圆的定义确定基本要素

圆的概念及确定
1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一
个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心。

（确定圆的位置）
线段OA叫做半径。

（确定圆的大小）
记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”
注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。

（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。

圆的确定：
（1）一个圆心一个半径
（2）圆心、圆上一个一个的已知点
（3）直径
2. 圆的集合定义：
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。

到角两边距离相等的点在角的平分线上。

所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。

（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。

到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。

*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：
a.图形上的每一点都满足某个条件，
b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。

（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）
圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：
点在圆内；
点在圆上；
点在圆外。

6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。

7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。

8. 了解三角形外心的概念。

9. 过三点的圆
确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。

只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。

此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。

特别要注意的是，过任意三点不一定能作圆，如果三点在同一直线上，则不能作圆。

10. 反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。

关系定义圆心实质半径图示外接圆
经过三角
形各顶点
的圆
外心
三角形各
边垂直平
分线的交
点
交点到三
角形各顶
点的距离
内切圆
与三角形
各边都相
切的圆
内心
三角形各
内角角平
分线的交
点
交点到三
角形各边
的距离
2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？
画圆的关键：确定圆心；确定半径
3、性质有哪些？
(1)外接圆性质：
锐角三角形外心在三角形内部。

直角三角形外心在三角形斜边中点上。

钝角三角形外心在三角形外。

有外心的图形，一定有外接圆。

直角三角形的外心是斜边的中点。

外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

(2)内切圆性质：
三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。

一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2）
直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2
r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长
注意：
等边三角形的内心、外心重合。

练习：
1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。

2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。

3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。

4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。

5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）
例1. 如图所示，已知矩形ABCD的边。

（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
例2. 画图说明满足下列条件的点的轨迹。

（1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹；
（2）边，面积为的△ABC的顶点A的轨迹。

例3. 下图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。

甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）
A. 甲先到B点
B. 乙先到B点，
C. 甲、乙同时到B点
D. 无法确定
例4. ⊙O半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1，问P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？
例5. 求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上。

已知：如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：E、F、G、H四个点在以O为圆心的同一圆上。

例6. 如图所示，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）
A. B. C. D.
例7. 如图所示，是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心。

例8. 如图所示，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O，证明BD和CE不可能互相平分。

例9. 用反证法证明：三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。

证明：假设三角形的三个内角都小于60°，则这个三角形的内角和小于180°，这与三角形内角和定理矛盾。

所以，三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。

例10. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，OC ＝OD。

证明：四边形ABCD一定有外接圆。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1. AB是⊙O的弦，OQ⊥AB于Q，再以OQ为半径作同心圆，称作小⊙O，点P 是AB上异于A、B、Q的任意一点，则点P的位置是（）
A. 在大⊙O上
B. 在大⊙O的外部
C. 在小⊙O的内部
D. 在小⊙O外且在大⊙O内
2. 下列命题正确的是（）
A. 经过点A且半径等于a的圆心O的轨迹，为以O为圆心，a为半径的圆
B. 如果一个图形上的每一点到一个角的两边距离都相等，那么这个图形一定是这个角的角平分线
C. 到直线AB的距离等于5cm的点的轨迹是平行于直线AB，且到AB的距离等于5cm的一条平行线
3. 下列命题正确的是（）
A. 三点确定一个圆
B. 圆有且只有一个内接三角形
C. 三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点
D. 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
4. 下列说法错误的是（）
A. 三角形的外心不一定在三角形外部
B. 圆的两条非直径的弦不可能互相平分
C. 两个三角形可能有公共的外心
D. 任何梯形都没有外接圆
5. 下列命题中，错误的个数为（）
（1）三角形只有一个外接圆；
（2）钝角三角形的外心在三角形外部；
（3）等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点；
（4）直角三角形的外心是斜边的中点。

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
6. 用反证法证明，“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P 在⊙O的外部”首先应假设（）
A. B. C. 点P在⊙O外 D. 点P在⊙O上或点P在⊙O内
7. 在一个圆中任意引两条直径并顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这四边形一定是（）
A. 等腰梯形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
二. 填空题。

8. 已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝
_________。

9. 直角三角形外接圆的圆心在_________上，它的半径等于_________的一半。

10. P点到⊙O上的点的最小距离是6cm，最大距离是8cm，则⊙O的半径是_________。

11. P是⊙O内与O不重合的点，则在经过P点的所有弦中，最长的弦是
_________。

12. 若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是_________梯形。

13. 用反证法证明“一个三角形中，不能有两个角是直角”时，第一个步骤是_________。

三. 解答题。

14. 已知△ABC中，∠C＝90°。

求证：AB＞AC，AB＞BC。

15. 如图所示，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，并且E、F、G三点共线，求证：A、B、C、D四点共圆。

16. 如图所示，AC、BD是⊙O的两条直径，求证：四边形ABCD是矩形。

17. 如图所示，四边形ABCD的一组对角∠B、∠D都是直角，求证：A、B、C、D四点在同一圆上。

18. 已知点A的坐标是（0，-3），以C为圆心，5个单位长为半径画圆，求⊙C与坐标轴的交点的坐标并判断点P（-3，0）是否在⊙C上。

例：思考：车轮为什么是圆的？
3. 与圆有关的概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

注意：直径是一种特殊的弦，直径是最长的弦，但弦不一定是直径。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

以A、B为端点的弧记作
（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

注意：半圆是一种特殊的弧。

补：（5）弧的分类：优弧：大于半圆的弧优弧
半圆劣弧：小于半圆的弧
注意：优弧、劣弧都是弧，但是优弧大于半圆，劣弧小于半圆。

例：如图：AB、CB为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。

补（6）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

补（7）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

补（8）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

补（9）等弧：在同心圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

例：判断对错
1、长度相等的两条弧是等弧。

2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

3、两个半圆是等弧。

4、半径相等的弧是等弧。

5、半径相等的两个半圆是等弧。

6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。

概念辨析：
a) 弦是直的，弧是曲的。

b)弓形由弦及其所对的弧组成。

扇形由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成。

c) 同圆指同一个圆，等圆、同心圆指两个圆的关系。

等圆是指半径相等而圆心不同的圆，同心圆指圆心相同，半径不同的圆。

例：下列说法错误的是
A、直径相等的两个圆是等圆。

B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。

C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。

D、直径是圆中最长的弦
例：AB为圆O的直径，点C在圆O上，OD//BC。

求证：OD是AC的垂直平分线
例：圆O的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。

1. 举出一些成圆形的物体的实例。

2. 设AB＝3厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：
（1）和点A的距离等于2厘米的点的集合；
（2）和点B的距离等于2厘米的点的集合；
（3）和点A、B的距离都等于2厘米的点的集合；
（4）和点A、B的距离都小于2厘米的点的集合
3. 在下面的矩形中，如果OA、OB、OC、OD的中点分别为E、F、G、H。

求证：E、F、G、H4个点在同一个圆上。

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系
1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。

如图，同心圆，虽然，但，而且，弦心∠=∠⋂≠⋂
≠AOB COD AB CD AB CD
距也不相切。

O
C A
B
D
（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。

下面举四个错例：
若⊙中，，则，O AC DB CE FD CEA DFB ⋂=⋂
=∠=∠
这两个结论都是错误，首先CE 、FD 不是弦，∠CEA 、∠BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。

O B D
A
C
E F
（3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。

（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的
度数和它所对的弧的度数相等。

注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。

而不是角与弧相等，在书写时要防
止出现“∠=⋂
AOB AB ”之类的错误。

因为角与弧是两个不能比较变量的概念。

相等的弧
一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。

6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

7. 辅助线方法小结：
（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。

例1. 已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 的延长线交于P 点，PO 平分∠APC 。

求证：（1）AB ＝CD ；（2）PA ＝PC
O
A P
C
M
N
D
B
1
2
分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO 过圆心，利用弦心距相等可以解决。

O
A
P
C
O
B
A D C
P
例2. 如图，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（ ）
O B
A
D
C
A A
B CD B AB CD
C AB C
D D AB CD ....⋂>⋂⋂<⋂⋂=⋂⋂⋂
2222与的大小关系不可能确定
例3. 如图，为⊙的弦，，、交于、。

CD O AC BD OA OB CD F E ⋂=⋂
求证：OE ＝OF
O
C
D
A
B
F E
例4. 如图，⊙O 中AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CD 的中点，DE ∥AB 。

求证：EC EA ⋂=⋂
2
O A
B
C
D
E
例5. 如图，是等边三角形，是⊙直径，，、∆ABC AB O AE EF FB CE CF ⋂=⋂=⋂
交AB 于M 、N 。

求证：AM ＝MN ＝NB
O C
A
B
E
F
M
N
一. 选择题。

1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ）
A. AB A B ⋂=⋂
'' B. AB A B ⋂>⋂''
C. AB A B ⋂<⋂
''
D. AB A B ⋂⋂
与''的大小无法比较
2. 半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ） A. 5cm
B. 43cm
C. 6cm
D. 33cm
3. 在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能
成立的是（ ） A. AB CD =2
B. AB CD ⋂>⋂2
C. AB CD ⋂<⋂
2
D. AB CD ⋂=⋂2
4. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A. 42
B. 82
C. 24
D. 16
5. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM 、ON 的关系是（ ） A. OM ON > B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定
6. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠=︒BAC 20，AD CD ⋂=⋂
，则∠DAC 的度数是（ ）
D
A
O
B
C
A. 70°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
二. 填空题。

1. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。

2. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

3. 在半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

4. 在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于E ，且∠AEC ＝30°，AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，那么弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。

5. 已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。

6. 已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ⋂⋂⋂
、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝_______，
∠BOC ＝________，∠COA ＝________。

7. 已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ⋂是⊙O 的1
4
，则弦AB ＝_________，AB 的弦心距＝
_________。

三. 解答题。

1. 如图：已知，OA 为⊙O 的半径，AC 是弦，OB ⊥OA 并交AC 延长线于B 点，OA ＝6，OB ＝8，求AC 的长。

O
A
C
B 2. 如图，∆AB
C 中，∠=︒A 70，⊙O 在∆ABC 的三边上所截得的弦长都相等，求∠BOC
的度数。

O
A
B C
3. 已知：如图，在⊙O 中，弦AB ＝CD ，且AB ⊥CD 于E ，BE ＝7，AE ＝3，OG ⊥AB 于G ，求：OG 的长？
O A
B
C D
G E
4. 已知：如图，AB CD OE AB OF CD OEF ⋂=⋂
⊥⊥∠=︒，，，25，求∠OFE 的度数。

O F
E
B D C
A
5. 如图，C 是⊙O 的直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD ＝CO ，使AD ⋂
的度数为40°，
求BE ⋂
的度数。

O
C A
B
D E
6. 如图：已知，⊙O 中，AB BC CD ⋂=⋂=⋂
，OB 、OC 分别交AC 、DB 于M 、N 。

求证：∆OMN 是等腰三角形。

O C
B A
D N
M
7. 如图，⊙O 中弦AB ＝CD ，且AB 与CD 交于E 。

求证：DE ＝AE 。

O
A C E
B D
一. 选择题。

1. D
2. D
3. D
4. D
5. A
6. D
7. C 二. 填空题。

8. 3cm 9. 斜边中点，斜边长10. 1cm 或7cm11. 此圆的直径12. 等腰 13. 假设一个三角形中有两个角是直角 三. 解答题。

14. 证明：作△ABC 的外接圆⊙O ，如图所示，根据直角三角形中斜边中线等于斜边一半知斜边AB 的中点O ，即为外接圆的圆心，连结OC ，则
∵在△AOC 中有
∴AB ＞AC 同理可证：AB ＞BC
15. 假设A 、B 、C 、D 四点不共圆，则：
∵DE ⊥BC ，
DF ⊥AC ∴∠DEC ＋∠DFC ＝180° 故D 、E 、C 、F 四点共圆 同理，D 、E 、G 、B 四点共圆 ∴∠DCF ＝∠DEF ＝∠DBG 从而∠BDG ＝∠CDF ∴∠GDF ＝∠BDC 故∠GDF ＋∠A ＝∠BDC ＋∠A ≠180° ∵DG ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AGD ＋∠DFA ＝180° 故四边形AGDF 的内角和＝∠GDF ＋∠A ＋∠AGD ＋∠DFA ≠360°，矛盾 ∴A 、B 、D 、C 四点共圆 16. 证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AC ＝BD ∴平行四边形ABCD 是矩形
17. 连结AC ，取AC 中点O ，连结DO 、BO 在Rt △ACD 中，∵O 为斜边AC 中点 ，即
同理可证： ∴A 、B 、C 、D 四点在以O 为圆心，AC 为直径的圆上 18. 交点坐标分别是（-4，0）、（0，-8）、（4，0）、（0，2），P 点在⊙C 内
1. D
2. B
3. D
4. B
5. A
6. C
1. 90°
2. 300°
3. 3R
4. 142，
5. 3cm
6. 60°，120°，180°
7.
525
2
2，
1. 过O 点作OD ⊥AB 于D ∴=
=AD AC AB 1
2
10， 根据射影定理：OA AD AB 2=⋅
∴==AD AC 36
72..， A
C O
B
D
2. ∠=︒BOC 125
提示：O 是∆ABC 中∠B 、∠C 的角平分线交点。

3. OG ＝2 过O 点作OM ⊥CD ΘAB CD OM OG =∴=， ∴四边形OGEM 是正方
∴===
-=OG OM EG AB AE 1
2
2 B
D
C E A
O
G M
4. ∠=
∠=︒OFE OEF 1
2
25 5. 120°。

连结OD 、OE 。

C E
D A
O B
6. 证明：ΘAB BC CD AC BD AC BD ⋂=⋂=⋂∴⋂=⋂
∴=，，
又∵OB ⊥AC ，OC ⊥BD ∴OM ＝ON ∴∆OMN 是等腰三角形 7. 证明：连结OE ，过O 点作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N
O
D
B A
E C N
M
∵AB ＝CD ，∴OM ＝ON 又∵OE ＝OE ，∴≅∆∆OME ONE ∴ME ＝EN
ΘAM AB DN DC AM DN
AM ME DN NE =
=∴=∴+=+1212
， 即AE ＝DE
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