2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：学期综合测评 Word版含解析

学期综合测评
对应学生用书P101本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于()
A．－3
5B．
4
5C．
2
5D．－
2
5
答案D
解析据三角函数的定义可知sinα＝－3
5，cosα＝
4
5，∴2sinα＋cosα＝－
6
5＋
4
5＝
－2
5．
2．若一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的
3
2倍，则该弧所对的
圆心角是原来的()
A．1
2B．2倍C．
1
3D．3倍
答案D
解析设圆弧的半径为r，弧长为l，其弧度数为l
r，将半径变为原来的一半，
弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r
＝3·
l
r ，即弧度数变为原来的3倍，故选D ． 3．已知sin (π＋α)＝1
3，则cos 2α＝( ) A ．79 B ．－89 C ．－79 D ．429 答案 A
解析 因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－1
3，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×－132＝79．
4．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos15°，且a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值为( ) A ．12 B ．3
2 C ．
3 D ．23 答案 C
解析 a·b ＝|a ||b |cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝3． 5．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C ．35 D ．－45 答案 B
解析 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－3
5．
6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB
→＝( )
A ．6
B ．4
C ．－4
D ．－6 答案 A
解析 ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4x －π2＝1，
∴π4x －π2＝π
4，∴x ＝3，即B (3，1)．
令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4x －π2＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2， ∴A (2，0)，∴OA →＋OB →＝(5，1)，AB →
＝(1，1)． ∴(OA →＋OB →)·AB
→＝6． 7．已知函数f (x )＝43sin ωx ＋π
3(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC ＝90°，则ω＝( )
A ．π4
B ．π8
C ．π6
D ．π
12 答案 B
解析 由三角函数图象的对称性知P 为AC 的中点，又∠ABC ＝90°，故|P A |＝|PB |＝|PC |＝T 2，则|AC |＝T ．由勾股定理，得T 2＝(83)2＋T
22，解得T ＝16，所以ω
＝2πT ＝π8．
8．为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )
A ．向右平移π
12个单位长度 B ．向右平移π
4个单位长度 C ．向左平移π
12个单位长度 D ．向左平移π
4个单位长度 答案 A
解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos3x 的图象向右
平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x －π4的图象．
9．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )
A ．ω＝2，θ＝π2
B ．ω＝12，θ＝π
2 C ．ω＝12，θ＝π4 D ．ω＝2，θ＝π
4 答案 A
解析 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π
2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；
y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2π
ω＝π，所以ω＝2，排除B ．故选A ．
10．已知|a |＝22，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD
→的长度为( )
A ．152
B ．15
2 C ．7 D ．8 答案 A
解析 AD
→＝12(AB →＋AC →)
＝1
2(5a ＋2b ＋a －3b ) ＝1
2(6a －b )，
∴|AD
→|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254， ∴|AD
→|＝152
．故选A ．
11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π2上具有单调
性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，则f (x )的最小正周期为( )
A ．π3
B ．π2
C ．5π
6 D ．π 答案 C
解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3，可得函数f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12，则x ＝π2离
最近一条对称轴的距离为7π12－π2＝π12．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π2上具有
单调性，故x ＝π4离最近一条对称轴的距离也为π12，所以T 2＝2×π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝5π
12，
所以T ＝5π
6．故选C ．
12．已知不等式f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ≤0，对于任意的－5π6≤x ≤π
6恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥ 3
B ．m ≤3
C ．m ≤－ 3
D ．－3≤m ≤3 答案 C
解析 f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ＝322sin x 2＋62⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x 2－6
2＋m
＝322sin x 2＋62cos x
2＋m ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫
32sin x 2＋12cos x 2＋m
＝6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2＋π6＋m ，
故要使f (x )≤0对任意的－5π6≤x ≤π
6恒成立，
只需m ≤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋π6在－5π6≤x ≤π6上恒成立．
∵－5π6≤x ≤π6，－π4≤x 2＋π6≤π
4， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6min ＝－3， ∴m ≤－3．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．函数f (x )＝sin 23x ＋π2＋sin 2
3x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
答案 3π2
解析 f (x )＝cos 23x ＋sin 23x ＝2sin 23x ＋π
4，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T ＝2π23
＝3π，∴T 2＝3π
2．
14．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝5
2，则a 与c 的夹角的大小为________．
答案 120°
解析 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，
∵(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．设a 与c 的夹角为θ，∵a ·c ＝x ＋2y ，
∴cosθ＝a·c
|a||c|＝
－
5
2
5＝－
1
2．
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．
15．已知函数f(x)＝2sin2π
4＋x－3cos2x－1，x∈
π
4，
π
2，则f(x)的最小值为
________．
答案1
解析f(x)＝2sin2π
4＋x－3cos2x－1
＝1－cos2π
4＋x－3cos2x－1
＝－cos π
2＋2x－3cos2x＝sin2x－3cos2x
＝2sin2x－π
3，
因为π
4≤x≤
π
2，
所以π
6≤2x－
π
3≤
2π
3．
所以1
2≤sin2x－
π
3≤1．
所以1≤2sin2x－π
3≤2．
即1≤f(x)≤2，则f(x)的最小值为1．
16．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：①函数f(x)的最小正周期为π；
②直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8，0是函数f (x )的图象的一个对称中
心；④将函数f (x )的图象向左平移π
4个单位长度，可得到函数y ＝2sin2x 的图象．
其中正确的命题为________(填序号)． 答案 ①③
解析 f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4，所以最小正周期T ＝π，①正确；当
x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin2×π4－π4＝2sin π4，不是最值，所以②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8＝2
sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，所以③正确；将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，所以④错误．综上，正确的命题为①③． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103． (1)求tan α的值；
(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－8
2sin α－π
4
的值．
解 (1)由tan α＋1tan α＝－10
3，整理，得3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 即(3tan α＋1)(tan α＋3)＝0．
∵3π4＜α＜π，∴－1＜tan α＜0，∴tan α＝－13．
(2)
5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－8
2sin α－π
4
＝
5sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6cos 2α2－8
2sin α－π
4
＝5sin 2α
2＋cos 2α
2＋4sin α＋6×1＋cos α
2－82sin α－π
4
＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝4×－13＋3
－13－1
＝－5
4．
18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为3π
4，且m ·n ＝－1．
(1)求向量n ；
(2)在△ABC 中，B ＝π3，若向量n ＝(0，－1)，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，求|n ＋p |的取值范围．
解 (1)设n ＝(x ，y )，
由m ·n ＝－1，得x ＋y ＝－1．① 又∵m 与n 的夹角为3π
4，
∴m ·n ＝|m ||n |·cos 3π
4， ∴x 2＋y 2＝1．②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－1，
∴n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)． (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，0<A <2π
3．
若n ＝(0，－1)，则n ＋p ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2－1＝(cos A ，cos C )．
∴|n ＋p |2
＝cos 2
A ＋cos 2
C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C
2
＝1＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π3．
∵0<A <2π3，∴π3<2A ＋π3<5π
3， ∴－1≤cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π3<12，
12≤1＋12cos
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π3<54
， 即|n ＋p |2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，54，∴|n ＋p |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22
，52．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋π
3－3sin 2x ＋sin x cos x ．
(1)当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；
(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，5π6上的简图；
(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到？
解 f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x
＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2
x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3．
(1)∵x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3≤1，
∴当x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]．
(2)由T ＝2π
2，得T ＝π，列表：
图象如下图．
(3)解法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π
3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．
解法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π
6个单位，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．
20．(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝π
4，半径为R ．现欲修建的花园为▱OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设∠MON ＝θ，▱OMNH 的面积为S ．
(1)将S 表示为关于θ的函数； (2)求S 的最大值及相应的θ值．
解 (1)如图，过N 作NP ⊥OA 于点P ，过H 作HE ⊥OA 于点E ， ∵∠AOB ＝π
4，
∴OE ＝EH ＝NP ＝R sin θ，OP ＝R cos θ，
∴HN ＝EP ＝OP －OE ＝R (cos θ－sin θ)， ∴S ＝HN ·NP ＝R 2(cos θ－sin θ)sin θ，θ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π4．
(2)S ＝R 2(cos θsin θ－sin 2θ) ＝R 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12sin2θ－
1－cos2θ2 ＝1
2R 2(sin2θ＋cos2θ－1) ＝12R 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2θ＋π4－1，
∵θ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π4，∴2θ＋π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，3π4，
∴当2θ＋π4＝π2，即θ＝π
8时，S 取得最大值，且最大值为2－12R 2．
21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π
4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．
(1)求点A 的坐标；
(2)若向量m ＝(sin2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos2x )，求函数f (x )＝m ·n x ∈0，π2的值域．
解 (1)设射线y ＝1
7x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α， 则tan α＝17，α∈0，π
2．
所以tan α＜tan π4，所以α∈0，π
4．
所以tan θ＝tan α＋π4＝17＋11－17×1
＝43，θ∈π4，π
2．
所以由⎩⎨⎧
sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝4
3，
得⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝4
5，cos θ＝3
5.
所以点A 的坐标为35，4
5． (2)f (x )＝3sin θ·sin2x ＋2cos θ·2cos2x ＝125sin2x ＋12
5cos2x ＝1225sin2x ＋π4．
由x ∈0，π2，得2x ＋π4∈π4，5π
4， 所以sin2x ＋π4∈－2
2，1，
所以函数f (x )的值域为－125，122
5．
22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )． (1)若x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
7π24，5π12时，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；
(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若关于x 的方程a ·b ＋1
2＝m 有且仅有一个实根，求实
数m 的值．
解 (1)∵a ＝(3sin2x ，cos2x )， b ＝(cos2x ，－cos2x )，
∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 2
2x ＋12 ＝3
2sin4x －1＋cos4x 2＋12
＝－12＋32sin4x －12cos4x ＋12＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π6．
由a ·b ＋12＝－35，得sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π6＝－35．
∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π24，5π12，∴4x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2．
∴cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π6＝－45．
∴cos4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫4x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π6sin π6
＝3－4310．
(2)∵cos x ≥1
2，
又因为余弦函数在(0，π)上是减函数，
∴0<x≤π3．
令f(x)＝a·b＋1
2＝sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
4x－
π
6，g(x)＝m，
在同一坐标系中作出两个函数的图象，
由图可知：m＝1或m＝－1 2．。