第5章 大学普物

§5-3 转动惯量的计算
Computation of Moment of inertia
意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
1J M z 产生 。对一定的 M z ， z
特性：（1）与质量有关。 J （2）与质量对轴的分布有关。 （3）与转轴的位置有关。 计算：（1）质点系
解得
m2 m1 a g m1 m2 m 2 m1 (2m2 m 2) T1 g m1 m2 m 2 m2 (2m1 m 2) T2 g m1 m2 m 2
[例2] 一个飞轮的质量为60kg，半径为0.25 m, 正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下 来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？设闸瓦与飞轮之间的 k 0.8 。
O
l
g m
60°
§5-5 对定轴的角动量守恒
Conservation of Angular Momentum about a Fixed Axis
dL z 质点系的角动量定理： M z dt
如果 M z 0 ， Lz 常量。
守恒
对定轴的角动量守恒定律：如果一个质点系对某一固
定轴的合外力矩为零，则对该定轴的总角动量保持不变。
角动量： Lz J z
对轴定义的力矩、角动量：
z

M iz ri Fi sin i Liz ri pi mi ri2
与 OR在轴 上何处无关
M z ——对z轴的力矩 Lz ——对z轴的角动量
O ri riR
OR
刚体定轴转动定律： M d ( J ) J z z z dt
看运动
查受力
列方程
应用举例：
[例1] 一不可伸长的轻质细绳，跨 过一质量为m半径为 r、轴承光滑的定滑 轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的 物体，如图所示。滑轮视为匀质圆盘。 试求物体的加速度和绳中的张力。
m
a1
m1
r
m2
解：m1和m2是质点，m是定轴刚体。 不妨设m1 < m2。因绳不可伸长，有 a1 a2 加速度。 列方程：
z

Liz ri pi
Liz ri pi mi ri vi mi ri2
轴向总角动量：
pi
O ri riR riz
Lz

i
Liz
m r
i
i i
2

OR
引入转动惯量： J z （对 z 轴）

i
mi ri2
说明： 适用于刚体（J 不变）、刚体组和质点系（J 变）。 对定轴的角动量守恒是普遍的质点系角动量守恒 定律的特例。 定律是对定轴，不是对点的。
[例1] 某人手握着哑铃，两臂伸开，坐在以一定角速度转动着的转椅 上。此人把两臂收回，使（人、转椅和哑铃构成的系统）转动惯量减为原 来的一半。试问：角速度增加多少？ 冰上旋转
平行轴定理：
J J C md
2
§5-4 刚体定轴转动 定律的应用
Applications of the Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis
规范的解题思路：
认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。 分析刚体的转动和质点运动情况， 找出相关的线量( v, a )和角量( , )。 画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。 选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
B
定点转动——刚体上的只有一点始终保持不动。
２.描述刚体定轴转动的角量
角速度——刚体上任一质元圆周运动的角速度。
角加速度——刚体上任一质元圆周运动的角加速度。
d ——角位移 dt d d 2 2 dt dt
为矢量，方向规定为沿
轴线的方向，用右手螺旋定则 判断。 ?
解：飞轮制动时有角加速度 0 t
0 1000r / min 104.7rad/s
F
fr
0
0, t 5s 20.9rad/s2 ，说明其与0 的方向相反。
角加速度是Mz作用的结果。Mz即摩擦力的力矩, 为负。因为以 0 方向为转轴z的正向，摩擦力矩方向与其相反。
1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
教材例题 5.1
§5-2 刚体定轴转动定律
Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis
dL 任意质点系的角动量定理： M dt Fiz dL z 方向的分量式： M z z Fi i dt 选择转轴上任何一点OR Fi 作为 M 和 L 的参考点。
解 对该系统而言，外力有：三者的重力和轴承对椅的支撑力。 它们均不对轴产生力矩，故系统的角动量守恒。
J 11 J1 2 2
2 21
[例2] 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转 动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为 JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600 r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速。 A C B A C B
d 3 g cos d 2l


0
d

0
3 g cos d 2l
3g sin l
[练习] 一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直 的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面成 60°，然后无初转速地将棒释放。已知棒对轴的转动惯量 为 m l2 / 3 ，其中m和l分别为棒的质量和长度。求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度。 提示：利用转动定律 M J l 1)m g cos(60) J1 2 l 2)mg ( ) J 2 2
§5-1 刚体转动的描述
Motions of a Rigid Body
1.刚体运动的分类
平动——刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。 平动时所有质元的运动完全相 A 同，可用刚体的质心的运动代替 整个刚体的运动。质心服从质心 B 运动定理。
A
A
B
定轴转动——刚体上所有质元都绕同一条固定直线做 圆周运动；且各质元的角速度相同。 转轴
z

r Oi
m j
rj
mi
角量与线量的关系：
v r, at r , an r 2
关于刚体角速度和角加速度的积分关系：
0 dt
t
0 dt
0
0 t
如果是匀加速转动，即角加速度不变，则
0 t
0到t时间内 的角位移
认物体看运动查受力列方程分析刚体的转动和质点运动情况找出相关的线量和角量一不可伸长的轻质细绳跨过一质量为m半径为r轴承光滑的定滑轮绳的两端分别悬有质量为m物体如图所示
第五章 刚体的转动
Rotation of a Rigid Body
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用
r
v0
mv0
l
1 2 mlv 0 ml (l ) Ml 3 3m v0 3m M l
系统的总动量守恒吗？
mv0 r sin mv0l
§5-6 转动中的功和能
Work and Energy of a Rotational Rigid Body
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.力矩的功
A F dr
L
转动动能
F dr sin
2 1
r F dr
dm
[例2] 求质量为m、半径为R、厚为 l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
dm 2rdr l dJ r 2 dm 2lr 3dr R 1 3 J dJ 2lr dr R 4l 0 2

A


[例3] 一根长l，质量为M 的均匀直棒，其一端挂 在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹， 质量为m，以水平速度 v0 射入棒的下端而不复出。求 棒和子弹开始一起运动时的角速度。
O
O
解 碰撞时间极短，认为棒的位置基本不变。 因此，对于子弹和棒的系统，在碰撞过程中，受 的外力(重力和支持力)对于轴O的力矩都 是零。即，系统对轴O的角动量守恒。
R
r
dr
l
m R 2l
1 J mR 2 2
J 与 l 无关.即,实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2.
[例3] 求质量均匀分布的细棒对（1）对通过质心垂直于 细棒；（2）通过端点的轴的转动惯量。棒长为 m 。 l ，质量为
解：取如图坐标，dm=dx
2 J C x 2dx m L / 12
轴向总力矩： M z
M
iz
Miz ri Fi
M iz ri Fi sin i
i i
M r F
iz i i
sin i
z 方向的分量式：
dLz Mz dt
Lz Liz
i
质元 i 的角动量： Li riR pi (ri riz ) pi
2 J A x 2dx m L /3 0
2
L 2 L 2 L
(2)
(1)
O x dx
x
1 L 2 2 注意： J A J C mL J C m J C md 4 2 推广：若有任一转轴与通过刚体质心的轴平行，相距为 d，刚体对其转动惯量为J，则有：
力矩： M z
z
O r i riR r iz
OR
i M i riR Fi (ri riz ) ( Fi Fiz ) ri Fi ri Fiz riz Fi riz Fiz

i
mi ri2
J mi ri
i
2
（2）质量连续分布 J r 2 dm
m

V

r 2 dV
[例1] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆环的转动惯量。轴与圆环平 面垂直并通过圆心。
解： J R 2 dm R 2 dm mR 2 若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
R
a2
a，刚体角
T1
m1
T2
m2
m
P 1
P2
T1
T2
注意：T1 T2
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2 a 2 ( T T ) r J 1 2 mr 2 1 a r
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2 a 2 ( T T ) r J 1 2 mr 2 1 a r
§5-5 角动量守恒
§5-6 转动中的功和能
§5-7 进动
第五章
刚体的转动
刚体——受力时可以忽略形状和体积变化的物体。
任何物体可以视为质点系。刚体是一种特殊的质点系， 是不同于质点的一种理想模型。 分割刚体得到的可当作质点考虑的物块称为质元。刚体
上各质元的相对位置在任何情况下都不变。
质元的运动服从质点的运动规律。 研究刚体的运动，关于质点系的运动定律都适用。
解：棒下摆为加速过程， Mz为重力对O 的力矩：
xc O

mg
X
1 M z mg l cos 2
1 m glcos Mz 3g cos 2 1 2 J 2l ml 3
3 g cos 2l
d d d d dt d dt d 3 g cos d d 2l
2 J mR M z f r R k NR z
k NR mR2
N
m R
k
392N
[例3] 一根长为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑 水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由 此下摆 角时的角加速度和角速度。