9-1第九章 拉普拉斯变换
第九章 拉普拉斯变换
构造函数：
⎧2π f (t)e−st ,
g(t) = ⎨ ⎩ 0,
t > 0, s > s0 t<0
拉氏变换：
p = s + iσ
傅氏变换：
∫ ∫ ∞
F (s + iσ ) = e− pt f (t)dt =
1
∞
g (t )e−iσ t dt
0
2π −∞
∞
∫ g(t) = g(k)eiktdk
−∞
∫ g(k) =
∫t f (τ )dτ → F ( p)
0
p
例1：
f (t) = A
∫∞
F ( p) = Ae− ptdt =
A,
Re p > 0
0
p
例2：
f (t) = Aeαt
∫∞
F ( p) = e− pt Aeαt dt =
A , Re p > Reα.
0
p −α
例3：
f (t) = sin ωt
sin ωt = eiωt − e−iωt
2π i R→∞
t>0
例1：
F ( p) = 1 e−α p , α > 0
p
解：
∑ f (t) = res{F ( p)e pt} = res{ 1 e(−α +t) p} = θ (t − α )
p
p=0
∫ lim 1 e(−α +t) pdp = 0, t < α
p R→∞ CR
1
p3( p +α)
=
A p3
+
B p2
+
C p
+
第9章 拉普拉斯变换
特别地,当
f (0) f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0
时,
f ( n ) (t ) s n F ( s) ℒ
可以证明
( n ) (t ) s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
9.2.3 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t -1 F ( s ) ℒ 0 f (t )dt s
t
一般地
1 ℒ [ 0 dt 0 dt 0 f (t )dt ] s n F (s)
sin k t e - st dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 2 s k
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ
f (at ) 1 F s a a
ℒ
-1
s F ( a ) af (at )
9.2.2 微分性质 （1）象原函数的微分性质
k - st e cos k tdt s 0
k - 2 s
- st - st k e sin k tdt e cos k t 0 0
第九章 拉氏变换.
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
《拉普拉斯变换 》课件
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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《拉普拉斯变换》 PPT课件
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SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
信号与系统(奥本海默)chapter9-1
x(t ) e u(t ) e u(t )
2t
t
留数法（当 X ( s ) 是有理函数时）： 1. 求出 X ( s ) 的全部极点。
2. 求出 X (s)est 在 ROC 左边的所有极点处的留 数之和，它们构成了x(t ) 的因果部分。 3. 求出 X (s)est 在 ROC 右边的所有极点处的留 数之和，并加负号，它们构成了 x(t ) 的反因果 部分。
at st
0
0
( s a )t
1 dt Re[s] a sa
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并
非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上
的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称
st
st
显然当s
j 时，就是连续时间傅里叶变换。
一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t )e st dt
称为 x(t ) 的双边拉氏变换，其中 s j 。
s j 则有: X ( j ) x(t )e jt dt 若 0，
这就是 x(t ) 的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
比较 X ( s ) 和 X ( j )，显然有
X ( s)
s j
X ( j )
at x ( t ) e u(t ) u(t ) a 0 当 时， 1 Re[ s] 0 可知 u (t ) s
at x ( t ) e u(t ) 例2.
X ( s ) e e dt e
复变函数第九章拉式变换
δ函数的筛选性质 — — ∫ δ (t ) f (t )dt = f (0),
−∞
+∞
∫
∫
−∞
+∞
−∞
δ (t-t0 ) f (t )dt = f (t0 ) ,∫ δ (t ) f (t-t0 )dt = f (−t0 )
例1
求下列函数的拉普拉斯变换
0, t < 0 (1) u(t ) = ; (2) f (t ) = ekt ; (3) f (t ) = sin kt 1, t > 0
解：(1)
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = ∫
− st 0
+∞
+∞
0
1 − st +∞ e dt = e 0 s
( n = 1, 2,L ) ( Re( s ) > c )
特别当 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = L = f ( n −1) ( 0 ) = 0 时，有
Lf
(n )
( t )
= s n F (s )
此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程. 的代数方程.
例2
ε →0
类似地， 类似地，可以得到另外两个性质
δ函数的导数 — —
∫ ∫
解：
+∞
−∞
δ' (t ) f (t )dt = − f ' (0) ,
+∞
−∞
δ ( n ) (t ) f (t )dt = (−1) ( n ) f ( n ) (0)
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种常用于处理连续时间系统的数学工具，它将一个函数从时域（时间域）转换到频域（复频域），使得用复频率来研究连续时间系统变得更加方便。
拉普拉斯变换在信号处理、控制工程、通信系统等领域中都有广泛的应用。
设时域函数为f(t)，其中0≤t≤∞，则其拉普拉斯变换为F(s)，其中s为复变量。
拉普拉斯变换公式如下：F(s) = ∫[0,∞]f(t)e^(-st)dt通过拉普拉斯变换，我们可以将函数从时域转换到频域，可以得到函数在复频率域的频谱表示。
例如，对于一个连续时间系统的单位阶跃响应函数h(t)，我们可以通过拉普拉斯变换将其变换为H(s)，即H(s)=L[h(t)]。
1.时间平移定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
这个定理表示，如果时域函数f(t)右移或者左移a个单位，则其拉普拉斯变换在复频域中左移或者右移a个单位。
2.频率平移定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(st)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
这个定理表示，如果时域函数f(t)乘以指数函数e^(st)，则其拉普拉斯变换在复频域中右移s个单位。
3.初值定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(0+)的值等于F(∞)。
这个定理表示，拉普拉斯变换函数在复频域中的极限为时域函数在时刻t=0+的值。
4.终值定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则lim(s→0)sF(s) =lim(t→∞)f(t)。
这个定理表示，拉普拉斯变换函数在复频域中的极限为时域函数在过去无限远到未来无限远的时刻t=∞处的值。
5.单位脉冲响应函数与系统频率响应函数的关系：设h(t)为系统的单位脉冲响应函数，即系统在输入为单位脉冲信号时的响应。
如果H(s)为系统的拉普拉斯变换，即H(s)=L[h(t)]，则系统的频率响应函数为H(jω)，即将变量s替换为jω，其中j为虚数单位，ω为频率。
第9章拉氏变换1.
0
e(s1)t dt e(s1)t
0
e e ( 1)t jt
0
s 1
s 1
才能收敛，收
敛域见图９.2。
etu(t) 1 s 1
Re{s} 1
j
-1 0
图９.2 例９.2的收敛域
• 说明
• 1 两个不同信号的拉氏变换完全相同， 仅仅是收敛域不同。收敛域很重要，拉 氏变换与收敛域一起才可以与信号建立 一一对应关系
于 Re{s} 的取值。 • 把能使X(s)存在的s的取值范围称做拉氏
变换的收敛域，用s平面的阴影区表示
• 通过举例说明，注意信号特性
例1 考查右边信号 x(t) etu(t) 的拉氏 变换及其收敛域
X (s) x(t)est dt etest dt
0
e(s1)t dt e(s1)t e( 1)te jt
其中，
y(t) H (s)est
H (s) h(t)estdt
• H(s)称为单位冲击响应为h(t)的双边拉普 拉斯变换，若 s j 为虚数时，成为傅
立叶变换
• 信号的x(t)双边拉普拉斯变换定义为
X (s) x(t)estdt
简称拉氏变换，表示为 L{x(t)}， S通常为 复数（s j ）
第九章 拉普拉斯变换
• ９.0 引言 • 线性时不变系统分析时，将输入信号用基
本信号的线性组合表示，根据系统对基本 信号的响应，利用线性时不变系统的性质， 求出整个系统的响应。 • 连续时间系统傅立叶分析时，复指数信号e jt 是基本信号。
• 简化的系统响应的求解，还揭示了信号 与系统的频率特性，建立了信号频谱的 概念，对传输中的失真，滤波，调制， 抽样，系统性质等有了更进一步的了解
拉普拉斯变换教案
第九章--拉普拉斯变换教案(总36页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。
会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。
(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。
(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。
为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
第九章拉普拉斯变换ppt课件
X (s)N D ((s s))(sa 1)s( N a (2 s )) (sa M )
A 1 A 2 A M M A i
( s a 1 )( s a 2 ) ( s a M ) i 1( s a i)
L1{Ai /(sai)}
Aieaitu(t) Res{}ai
Aieaitu(t) Res{}ai
jIm {s}
3
×2 × × -1/2
Re{s}
-3 -2
× 13 2
编辑版pppt
22
例： x(t)2etu(t)e2tu(t)
求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。
解：
L { 2 e tu (t)}2 s 1
R O C :R e { s} 1
L { e 2 tu ( t)} 1 R O C :R e { s} 2
能应用拉氏变换分析具体电路。
编辑版pppt
1
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标
s j 表示的复数平面，简称为S平面或
连续时间复频域（s域）.
e • S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 s t , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
编辑版pppt
编辑版pppt
32
设：X (s)(s 1 )1 (s2 ) 2 (s) 1
对X(s) 进行部分分式展开：
X(s)
1
A B 1 1
(s1)(s2) (s1) (s2) (s 1) (s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
etu(t)
L 1 , s1
Re{s}1
-2
x
x-1
e 2tu (t )
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1 = s−a
Re [s] > Re [a]
的拉普拉斯象函数。 例2 求单位冲激函数δ (t)的拉普拉斯象函数。 的拉普拉斯象函数
解:
￡[δ ( t )] = ∫ δ ( t )e dt = e
− st 0−
∞
− st
t =0
=1
收敛域包括整个s平面。 收敛域包括整个 平面。 平面 的拉普拉斯象函数。 例3 求单位阶函数ε ( t )的拉普拉斯象函数。 的拉普拉斯象函数 解:
￡[ε ( t )] = ∫ ε ( t )e dt
− st 0−
∞ − st − st ∞
∞
e = ∫ e dt = 0− −s
0−
1 = s
收敛轴与s平面的虚轴重合 收敛轴与 平面的虚轴重合
因果函数(causal function) 因果函数 f ( t )存在于 >0的时间区间 存在于t 的时间区间 存在于 如果f(t)存在于整个时间区间，则用f(t)ε(t) 表示因果函数 如果 存在于整个时间区间，则用 存在于整个时间区间
F ( s) = ∫
∞ 0−
f ( t )e dt
− st
=￡[f(t)]
第九章 拉普拉斯变换
本章主要内容： 本章主要内容：
拉普拉斯变换及其性质， 拉普拉斯变换及其性质，进行拉普拉斯反变换的部分分式 展开法 ，线性动态电路方程的拉普拉斯变换解法 。
重点： 重点：
拉普拉斯变换， 拉普拉斯变换，进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法 ， 线性动态电路方程的拉普拉斯变换解法 。
§9−1 拉普拉Байду номын сангаас变换 −
∞
求单边指数函数e 为复常数） 求单边指数函数 atε(t) （a为复常数）的拉普拉斯象函数。 为复常数 的拉普拉斯象函数。
F ( s ) = ∫ e ε ( t )e dt
at − st 0−
∞
=∫ e
0−
−( s −a )t
ε ( t )dt
∞ 0−
1 −( s − a )t e = − (s − a)
s = σ + jω , 称为复频率 称为复频率(complex frequency) 拉普拉斯正变换 (Laplace transform)
1 c + j∞ f (t ) = F ( s )e st ds = ￡−1[F(s)] 2π j ∫ c − j∞
拉普拉斯反变换 (inverse Laplace transform) 例1 解：