备战2020年高考数学一轮复习第8单元不等式单元训练B卷理含解析

单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）
第8单元 不等式
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2ab b <
B ．2ab a >
C ．
11a b
< D ．
11a b
> 2．不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A ．()2,2-
B ．[]2,2-
C ．
D ．
3．不等式1
10x
-
>成立的充分不必要条件是（ ） A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
4．已知函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2
－2x －3)f ′(x )>0的解集 为（ ）
A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，2)
C ．(－∞，－1)∪(－1，0)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)
5．若0,0a
b >>，且1a b +=，则11a b
+的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．已知,x y 满足约束条件033x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，且不等式20x y m -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．3m ≥
B ．1m ≥
C ．0m ≥
D ．3m ≥-
7．给出平面区域如图所示，若目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值
范围为（ ）
A ．103
a <<
B ．13
a ≥
C ．13
a >
D ．102
a <<
8．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则42a b -的取值范围是（ ） A ．[3,12]
B ．[5,10]
C ．[6,12]
D ．[3,10]
9．函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上（其中,0m n >），则n
m 2
1+的最小值等于（ ） A ．10
B ．8
C ．6
D ．4 10．已知函数若对任意
，总有
或成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知函数()221,
03,0
x
x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若不等式
恒成立，则实数的取值范围
为（ ）
A ．
B ．
此
卷
只
装
订
不密
封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
C ．
D ．
12．已知在
中，角，，所对的边分别为，，，且
，点为其外接圆的圆心．
已知15BO AC =⋅，则当角取到最大值时的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若x ，y 满足约束条件230
2600
x y x y x y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则2y z x +=的取值范围为______．
14．不等式(
)
2
2
3
0x a a x a -++>的解集为{
}
2
|x x a x a <>或，则实数a 的取值范围______． 15．a ，b 为正数，给出下列命题： ①若a 2
﹣b 2
＝1，则1a b -<；②若
11
1b a
-=，则1a b -<； ③1a b
e e -=，则1a b -<；④若ln ln 1a b -=，则1a b -<． 其中真命题的有_____． 16．若正数满足
，则
11
2a b a b
+++的最小值为_________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）已知234x y <<<<，求x y -，2x y -，
x
y
各自的取值范围． （2）若关于x 的不等式20ax x b -+>的解集为3,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求不等式210bx ax +-≤的解集．
18．（12分）已知函数(
)
2
2
()1f x ax a x a =-++，(0)a >． （1）解关于x 的不等式()0f x <； （2）若()0f x >在[2,3]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．
19．（12分）已知x，y满足约束条件
20
40 250 x y
x y
x y
-+≥
+
⎧
-≥
--≤
⎪
⎨
⎪
⎩
．
（1）若取得最小值的最优解有无数多个，求m的值；（2）求的取值范围．20．（12分）若，且．
（1）求
33
11
a b
+的最小值；
（2）是否存在，使得
11
23
a b
+
的值为
3
21．（12分）私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元举办一所中学，为了考虑社会 效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）： 市场调查表
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取元，高中每生每年可收取元．因生源和环境等条件限制，办学规模以
至
个班为宜（含
个与
个）．教师实行聘任制．初、高中的教育周期均为三年．请你合理地安排
招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？
22．（12分）已知函数()322f x x x =-+-． （1）求不等式()5f x <的解集；
（2）已知()f x 的最小值为t ，正实数a ，b 满足2a b t +=，求14
225
a b +++的最小值．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）
第8单元 不等式 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】若0a b <<，则20ab b >>，故A 错；20a ab >>，故B 错；
110b a
a b ab
--=>，故选D ． 2．【答案】B 【解析】因为不等式的解集为空集，
所以
的图象与轴没有交点或有唯一交点， 有一个或没有实根，2
40Δm ∴=-≤，解得
，
的取值范围是[]2,2-，故选B ． 3．【答案】A
【解析】由110x
->，可得1
1x <，解得
或，
据此可得不等式1
10x
->成立的充分不必要条件是．本题选择A 选项．
4．【答案】D
【解析】由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )>0；在(－1，1)上，f ′(x )<0．
由(x 2
－2x －3)f ′(x )>0，得()202_30f x x x ⎧'>->⎪⎨⎪⎩或()20
230
f x x x ⎧'<--<⎪⎨⎪⎩，
即1131x x x x ><->⎩
<-⎧⎨或或或1113x x -<<-<<⎧⎨⎩，
所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)． 5．【答案】C
【解析】因为1a b +=，所以
()11112b a
a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭． 因为0,0a b >>，所以0b
a >，0a b
>．
所以
2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时等号成立．
所以
11222=4b a a b a b
+=++≥+，即11
a b +的最小值为4．
6．【答案】A
【解析】由约束条件0
33x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，作出可行域如图，
令2t x y =-，平移直线2y x t =-，则当直线2y x t =-过点()0,3A 时， 直线2y x t =-的纵截距最大，t 有最小值3-，
因为不等式20x y m -+≥恒成立，所以30m -+≥，即3m ≥，故选A ．
7．【答案】C
【解析】画出已知约束条件的可行域为ABC △内部(包括边界)，如图， 易知当0a =时，不符合题意；
当0a >时，由目标函数z x ay =+，得1z
y x a a
=-+， 则由题意得130AC k a
-=<-<，故1
3a >．
综上所述，1
3
a >，答案C ． 8．【答案】B
【解析】令()()42a b x a b y a b -=-++，即4
2x y x y +=⎧⎨-+=-⎩
，解得x ＝3，y ＝1，
即()()423a b a b y a b -=-++．
∵12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，∴()336a b ≤-≤，∴()()5310a b a b ≤-++≤， 故选B ．
9．【答案】D
【解析】由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22=+n m ，
则12112141(2)44222n m m n m n m n m n ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝1
(44)42
=+=， 当且仅当
4n m m n =，即1n =，12
m =等号成立，所以12
m n +的最小值为4，故选D ．
10．【答案】C 【解析】由，得，故对
时，
不成立，
从而对任意恒成立， 由于
对任意
恒成立，如图所示，
则必满足0
131a a a <<--<⎧⎪
⎨⎪⎩
，解得
．则实数a 的取值范围是．故选C ．
11．【答案】D
【解析】由函数的解析式易知
恒成立，则()221,0
3,0
x
x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，
原问题等价于函数的图像恒不在函数图像的下方，
绘制函数
的图像，如图所示，
函数表示过定点
的直线，很明显
时不满足题意，
时满足题意，
当
时，考查如图所示的临界条件，即直线与二次函数相切，
，设切点坐标为
，切线的斜率为
，
则切线方程过点
，
即
，
数形结合可知
，故
，此时切线的斜率
，
故实数的取值范围为．故选D ．
12．【答案】A 【解析】设
中点为，
则()()()
12BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-2
21122
BC BA =-， 2211
1522
a c ∴-=，即，
由知角为锐角，
故2222301301cos 21212126
a b c b C b ab b b +-+⎛⎫===+≥⨯=
⎪⎝⎭， 当且仅当30b b
=
，即时，最小，
又
在0,
π2⎛⎫
⎪⎝
⎭
递减，故最大． 此时恰有，即
为直角三角形，1
2
ABC S bc =
=△
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】约束条件所表示的平面区域如下图：
由目标函数可得，Z 表示点()0,2-的斜率，因此min 02233Z +==，max 12
31
Z +==． 14．【答案】[0,1]
【解析】由题意可得2a 和a 是方程(
)
2
2
3
0x a a x a -++=的根， 又()
()2
2
232410Δa a
a a a =+-=-≥，所以20a a -≤，故01a ≤≤．
15．【答案】①③
【解析】①中，a ，b 中至少有一个大于等于1，则1a b +>，由()()221a b a b a b -=+-=， 所以1a b -<，故①正确； ②中
111a b b a ab --==，只需a b ab -=即可，取a =2，23b =，满足上式但4
13
a b -=>，故②错；
③构造函数x
y x e =-，0x >，10x
y e '=-<，函数单调递减， ∵1a
b
e e -=，∴a b >，∴a
b
a e
b e <--， ∴1a
b
a b e e -<-=，故③正确；
④若ln ln 1a b -=，则a e =，1b =，11a b e -=->，故④不正确， 故答案为①③． 16．【答案】
【解析】由题意，设2m a b
n a b =+=+⎧⎨⎩
，解得
，其中
，
因为，所以，整理得，
又由
(
)11111122332n m m n a b a b m n m n m n ⎛⎫+=+=++=++≥+ ⎪++⎝
⎭3=+
当且仅当2n m
m n
=，即等号成立，所以
11
2a b a b
+++的最小值为
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）20x y -<-<，023x y <-<，
112x y <<；（2）113x x ⎧⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
．
【解析】（1）因为234x y <<<<，所以426x <<，43y -<-<-，
11143
y <<， 所以20x y -<-<，023x y <-<，
112x
y
<<． （2）由题意可知方程2
0ax x b -+=的两根为3,12-，所以3
112312
a b a -+=-⨯=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得23a b =-=⎧⎨
⎩， 不等式210bx ax +-≤，即为23210x x --≤，其解集为113x x ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
． 18．【答案】（1）见解析；（2）1,22a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
【解析】（1）因为()0f x <，即(1)()0(0)ax x a a --<>， ①当01a <<时，1a a <
，不等式的解集为1|x a x a ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭；
②当1a =时，1
a a
=，不等式的解集为∅； ③当1a >时，1a a >
，不等式的解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
． （2）要使(
)
2
2
()10f x ax a x a =-++>在[2,3]x ∈上恒成立， 只须[2,3]x ∈时，()f x 的最小值大于零，
①当21
32a a
+>
，03a <<-
或3a >+
()2(3)9310f a a a =-++>，1
33
a <<，无解；
②因为()()2
2
2
2
2
1410a a a =+-=-≥，所以当21
232a a
+≤≤时，题目条件不成立；
③当2122a a
+<
，22a <<时，()2
(2)4210f a a a =-++>，122a <<，
解得
1
22
a <<， 综上所述1
,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
． 19．【答案】（1）
或
；（2）
．
【解析】作出约束条件的可行域如图：
由图形可知：，，，
取得最小值的最优解有无数多个，若
，则
；
若，则
，故，
所以
或
．
的几何意义是可行域内的点与
的距离的平方，
由图可得2
min
8z ==；2max ||130z OB ==，
．
20．【答案】（1）
；（2）不存在
，使得
11
23a b
+
【解析】（1）
，(
)a b ∴+=，
，
，，当且仅当
时等号，
≥12ab ∴≤
，3311a b ∴+≥=≥
33
11
a b ∴
+≥
时取等号．
（2）
，11233a b ∴
+≥=≥
， 6233
<，不存在，使得
11
2
3a b
+的值为3．
21．【答案】
．
【解析】设初中编制为个班，高中编制为个班．则依题意有203028581200,x y x y x y ⎧≤+≤⎪
+≤⎨⎪∈⎩
*N （*），
又设年利润为万元，那么()()506001000040150010000 2.44s x y x y =⨯÷+⨯÷--，
即
．
在直角坐标系中作出（*）所表示的可行域，如图所示．
问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线
在轴上的截距的最大值，
如图，虚线所示的为一组斜率为－0．3的直线， 显然当直线过图中的点时，纵截距1
2
y s =
取最大值． 解联立方程组3028581200x y x y +=+=⎧⎨⎩，得18
12
x y ==⎧⎨⎩，
将
代入
中得
．
设经过年可收回投资，则第年利润为
（万
元）； 第年利润为
（万元），
以后每年的利润均为万元，故依题意应有．
解得
．
答：学校规模以初中个班、高中个班为宜，第一年初中招生个班约人，高中招生
个班约
，从第三年开始年利润为
万元，约经过
年可以收回全部投资．
22．【答案】（1）243x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
；
（2）98． 【解析】（1）不等式()5f x <等价于33245x x x >⎧⎨-+-<⎩或233245x x x ≤≤⎧⎨-+-<⎩或2
3245x x x <⎧⎨--+<⎩
，
解得34x <<或23x ≤≤或
2
23
x <<， 所以不等式()5f x <的解集为243x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
． （2）因为37,2
()1,
2337,3x x f x x x x x -+<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
，所以min ()(2)1f x f ==， 所以1
2
y
x t =
+，21a b +=，则2258a b +++=， 1411
4(225)2258225a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭
(1588191414822588
b a a b ++⎛⎫=+++≥++= ⎪++⎝⎭， 当且仅当
588225b a a b ++=++，21a b +=，即1
3
a b ==时取等号，
所以
14225a b +++的最小值为98
．。