2020一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式删减版文库素材

处取最小值，则 a＝
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
(2)(理)若直线 2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆 x2＋y2＋2x
－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则1a＋4b的最小值是
A．5
B．6
C．8
D．9
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(2)(文)若 a>0，b>0，且 ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是
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3．“a>b>0”是“ab<a2＋2 b2”的(
)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
解析：a>b>0⇒a2＋2 b2>ab.∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，
∴由a2＋2 b2>ab⇒a，b∈R 且 a≠b⇒/ a>b>0.
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方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8，
因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
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答案：A
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4．(理)已知 a>b，ab＝1，则aa2－＋bb2的最小值是______．
解析：记 a－b＝t，则 t>0，aa2－＋bb2＝t2＋t 2＝t＋2t ≥2 2，
当且仅当 t＝
2，即 a＝
6＋ 2
2，b＝
6－ 2
2或 a＝
2－ 2
6，
b＝－
2＋ 2
6时取等号．
答案：2 2
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4．(文)当 x＞1 时，关于函数 f(x)＝x＋x－1 1的最小值为 __________．
解析：∵x＞1，∴x－1＞0，
x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2
x－1·x－1 1＋1＝3.
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利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)判断等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个 条件缺一不可． (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证 等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
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1．a>0，b>0，且ab＝9，则a＋b的最小值是( )
A．10
B．9
C．6
D．5
解析：a＋b≥2 ab＝6，当且仅当 a＝b＝3 时，等号成立．
答案：C
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2．(2013·日照模拟)已知 a>0，b>0，且 2a＋3b＝1，则2a＋3b
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∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
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的最小值为( )
A．24
B．25
C．26
D．27
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解析：∵2a＋3b＝1， ∴2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋3b＝4＋9＋6ab＋6ba ≥13＋2 6×6＝25，当且仅当ba＝ab且 2a＋3b＝1， 即 a＝b＝15时等号成立． 答案：B
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考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，主要考查利用不 1.了解基本不等式
等式求最值，且常与函数、数列、 的证明过程．
解析几何等结合在一起考查．
2.会用基本不等式 解决简单的最大( 小)值问题.
2.从考查形式看，主要以选择题、 填空题的形式出现，考查最值的求 法；也可渗透在解答题中，难度一 般不大，属中低档题.
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于是，1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5＋ba＋4ba≥9， 当且仅当ba＝4ba且 a＋b＝1， 即 a＝13，b＝23时等号成立． 答案：D
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(2)(文)解析：由条件知 a＋b＝1. ∴1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab ≥2＋2 ba·ab＝4， 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立． 答案：C
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(1)解析：∵x>2，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2
≥2 x－2·x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2且 x>2，即 x＝3 时等号成立． 答案：C
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答案：3
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5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市 场 分 析 ， 每 辆 客 车 营 运 的 总 利 润 y( 单 位 ： 10 万 元 ) 与 营 运 年 数 x(x∈N*) 为 二 次 函 数 的 关 系 ( 如 图 ) ， 则 每 辆 客 车 营 运 ______ 年 时，营运的年平均利润最大．
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为了创造使用基本不等式的条件，常需要 对求值的式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的关键在 于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中注意等号成立的条 件．
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【活学活用】 1．(1)设 0＜x＜2，则函数 y＝ 3x8－3x的最大值为______．
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二、几个重要不等式
1．a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
2.ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)．
3．ab≤a＋2 b2(a，b≥0)．
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4.
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a>0，b>0)，
(注意不等式成立的条件，以及取等号的条件)
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D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
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题号 (1)
(2)
分析 利用基本不等式及重要不等式逐一验证即可 ①不等式的左边不满足利用基本不等式的形式； ②利用“1”进行代换；③展开后使用基本不等式.
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三、利用基本不等式求最值问题
1．已知 x，y∈R＋，如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 __x_＝__y__时，和 x＋y 有 最小 值 2 p ；
2．已知 x，y∈R＋，如果和 x＋y 是定值 S，那么当且仅当 __x_＝__y__时，积 xy 有 最大 值 14S2 .
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(2)(理)解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，其半径 为2.
因为直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)截圆所得的弦长为4， 恰好是圆的直径，
故该直线经过圆心(－1,2)， 所以a＋b＝1.
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一、基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0且b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
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解析：由上题的解答知，当 x∈[0,1]时，函数的最大值不能 用基本不等式．
∵y＝ －9x2＋24x＝
－9x－432＋16(x∈[0,1])，
∴函数在[0,1]上单调递增．∴ymax＝ 15.
答案： 15
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利用基本不等式证明不等式、判断不等式是否成立
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解析：求得函数式为 y＝－(x－6)2＋11， 则营运的年平均利润yx＝－x－x62＋11 ＝12－x＋2x5≤12－2 25＝2， 此时 x＝2x5，解得 x＝5. 答案：5
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(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
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1 A.4
B．1
C．4
D．8
(3)求a－3 4＋a 的取值范围．
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(1)变形后利用基本不等式求出最值，根据等号成立的条件 求 a.
(2)由条件求得 a、b 的关系式，然后变形后利用基本不等式 求最值．
(3)利用a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4 求最值，需注意 a－4 的 符号．
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利用基本不等式求最值及综合应用
【考向探寻】 1．直接利用基本不等式求最值； 2．变形后利用基本不等式求最值； 3．基本不等式与其他知识点结合．
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【典例剖析】
(1)(2013·天津模拟)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a
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在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？ 提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二 定、三相等”．“一正”即公式中a、b必须是正数，“二定” 即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等 号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三 个条件．
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证明不等式时，可依据求证式两端的式子 结构，合理选择基本不等式及变形式来证．同时要从整体上把 握不等式，如a4＋b4≥2a2b2等是对基本不等式的灵活运用．本题 先局部运用基本不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相 加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在解题时 具有一定的普遍性．
解析：∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0， ∴y＝ 3x8－3x≤3x＋82－3x＝82＝4， 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时，取等号． ∴当 x＝43，y＝ 3x8－3x的最大值是 4. 答案：4
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(2)若 x∈[0,1]，则函数 y＝ 3x8－3x的最大值为______．
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(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
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【考向探寻】 1．利用基本不等式判断所给的不等式是否成立； 2．利用基本不等式证明所给的不等式．
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【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
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(1)解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误． 对于 B、C，当 a<0，b<0 时，明显错误．对于 D， ∵ab>0，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2.故正确． 答案：D
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