2020届中考数学总复习课件：微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明 (共21张PPT)
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图 Z12－5
解：(1)如答图，连结 DN，ON. ∵⊙O 的半径为52，∴CD＝5. ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10， ∴BC＝ AB2－AC2＝8. ∵CD 为直径，∴∠CND＝90°，且 BD＝CD， ∴BN＝NC＝4； (2)证明：∵BN＝NC，OC＝OD，∴ON∥BD， ∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE 为⊙O 的切线．
【中考变形】 1．[2019·盐城]如图 Z12－5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. (1)若⊙O 的半径为52，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
图 Z12－2
解：(1)∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA，∴∠OAF＝90°， 又∵∠F＝30°，∴∠FOA＝60°， ∴∠ADB＝12∠FOA＝30°；
(2)∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝4，AB＝AC， ∴∠C＝30°，∴AC＝233EC＝833.
【中考预测】 [2018·郴州]如图 Z12－7，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB＝AD， AE 是⊙O 的弦，∠AEC＝30°. (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
图 Z12－7
解：(1)证明：如答图，连结 AO， ∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°， ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°， 根据三角形的内角和定理得∠BAD＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°， ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°， ∴OA⊥AD， ∵点 A 在⊙O 上，∴直线 AD 是⊙O 的切线；
中考变形1答图
2．[2018·南充]如图 Z12－6，C 是⊙O 上一点，点 P 在直径 AB 的延长线上，⊙O 的半 径为 3，PB＝2，PC＝4. (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)求 tan∠CAB 的值．
图 Z12－6
解：(1)证明：如答图，连结 OC，BC， ∵⊙O 的半径为 3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5， ∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2， ∴△OCP 是直角三角形，∴OC⊥PC， ∴PC 是⊙O 的切线；
【中考预测】 [2018·黄冈]如图 Z12－3，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP 与 AB 的 延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C. (1)求证：∠CBP＝∠D； (2)若 OA＝2，AB＝1，求线段 BP 的长．
图 Z12－3
解：(1)证明：如答图，连结 OB， ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°， ∴∠A＋∠D＝90°， ∵BC 为切线，∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°， 而 OA＝OB，∴∠A＝∠OBA， ∴∠CBP＝∠D；
中考预测答图
(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°， ∵BC⊥AE 于 M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°， 在 Rt△AOM 中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝2 3， ∴AE＝2AM＝4 3.
中考变形2答图
(2)∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°， ∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°， ∴∠BCP＝∠ACO， ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP， 在△PBC 和△PCA 中， ∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA， ∴BACC＝PPBC＝24＝12，∴tan∠CAB＝BACC＝12.
图 Z12－4
证明：如答图，连结 OB，
∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，又∵OB 为⊙O 半径，
经典母题答图
∴AB 是⊙O 的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．
微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明
ห้องสมุดไป่ตู้
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图 Z12－1，⊙O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P，C 为切点，若∠P＝30°，⊙O 的半径为 1，则 PB 的长为__1__．
图 Z12－1
【解析】 如答图，连结 OC. ∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO＝90°， 在 Rt△OCP 中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
经典母题答图
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线， 常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】 [2019·贺州]如图 Z12－2，BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与⊙O 相切 于点 A，交 DB 的延长线于点 F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8. (1)求∠ADB 的度数； (2)求 AC 的长度．
中考预测答图
(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°， ∴∠P＋∠A＝90°，∵∠D＋∠A＝90°， ∴∠P＝∠D， ∴△AOP∽△ABD，∴AADP＝AAOB， 即1＋4BP＝21，∴BP＝7.
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】 已知：如图 Z12－4，A 是⊙O 外一点，AO 的延长线交⊙O 于点 C，点 B 在圆上，且 AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线 AB 是⊙O 的切线．
解：(1)如答图，连结 DN，ON. ∵⊙O 的半径为52，∴CD＝5. ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10， ∴BC＝ AB2－AC2＝8. ∵CD 为直径，∴∠CND＝90°，且 BD＝CD， ∴BN＝NC＝4； (2)证明：∵BN＝NC，OC＝OD，∴ON∥BD， ∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE 为⊙O 的切线．
【中考变形】 1．[2019·盐城]如图 Z12－5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. (1)若⊙O 的半径为52，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
图 Z12－2
解：(1)∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA，∴∠OAF＝90°， 又∵∠F＝30°，∴∠FOA＝60°， ∴∠ADB＝12∠FOA＝30°；
(2)∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝4，AB＝AC， ∴∠C＝30°，∴AC＝233EC＝833.
【中考预测】 [2018·郴州]如图 Z12－7，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB＝AD， AE 是⊙O 的弦，∠AEC＝30°. (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
图 Z12－7
解：(1)证明：如答图，连结 AO， ∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°， ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°， 根据三角形的内角和定理得∠BAD＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°， ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°， ∴OA⊥AD， ∵点 A 在⊙O 上，∴直线 AD 是⊙O 的切线；
中考变形1答图
2．[2018·南充]如图 Z12－6，C 是⊙O 上一点，点 P 在直径 AB 的延长线上，⊙O 的半 径为 3，PB＝2，PC＝4. (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)求 tan∠CAB 的值．
图 Z12－6
解：(1)证明：如答图，连结 OC，BC， ∵⊙O 的半径为 3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5， ∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2， ∴△OCP 是直角三角形，∴OC⊥PC， ∴PC 是⊙O 的切线；
【中考预测】 [2018·黄冈]如图 Z12－3，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP 与 AB 的 延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C. (1)求证：∠CBP＝∠D； (2)若 OA＝2，AB＝1，求线段 BP 的长．
图 Z12－3
解：(1)证明：如答图，连结 OB， ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°， ∴∠A＋∠D＝90°， ∵BC 为切线，∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°， 而 OA＝OB，∴∠A＝∠OBA， ∴∠CBP＝∠D；
中考预测答图
(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°， ∵BC⊥AE 于 M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°， 在 Rt△AOM 中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝2 3， ∴AE＝2AM＝4 3.
中考变形2答图
(2)∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°， ∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°， ∴∠BCP＝∠ACO， ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP， 在△PBC 和△PCA 中， ∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA， ∴BACC＝PPBC＝24＝12，∴tan∠CAB＝BACC＝12.
图 Z12－4
证明：如答图，连结 OB，
∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，又∵OB 为⊙O 半径，
经典母题答图
∴AB 是⊙O 的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．
微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明
ห้องสมุดไป่ตู้
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图 Z12－1，⊙O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P，C 为切点，若∠P＝30°，⊙O 的半径为 1，则 PB 的长为__1__．
图 Z12－1
【解析】 如答图，连结 OC. ∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO＝90°， 在 Rt△OCP 中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
经典母题答图
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线， 常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】 [2019·贺州]如图 Z12－2，BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与⊙O 相切 于点 A，交 DB 的延长线于点 F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8. (1)求∠ADB 的度数； (2)求 AC 的长度．
中考预测答图
(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°， ∴∠P＋∠A＝90°，∵∠D＋∠A＝90°， ∴∠P＝∠D， ∴△AOP∽△ABD，∴AADP＝AAOB， 即1＋4BP＝21，∴BP＝7.
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】 已知：如图 Z12－4，A 是⊙O 外一点，AO 的延长线交⊙O 于点 C，点 B 在圆上，且 AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线 AB 是⊙O 的切线．