反证法练习题

2.2.2反证法

双基达标(限时20分钟)

1．实数a，b，c不全为0等价于

()．A．a，b，c均不为0

B．a，b，c中至多有一个为0

C．a，b，c中至少有一个为0

D．a，b，c中至少有一个不为0

解析不全为0即至少有一个不为0，故选D.

答案 D

2．下列命题错误的是

()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数

解析a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案 D

3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1

y，b＝y＋

1

z，c＝z＋

1

x，则a，b，c三个数

()．

A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，

而a＋b＋c＝x＋1

x＋y＋

1

y＋z＋

1

z≥6②，

显然①，②矛盾，所以C正确．答案 C

4．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是________．答案a≤b

5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．答案至少有两个内角是直角

6．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．

证明假设AC⊥平面SOB，如图，

∵直线SO在平面SOB内，

∴SO⊥AC.

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.

∴SO⊥平面SAB.

∴平面SAB∥底面圆O.

这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．

综合提高(限时25分钟)

7．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则

()．A．a，b都与l相交

B．a，b中至少有一条与l相交

C．a，b中至多有一条与l相交

D．a，b都不与l相交

解析逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B.

答案 B

8．以下各数不能构成等差数列的是

()．A．3,4,5 B.2，3， 5

C．3,6,9 D.2，2， 2

解析假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．

答案 B

9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

10．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．

解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．

答案a，b不全为0

11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．

证明设f(x)＝0有一个整数根k，则

a k2＋

b k＝－c.①

又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，

∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；

当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，

则a k2＋b k＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．

12．(创新拓展)已知函数f(x)＝

x2

2x－2

，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求

证：当n≥2时，恒有a n<3成立．

证明法一(直接证法)由a n

＋1＝f(a n)得a n＋1＝

a2n

2a n－2

，

∴

1

a n＋1

＝－

2

a2n＋

2

a n＝－2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

a n－

1

2

2＋

1

2≤

1

2，

∴a n

＋1

<0或a n＋1≥2；(1)若a n＋1<0，则a n＋1<0<3，

∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；

(2)若a n ＋1≥2，

则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)

≤0，

∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；

由a 2＝a 212a 1－2＝168－2

＝83<3，

可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．

综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立． 法二 (用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，

则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2

，

∴当n ≥2时，a n ＋1a n

＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，

∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；

而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2

＝83<3，

∴当n ≥2时，a n <3；

这与假设矛盾，故假设不成立， ∴当n ≥2时，恒有a n <3成立．