天津市六校高二上学期期末联考数学理科试题

侧视图2015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级
数学（理）试卷
命题人：杨村一中芦台一中
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.“9
>
k”是“方程1
4
9
2
2
=
-
+
-k
y
k
x
表示的图形为双曲线”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则
A．若m//α，n//α，则m//n B．若m//α，m//β，则α//β
C．若m//n，nα
⊥，则mα
⊥D．若m//α，α⊥β，则m⊥β
3．下列四个命题中的真命题为
A.
x R
∃∈，使得
00
sin cos 1.5
x x
-=- B.x R
∀∈，总有2230
x x
--≥
C.∀x R
∈，∃y R
∈，2y x
< D.
x R
∃∈，∀y R
∈，
y x y
⋅=
4．已知F是抛物线2y x
=的焦点,B
A,是该抛物线上的两点,||||=3
AF BF
+,则线段AB
的中点到y轴的距离为
A．
3
4
B．1 C．
5
4
D．
7
4
5. 设
1
F、
2
F是双曲线1
3
2
2
=
-y
x
的两个焦点，P在双曲线上，当
2
1
PF
F
∆的面积为2时，2
1
PF
⋅的值为
A．2 B．3 C．4 D．6
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.64
B.72
C.80
D. 112
7. 已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是
A.43
- B ．53- C ．35-
D ．5
4
-
8.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）
A ．3
B ．2
C ．
3
3
2 D ．2 第Ⅱ卷（非选择题）（将答案写在答题纸上）
二、填空题、（每小题5分，共30分）
10.双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为)3,0(，则k 的值是 .
11.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 . 12．若点(3,1)是抛物线px y 22=的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝ .
13.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若
,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
则椭圆离心率的范围是 .
14.若曲线92-=
x y 与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围
是 .
三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）
15．(本题满分13分) 命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于B A ,两点；命题q ：
曲线162
2=--k
y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，若q p ∧为真命题，求实数k 的取值范围． 16．(本题满分13分) 已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对
．
(Ⅰ)求圆C 的方程； (Ⅱ)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．
17. (本题满分13分) 如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =，
0160=∠BAA ．(Ⅰ)证明C A AB 1⊥； (Ⅱ)若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直
线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．
18．(本题满分13分) 已知抛物线24y x =的焦点为F , 直线l 过点(4,0)M . (Ⅰ)若点F 到直线l
求直线l 的斜率;
(Ⅱ)设,A B 为抛物线上两点, 且AB 不与x 轴垂直, 若线段AB 的垂直平分线恰过点M , 求证: 线段AB 中点的横坐标为定值.
19．(本题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，
Q 为AD 的中点.
(Ⅰ)若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
(Ⅱ)点M 在线段PC 上，PC 3
1
PM =，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，
求二面角M BQ C --的大小.
B
C
A
A 1
B 1
C 1
A B C
D Q M
P
20. (本题满分14分)
巳知椭圆
22
22
10
:()
x y
M a b
a b
+=>>
的长轴长为，且与椭圆
22
1
24
x y
+=有相同的离
心率.
(Ⅰ)求椭圆M的方程；
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且OA OB
⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||
AB的取值范围，若不存在，说明理由.
B
C
A
B1 C1
2015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级
数学（理）答题纸
二、填空题（每小题5分，共计30分）
9．10．
11．12．
13．14．
三、解答题（共计80分）
15．(本小题满分13分)
16．(本小题满分13分)
17．（本小题满分13分）
18．（本小题满分13分）19. （本小题满分14分）
A B C
D Q M
P
20. （本小题满分14分）
2015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级
数学（理）参考答案
一 选择题（每小题
5分共40分，每个小题只有一个正确答案） 1A 2 C ． 3 D 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 二、填空题、（每小题5分，共30分）
9. -7 10. K=-1 11. 93π 12. 2 13 26
[
,]23
14 {}[)()
+∞⋃⋃-,233,03 三、解答题（共80分 15．(本题满分13分)
解：∵命题p ：直线y=kx+2与圆x 2
+y 2
=1相交于A ，B 两点， ∴圆心到直线的距离11
3002
<++-⋅=k k d ，………3分
2222-<>∴k k 或，………5分
∵命题q ：曲线
162
2=--k
y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线 ⎩⎨
⎧<<-∴0
6k k ，解得0<k ，………10分 ∵q p ∧为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴22-<k ………13分 16．(本题满分13分)
解：（Ⅰ）由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22
D E -
-
又∵圆心C 在第二象限 ∴0,0D E ><
由①②解得D=2，E=－4 …………4分
∴所求圆C 的方程为：222430x y x y ++-+= ………………7分 （Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设l ：a y x =+………8分
圆C:22(x 1)(y 2)2++-=
圆心)2,1(-C 到切线的距离等于半径2,即
22
21=-+-a
,………10分
,1-=∴a 或3=a ………11分
所求切线方程03=-+y x 或01=++y x ………13分 17. (本题满分13分) (第一问6分第2问7分)
………… 8分
有题设知
A (1,0,0),1A (0,3,0),C (0,0,3),
B (－1,0,0),则B
C =（1,0，3）,1BB =1AA =(－1,0,3),1AC =(0,－3,3), ………… 10 分
…………13分 18．(本题满分13分)
(Ⅰ) 2. …………………4分
(Ⅱ) 设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y , ),(),,(2211y x B y x A , 因为AB 不垂直于x 轴,
则直线MN 的斜率为004
y x -, 直线AB 的斜率为00
4x y -, ………………6分
直线AB 的方程为0000
4()x y y x x y --=-,
联立方程00
0024(),4,x y y x x y y x -⎧
-=-⎪⎨
⎪=⎩
消去x 得22
00000(1)(4)04
x y y y y x x --++-=, ……………9分
所以0120
44y y y x +=-, …………………10分
因为N 为AB 中点, 所以1202
y y y +=, 即000
24y y x =-, …………………12分
所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………13分
19(本题满分14分)
∴)3
32,33,32(3132-=+=QM ， …………9分 设),,(z y x n =是平面MBQ 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0
0，即⎩⎨⎧==03y z x ， 令1=z 得⎪⎩
⎪⎨⎧===103z y x ，∴)1,0,3(=，…………11分
又)1,0,0(=是平面BQC 的一个法向量， ∴211
4)1,0,0()1,0,3(||||,cos =⋅•=⋅>=<m n ， 故二面角M BQ C --的大小为3
π. …………14分 20(本题满分14分 ) 解 ：(I )椭圆的长轴长为422a =22
124
x y +=有相同的离心率22e =,故2, 2.c b ==所以椭圆M 的方程为22
184x y +=
.......................................3分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故2r 1m k =
+，
即()2221m r k =+.① ....................(5分 又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=
设()()1122,,,,A x y B x y
由韦达定理得1x +2x =2
4,12km k -+12x x =222812m k -+，..................................(7分) 由0OA OB ⋅=得到
12x x +12y y =()21k +222812m k -++km 2412km k -++2m =0，....................(8分) 化简得22388m k =+，② 联立①②得283
r =。

综上所述，存在圆228:3
C x y +=. .............................................(9分) 由283r =得()
22212121()4AB k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦ =422
24243245132131443144k k k k k k k ⎛⎫++⋅=+ ⎪++++⎝⎭ 2232111344k k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪++⎝⎭
()0k ≠32,123⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ........................11分 当0k =
时，2
32,33AB AB ⎛=∴∈ ⎝， 又当k
不存在时，
3AB =
故3AB ⎡∈⎢⎣为所求. ............14分。