复变函数和积分变换第二版本-3 复变函数试题.ppt

(6) 积分
1sinz dz的值为 |z|1 z(z2)
i .。
变 换
(7) 映射 f(z)z22z在 zi处的旋转角为
4
。.
试
题
伸缩率为 2 2 .。
()
二
(8) 函数 f(t) 1 2 co 2 t的sFourier 变换为
2007
2 [() ( 2 ) ( 2 ).。]
6
解答
复
数 解 (1) 首先 u(x, y) 必须为调和函数，即 uxxuyy0, 与
积
u x x u y y 6 a x 2 x y 4 0 y ,
分
变
a4,
换 试
故 u (x ,y) 4xy3 4x 3y.
题
二
()
2007
11
解答
复 三、已知 u (x ,y ) 4 x y 3 a x 3y ,求常数 a 及二元函数 v(x, y)
sin1,
z
则 z = 0 为 f (z) 的本性奇点，
积
分 变
f( z ) z 2 ( 1 1 z 2 ! 1 z 2 3 ! 1 z 3 ) (1 z 3 ! 1 z 3 5 ! 1 z 5 )
换
试 题
(11) 1 ,
3! 2! z
()
二
R[ef(sz),0]111,
3! 2! 3
变
二、1.
ez 1 |z|2 z(z1)2 dz
函
数 与
解
令
f(z)
ez 1 z(z1)2
,
积
分
(1) z1 = 0 为 f (z) 的可去奇点，R [fe (z),s 0 ] 0 ;
变
换
(2) z 2 = 1 为 f (z) 的二阶极点，
试
题
R [f( e z ),1 s ] li[z m (1 ) 2 f(z ) ]
2007
证明： |z|1 ff2((zz)) 4 4ff((zz))dz0.
4
解答
复
复变函数与积分变换试题(二) 解答
变 函
一、填空题
数 与
(1) 复数 2i
的模为
2
.，辐角主值为
3 4
。
积
1 i
分 变
(2) 函数 f(z)y2ix2在何处可导？ 在直线 x = y 上 .；
换 试
何处解析？ 处处不解析 .。
变
换 试 题
Re[sf(z), i]ze2iz 2z
zi
1 2e2
.
()
二
(2) 原式 1Im (2πR i e[fs(z),i])
2
2e2
.
2007
10
解答
复 三、已知 u (x ,y ) 4 x y 3 a x 3y ,求常数 a 及二元函数 v(x, y)
变 函
使得 f(z)uiv为解析函数且满足条件 f(1)0.
题
二 (3) L(n3i)2的值为 l4 n i(/3 2 k).。
()
(4) 函数 f(z)z2(1 1i)zi 在 z0处展开成泰勒级数的
2007
收敛半径为 1 .。
5
解答
复 变
(5) z = 0 为函数 f(z)ex(p 1zc2ozs)的何种类型的奇点？
函 数
可去奇点 Байду номын сангаас。
与
积 分
积 分
保形映射。
变 换 七、利用 Laplace 变换求解微分方程组
试 题
二
x (t) y (t) y (t) te t, x (0 ) y (0 ) 0 , x (t) y (t) x (t) sti,n x (0 ) y (0 ) 1 .
()
八、设函数 f (z) 在 |z|2上解析，且满足 |f(z)2|2,
收敛半径为 .。
1
试题
复 变
(5) z = 0 为函数 f(z)ex(p 1zc2ozs)的何种类型的奇点？
函 数
.。
与
积 分
(6) 积分
1sinz dz的值为
|z|1 z(z2)
.。
变
换 (7) 映射 f(z)z22z在 zi处的旋转角为
。.
试
题 伸缩率为
.。
()
二
(8) 函数 f(t) 1 2 co 2 t的sFourier 变换为
试题
复
复变函数与积分变换试题(二)
变 函
一、填空题
数 与
(1) 复数 2i
的模为
.，辐角主值为
。
积
1 i
分 变
(2) 函数 f(z)y2ix2在何处可导？
.；
换 试
何处解析？
.。
题
(3) L(n3i)2的值为 二
.。
()
(4) 函数 f(z)z2(1 1i)zi 在 z0处展开成泰勒级数的
2007
()
z1( 51)/2,z2( 51)/2.( z 2 不在 |z|1内)
2007
(3) 原式
2 π R i[f( e z ),z s 1 ]2πii(2z1
2π. 5) zz1
9
解答
复
变
二、4.
0
xsin2x x21
dx
函 数 与
解
(1) 令
f (z)
ze2iz (z2 1) ,
积
分
则 f (z) 在上半平面有一个一级极点 z i,
2007
.。
2
试题
复 二、计算题
变 函 数
1.
|z|2
ez 1 z(z1)2
dz
2.
1
z2ez
sin1
dz
|z|2
z
与
积 分
2π dθ
3. 0 2cosθ 5
4.
0
xsin2x x21
dx
变
换 试
三、已知 u (x ,y ) 4 x y 3 a x 3y ,求常数 a 及二元函数 v(x, y)
变 函
使得 f(z)uiv为解析函数且满足条件 f(1)0.
数 解 (1) u (x ,y) 4xy3 4x 3y. 与
题
使得 f(z)uiv为解析函数且满足条件 f(1)0.
()
二 四、将函数 f(z)z2(1 1 ii)zi 分别在 z0和 z1处展开
2007
为洛朗(Laurent)级数。
3
试题
复 变
五、求区域
D {z:πIm zπ,R z e 0}在映射 w
2
2
ez ez
i i
下
函
的像区域。
数
与 六、求把区域 D { z : |z 1 | 1 ,R z 0 e } 映射到单位圆内部的
2007
原式 2πR i [e f(zs),0]2i.
3
8
解答
复
变
二、3.
2π dθ 0 2cosθ 5
函 数 与
解
(1) 令 z ei ,
则 cos z2 1 , d
2z
dz , iz
积 分 变 换
原式
1
|z|1 2z22z1
dz iz
5
|z|1
dz i(z2 5z1)
.
试
题 二
(2) 令 f(z)i(z215z1), 则 f (z)有两个一阶极点：
()
z 1
二
lim(ez z1
1)limzez
z
z1
ez z2
1
1
.
2007
(3) 原式 2 π ( R [ f i ( z ) , 0 e ] R s [ f ( z ) , 0 e ] ) 2 s i .
7
解答
复
变
二、2.
1
z2ez
sin1
dz
|z|2
z
函
数 与
解
令
f
(z)
1
z2ez