第七章 行波法(一)

第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
法。故推测波函数可写成为
u(x,t)∝X(x)T(t)
第七章 行波法
（2）波是以一定的速度在介质中传播的。特别足在小阻尼介 质中，在一定范围内波在传播过程中保持固定的波形。即波所
科学抽象在数学上即为初值问题。
第七章 行波法
一般地，对于含有两个自变量x，t 的二阶偏微分方程
utt f x, t, ux , ut , uxx , uxt
设在 t=t0 处，给定未知函数及其导数，即
u( x, t0 ) ( x) ut ( x, t0 ) ( x)
则构成方程的初值问题。
定义：
x x1 at
t
影响区域
x x2 at
上式所定义的区域称为区间
[ x1 , x2 ] 的影响区域。
x1
x2
x
第七章 行波法
( x at ) ( x at ) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a x at
从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于
物理解释：
认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内 的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力
作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波
动的传播。
第七章 行波法
1. 无界弦的自由振动
2u 2u a 2 2 , t 0, x R 2 x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x ) t t 0
u u u a t
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 2 t
2u 4a 2 0
第七章 行波法
2u 0
u F * ( )
2u 2u a2 2 t 2 x
a11utt 2a12utx a22uxx 0
dx a12 a12 a11a22 dt a11
2
dx a dt x at c
第七章 行波法
对于三维波动方程
2u 2u 2u 2u a2 2 2 2 t 2 y z x
x0
x0 at
x
~ u G( x at)
at
~ u G ( x)
O
x0 at
x0
x
第七章 行波法
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
u a. 只有初始位移时， ( x, t ) 1 ( x at ) ( x at ) 2
代入有
第七章 行波法
这就告诉我们，如果将自变量用行波的位置
组合起来，则可使求解这类问题得到大大简化。
这就促使达朗贝尔提出了行波法。即先利用波动
方程的共性提出通解，然后再利用初始条件寻求
特解。
第七章 行波法
（3）波的传播是向四面八方传播的。因此波 动方程存在实的特征线，且特征线即为波前 的传播位置。如，一维波动方程为
第七章 行波法
解的物理意义
u
右传播波
u ( x, t ) u ( x at ,0)
u ( x, t ) u ( x at ,0)
t
u
O
x0 at
x x
左传播波
u
O
x0
O
x0 at
x
t
第七章 行波法
at
~ u F ( x)
~ u F ( x at)
O
[ x at, x at] 中的初始条件。
t
它是过（x，t）点，斜率分别为
( x, t )
1 的直线与 x 轴所截而得到 a
的区间（如右图）。 定义 区间 [ x at, x at] 称为解在（x，t）的值的依赖区间。
x
x at
x at
第七章 行波法
定义 区间 [ x1 , x2 ]
第七章 行波法
如我们研究一个不变波形的波的传播问题， 设在t=0 时刻，由 A 点 x0 发出的波以波速a 在介 质中传播，在t 时刻，该点到达x 处P 点。如用u (x,t) 表示波函数，则有（波形不变）：
u ( P, t ) u ( A, 0)
其中
x x0 at
u( x, t ) u( x0 ,0) u( x at ,0)
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 1 [ ( x at ) ( x at )] [ ( x at ) ( x at )] 2 2a
把定解问题的解表示为左、右行进波相 叠加的方法称为“行波法”。
第七章 行波法
1 基本思想：
先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特
解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：
第七章 行波法
行波法 （达朗贝尔法）
第七章 行波法
7. 1 行波法的基本思想和初值问题提法
1. 无界域波动方程初值问题提法
自然界中，物理系统总是有限的，因此在有限系统中描述
物理现象总是要提边界条件。如有界弦的振动问题，需要考虑 弦两端点的状态。但在客观实际中，常遇到这样的一类问题， 如果所研究的区域远离边界，且在不太长的时间里，边界的影 响尚未传到区域内部，此时不需要考虑边界条件，或边界的影 响可忽略不计，这样在定解问题中只需考虑初始条件，相当于 认为所研究的区域是无穷大的，定解问题只有初始条件，这种
无界域内波动方程，等…
第七章 行波法
达朗贝尔公式的适定性：
（1）只要φ(x)二阶可微，ψ(x)一阶可微，达朗贝 尔公式一定是初值问题的解。 （2）波动方程的初值问题是适定的，解是唯一的 （3）达朗贝尔公式对初始条件的依赖性是连续的，
解是稳定的。
第七章 行波法
例
2u x2 y xy u x 2 , u x 1 cos y y 0
x0 为任意一点，而C为积分常数，
第七章 行波法
F ( x) G ( x) ( x) 1 x C F ( x) G ( x) ( )d a x0 a
1 1 x C F ( x) ( x) ( )d 2 2 a x0 2a 1 1 x C G ( x) ( x) ( )d 2 2 a x0 2a
u ( , ) F * ( )d G ( ) F ( ) G ( )
u( x, t ) F ( x at) G( x at)
即为原方程的通解。
第七章 行波法
弦振动方程的通解表达式说明:
弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右 两个方向传播出去。 下面我们看到，通过把方程的解表示为右 传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题 的解。这个方法称为行波法。
达朗贝尔公式
( x at ) ( x at ) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a x at
第七章 行波法
( x at ) ( x at ) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a x at
解：
2u x2 y xy
u 1 2 2 x y g ( x) x 2
u ( x, y )
1 3 2 x y h( x ) p ( y ) 6 x2 h( x) p(0) u y 0 x 2 , u x 1 cos y 1 2 cos y y h(1) p( y ) 6 1 2 x 2 cos y y h( x) p(0) h(1) p( y ) 6 2 1 h( x) p( y ) x cos y y 2 1 6 1 3 2 1 2 2 u ( x, y ) x y x cos y y 1 6 6
特征方程为： ( dx )2 a 2 0 dt 特征线为：
x at c1
x at c2
第七章 行波法
2 2u 2 u a 0 2 2 t x
x at
x at
u u u x
2u 2 u 2u 2u 2 2 2 x 2
波阵面是一个球面，也或是波的传播是以球心
为中心沿半径方向传播的。其特征线方程为
dr a, dt
r at c
本节主要讨论无界域中波动方程初值问题的解法， 持别研究三维波动方程问题的解法。
第七章 行波法
达朗贝尔公式（一维波动方程初值问题的解 ）
无界弦的自由振动问题
utt a 2u xx 0, x u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
到之处，将引起那里的物理量发生变化，波过后那里的物理量
将回到原来的状态。这样，当人们在绝对坐标系下观察波动时， 发现波动过程是一个随时间和空间发生变化的时空问题，一个 非定常的物理现象，即波动函数不仅是空间位置的函数，也是 时间的函数。 如果人们以波速跟随波一起运动时，观测到的现象是波 峰不变，波周围的介质以波速向后移动。发现物理量的变化 可得到大大的简化，可由原来的非定常问题转换为定常问题。