现代数学基础学习报告

现代数学基础学习报告
可修复人机系统解的渐进稳定性分析
摘要
本文通过分析系统算子的谱点分布及特征值,进而得出系统解的渐进稳定性. 人机系统是对作为主体的人和所控制的各种类型机器的统称.伴随着人机系统的日益庞大和复杂化,新技术及新材料应用速度不断加快,而预防设备并没有及时达到完善.因此,提高系统(包括硬件系统和软件系统)的稳定性一直以来都是工程学及其相应学科所迫切需要解决的问题.文献[1]中作者运用Laplace变换研究此模型,并指出了系统稳定解的存在性.文献[2]证明了系统动态非负解是存在唯一的.
1泛函分析介绍
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。

比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。

它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。

n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。

比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。

一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。

现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。

因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。

古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。

他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。

它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。

今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。

近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。

它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

2 泛函分析在可修复人机系统解的渐进稳定性分析中的应用
2.1 系统描述
此系统用以下积分微分方程描述
25000013
10112022(t)
(t)(t)()p (,t);
(1)(t)
(t)a (t);(2)(t)
(t)a (t);(3)
i i i i i i dp a p u p u x x dx dt dp p p dt dp p p dt
λη+∞===-++=-=-∑∑⎰
[]3122
40250
012345(,)
(,)
(,)u (),j 3,4,5;
(4)
(0,t)(t)p (t),(0,t)(t),
(0,t)(t),
(5)(0)1,p (0)p (0)0;(6)p (,0)p (,0)(,0)0.
(7)
i i j j j j c i i h i i p x t p x t p x t x t x
p p p p p p p x x p x λλλ==∂∂+
=-=∂∂=+========∑∑
其中，令
00112201122c h c h c h a a u a u λλλη
λλλλλλ
=+++=+++=+++ 系统中相关符号的物理意义:
0i =：运行部件和储备部件处于完好状态;
1i =：运行部件因硬件错误故障,储备部件进入工作状态; 2i =：储备部件故障,运行部件进入工作状态;
3i =：运行部件和储备部件因硬件故障而导致系统处于故障状态; 4i =：系统由于常规故障处于故障状态; 5i =:系统由于临界人为错误处于故障状态;
λ:运行部件的硬件故障率; η:储备部件的硬件故障率;
i
c λ:系统从状态i 到状态4的常规故障率(i 0,1,2)=;
i
h λ:系统从状态i 到状态5的临界人为错误故障率(i 0,1,2)=;
u i :系统处于状态的定常硬件修复率(i 1,2)=；
u ()j x :系统处于状态的修复率,已修时间为x (j 3,4,5)=;
p (t)i :系统处于t 时刻系统处于状态i 的概率(i 0,1,2)=;
p (,t)j x :系统处于状态j 且已修时间为x 的概率(j 3,4,5)=. 设(X,)⋅是一个Banach 空间，并取算子A 的定义域
]1()22
4500(),0,,3,4,5
(0),(0)D(A)i i x c i h i
i i i i dp x p X p L i dx
p p p p λλ==∈∈+∞=⎡⎣==⎧⎪=⎨∑∑⎪⎩
()i p x 是绝对连续函数，且满足312p (0)p p λλ=+，则系统(1)(7)-可描述为X 空间中一个抽象的Cauchy 问题，
012345(t)
(A E)P(t),t 0p(0)(1,0,0,0,0,0),
p(t)(p (t),p (t),p (t),p (,t),p (,t),p (,t))T T
dP dx
x x x =+≥==
2.2 系统解的渐进稳定性
引理1 设部件的寿命为非负连续型随机变量X ，其分布函数为()G x ，密度函数为g()x ，且 0()0
(0)0,()x
u d G e dx xg x dx ζζ
+∞+∞-
⎰==⎰
⎰则 证明 据可靠性理论
[][]0
()00
1(),()1(),
x
u d e dx G x dx xg x dx G x dx ζζ+∞
+∞-
+∞
+∞
⎰=-=-⎰⎰⎰
⎰
因此可得 0()0
()x
u d e dx xg x dx ζζ
+∞+∞-
⎰=⎰
⎰. 引理 2 ,P Q R ∃∈使得0()0
x
u d e dx P ζζ
+∞
-
⎰≤⎰
，对任意的0()0
0x
u d t e dx Q ζζ+∞-⎰≥≤⎰ 证明 由引理1，部件的平均寿命为
0()0
(X)()x
u d E e dx xg x dx ζζ
+∞+∞-
⎰==⎰
⎰ 因部件的寿命X 的期望存在，故存在M R ∈，使得0()0
x
u d e dx P ζζ
+∞
-
⎰≤⎰用()t G x 表示部件剩余寿命分布，则
{}()G (t )
(),X ,0
1(t )
t G x t G x P X
t t x G +-=-≥=
≥-
()G (t )
1()1(t )
t G x t G x G +--=
-
因此工作t 时间后，部件的平均剩余寿命为
{}
[]0000
001G(t)
1(t)
()()()0
(t),X ()
()1()1G(t)
1(t)1G()1(t)x
t
x
t t t t t x G t u d u d t u d m E X t t xdG x G x dx
G x dx
x dx
G x dx G e
dx
e e dx e dx ζζζζζζ+∞+∞
+∞
+∞
+∞-++∞
-+∞
-
-+∞
-
=-≥===--+=--=-=⎰⎰=⎰=⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
故存在N R ∈，使得对0,t ∀≥()0
x
t u d e dx Q ζζ
+∞
-
⎰≤⎰
定理 1 0是算子A E +的简单本征值
定理 2 {},Re 0,C γγγ∈≥∈≠或=ia,a R,a 0在算子A E +的预解集中。

引理1、引理2及定理1、定理2说明了系统算子的特征值和谱点分布.为了说明系统的稳定性,下面求解系统算子的共轭算子并加以证明.
定理3 A+E 的共轭算子(A+E)*的0特征值对应的特征向量(1,1,1,1,1,1)T Q = 证明 (A+E)*Q=
1
1
2
2
1
13243540100010(())0000
1010(u ())
()00
001010(u ())()00
00
c h
c
h a u a d u x u dx d x u x dx d x u x dx ληλλλλ-⎡⎤⎢
⎥
⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥-
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
-⎢⎥
⎣
⎦
定理的证。

定理 4 设p *是相应于0本征值对应的一个非负本征向量，且满足1p *=，
(1,1,1,1,1,1)T Q =，则系统的非负动态解(,t)p ⋅趋向于系统的稳定解p*,即
0,1lim (g,t)p Q p p ***→∞
=〈〉=，其中0p 为系统的初始值.
综上所述,系统的稳定性得证.
小结
可修复人机系统解的稳定性问题在工程领域中应用广泛,本文运用泛函分析等数学方法,列出积分-微分方程,研究系统算子的谱点分布及特征值,并求解系统算子的共轭算子,最终得证该系统解的渐进稳定性.
通过翻阅文献，发现目前泛函分析的应用面越来越广泛，在机械行业中可以应用到数控加工，微机电尺寸效应，机械臂的空间运算分析等等方面，用于对运动和控制算法进行正逆解，这对于机械行业的理论研究是一种极大的促进，特别是复杂的机械臂，飞行器的运动控制，可以通过理论分析指导实际应用，让工件和控制更加的精确。

对于研究生来说，泛函分析在理论研究部分可以提供很好的支持，有利于对运动进行分解和控制，在其他领域也有很多地方等待探索和开发，将数学应用于工程实践在未来也必将成为一种趋势，通过计算机和经验分析无法解决的问题必将通过数学来进行最基础的理论研究，从而实现更高的精确度。

回忆起课堂所学，既明白了老师的良苦用心，也体会到了泛函分析的巨大现实功用。

认真学好应用泛函分析这一重要的课程可以使我们更好的掌握搞好科研的重要工具，从而以帮助自己更加顺利、更加高质量的完成毕业设计论文的写作。

在此，真心感谢秦老师的辛勤讲授。

参考文献
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