2，0)时，目标函数z ＝3x －y 取得最大值为6， 当直线平移至点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3时，目标函数z ＝3x －y 取得最小值为－32.
所以目标函数z ＝3x －y 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，6.
答案 A
4.(2012·某某，10)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，
则实数m 的
最大值为( )
A.－1
B.1
C.3
2
D.2
解析 如图所示，当直线x ＝m 经过点A (1，2)时，m 取最大值1.故选B.
答案 B
5.(2014·某某，13)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为________.
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝1
2
×2×(2＋2)＝4.
答案 4
6.(2013·某某，12)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，
x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________.
解析 画出约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数y ＝－x ＋z 经过边界上点(4，0)时，z ＝x ＋y 取得最大值4. 答案 4
考点二 简单的线性规划问题
1.(2015·某某，5)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，
则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )
A.－1
B.－2
C.－5
D.1
解析 (x ，y )在线性约束条件下的可行域如图， ∴z max ＝－2×1＋1＝－1.故选A.
答案 A
2.(2015·某某，11)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，
则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )
A.2
B.5
C.8
D.10
解析 如图，过点(4，－1)时，z 有最大值z max ＝2×4－3＝5.
答案 B
3.(2015·某某，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，
则目标函数z ＝3x ＋y 的最大
值为( )
A.7
B.8
C.9
D.14 解析
作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l 可知，经
过点A 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩
⎪⎨⎪⎧x －2＝0，
x ＋2y －8＝0，得A (2，3)，故z max ＝3×2＋3＝9.选C.
答案 C
4.(2015·某某，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)
1
2
8
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
解析 设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，
x ＋2y ≤8，
x ≥0，y ≥0，
目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：
可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，
3x ＋2y ＝12，得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万
元).
答案 D
5.(2015·某某，10)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.
若z ＝2x －y 的最大值为2，则
实数m 等于( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析 由图形知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，23，
B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B 点处取最大值2，
∴2＝42m －1－2m
2m －1.
∴m ＝1.
答案 C
6.(2014·某某，4)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，
则2x ＋y 的最大值是( )
A.2
B.4
C.7
D.8 解析 画出可行域如图(阴影部分).
设目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，
x －y ＝2解得A (3，1)，当目标函数过A (3，1)时取得最大值，
∴z max ＝2×3＋1＝7，故选C. 答案 C
7.(2014·新课标全国Ⅱ，9)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，
则z ＝x ＋2y 的最大值为
( )
A.8
B.7
C.2
D.1
解析 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，z 2为直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，要使z 最大，则需z
2最
大，所以当直线y ＝－12x ＋z
2经过点B (3，2)时，z 最大，最大值为3＋2×2＝7，故选B.
答案 B
8.(2014·某某，10)已知x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，
2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b
＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2
的最小值为( ) A.5 B.4 C. 5 D.2
解析 不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，
2x －y －3≥0表示的平面区域为图中的阴影部分.
由于a >0，b >0，所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (2，1)处取得最小值，即2a ＋b ＝2 5. 法一 a 2
＋b 2
＝a 2
＋(25－2a )2
＝5a 2
－85a ＋20＝(5a －4)2
＋4≥4，即a 2
＋b 2
的最小值为4. 法二 a 2＋b 2表示坐标原点与直线2a ＋b ＝25上的点之间的距离，故a 2＋b 2的最小值为
2522
＋1
2＝2，即a 2
＋b 2
的最小值为4.
答案 B
9.(2014·新课标全国Ⅰ，11)设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，
则a ＝( )
A.－5
B.3
C.－5或3
D.5或－3
解析 联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，
x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，
代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝
－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 答案 B
10.(2014·某某，4)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，
则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )
A.7
B.8
C.10
D.11
解析 由约束条件画出如图所示的可行域，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z
过点A 时，z 有最大值，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，
x ＋2y ＝8得A (4，2)，∴z max ＝2×4＋2＝10.故答案为C.
答案 C
11.(2013·新课标全国Ⅱ，3)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，
则z ＝2x －3y 的最小值是
( )
A.－7
B.－6
C.－5
D.－3
解析 画出可行域，化简目标函数得截距最小时z 最大，在点(3，4)取得.∴z min ＝2×3－3×4＝－6.
答案 B
12.(2013·某某，8)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，
x ≥0，y ≥0，
且z ＝5y －x 的最大值为a ，最
小值为b ，则a －b 的值是( )
A.48
B.30
C.24
D.16
解析 约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数y ＝15x ＋1
5z .经过点
(8，0)时，z ＝5y －x 取得最小值为b ＝－8，经过点(4，4)时取得最大值a ＝16，所以a －b ＝24. 答案 C
13.(2013·某某，9)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元
解析 设A 、B 两种型号的车辆的数量分别为x ，y ，
则x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，租金z ＝1 600x ＋2 400y .
即要求在可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，
y ≤x ＋7，
36x ＋60y ≥900，x ≥0，x ∈N ，y ＞0，y ∈N
内找出目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 的最小值.
作出可行域，如图，可以看出其三个顶点分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6).
由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过点P (5，12)时，可以取得最小值，即最小租金为1 600×5＋2 400×12＝36 800.故选C. 答案 C
14.(2011·某某，7)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，
则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的
最大值为( )
A.11
B.10 C
解析 可行域如图所示，当直线2x ＋3y ＋1＝z 经过点A (3，1)时，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.故选B.
答案 B
15.(2015·新课标全国Ⅰ，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，
则z ＝3x ＋y 的最大值
为________.
解析 x ，y 满足条件的可行域如图所示的阴影部分，当z ＝3x ＋y 过
A (1，1)时有最大值，z ＝4.
答案 4
16.(2015·新课标全国Ⅱ，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，
x －2y ＋1≤0，
则z ＝2x ＋y 的最大值为________. 解析 画出约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0
表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC .作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线z ＝x ＋y 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨
⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝2 即A (3，2)，故z 最大＝2×3＋2＝8.
答案 8
17.(2015·，13)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为
D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________.
解析 z ＝2x ＋3y ，化为y ＝－23x ＋13z ，当直线y ＝－23x ＋z
3在点A (2，1)处
时，z 取最大值，z ＝2×2＋3＝7.
答案 7
18.(2015·某某，12)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，
则3x ＋y 的最大值为________.
解析 作出约束条件表示的可行域如图所示：
易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)，将三个点的坐标依次代入3x ＋y ，求得的值分别为10，6，－6，比较可得3x ＋y 的最大值为10. 答案 10
19.(2014·某某，13)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，
则z ＝2x ＋y 的
最大值为________.
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A (1，1)，B (2，2)，C (3，1)，画出直线2x ＋y ＝0，平移直线2x ＋y ＝0可知，z 在点C (3，1)处取得最大值，所以z max ＝2×3＋1＝7.
答案 7
20.(2014·，13)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，
则z ＝3x ＋y 的最小值为________.
解析 根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0，1)时，z 取得最小值1.
答案 1
21.(2014·某某，12)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，
则x ＋y 的取值X 围是________.
解析 由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，(2，1)，代入z ＝x ＋y ，可得1≤z ≤3.
答案 [1，3]
22.(2013·大纲全国，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，
则z ＝－x ＋y 的最小值为
________.
解析 画出可行域如图所示.
画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3，3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.
答案 3
23.(2013·某某，13)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，
则x ＋y 的最大值为________.
解析 画出可行域，令z ＝x ＋y ，易知z 在A (4，2)处取得最大值6.]
答案 6。