第11章 空间直线与平面

第十一章空间直线与平面
第43讲平面的基本性质
一、填空题
1.空间中有四个点，如果其中任意三个点都不共线，那么经过其中三个点的平面个数是________.
2.空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线.由这7个点可以确定________条直线，最多可确定________个平面.
3.边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为________.
4.下列命题正确的有________（填序号）.
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面.
5.如图所示的正方体中，点P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.
6.正方体各面所在平面将空间分成________部分.
二、选择题
7.如果空间的三个平面两两相交，那么（）
A.不可能只有两条交线
B.必相交于一点
C.必相交于一条直线
D.必相交于三条平行线
8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图，∠ABC=45°，AB=2，AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（）
A.2+
B.4+
C.2D .1三、解答题
9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别是棱CD ，AB ，DD 1，AA 1上的点.若MN 与EF 交于点Q ，求证：D ，A ，Q 三点共线.
10.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠FAB =90°，12BC AD ‖，1
2
BE FA ‖，
G ，H 分别为FA ，FD 的中点.
（1）求证：四边形BCHG 是平行四边形. （2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？
11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点，AC BD P =，11
AC EF Q =.
（1）求证：D ，B ，F ，E 四点共面；
（2）若A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P ，Q ，R 三点共线吗？
走近高考
已知A ，B 是两个不同的点，m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则 ①m α⊂，A m A α∈⇒∈；
②m n A =，A α∈，B m B α∈⇒∈； ③m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒‖‖； ④m α⊂，m βαβ⊥⇒⊥. 其中真命题为（ ）
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
第44讲 空间两条直线的位置关系
一、填空题
1.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数是________个.
2.[改编题]如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线B 1C 与直线AD 1所成的角为________.
3.已知空间中有三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC =∠BCD ，下列说法正确的是________. ①AB ∥CD ；②AB 与CD 异面；③AB 与CD 相交；④以上都有可能.
4.若Rt △ABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为________.
5.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；
②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60°角；
④CN 与AF 垂直.
以上四个命题中，正确的是________.
6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA =90°，点D 1，F 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1=1，则BD 1与AF 所成角的余弦值为________.
7.已知空间四边形ABCD ，AB =CD =2，且AB 与CD 所成的角为3
π
，设E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 的长度为________. 二、选择题
8.“两条直线没有公共点”是“两条异面直线”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
9.异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（ ）
A.0°<θ<90°
B.40°<θ<90°
C.40°<θ<50°
D.80°<θ<90° 三、解答题
10.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.
11.[改编题]如图，S 是圆锥的顶点，O 是底面圆的圆心，AB ，CD 是底面圆的两条直径，且AB ⊥CD ，SO =4，OB =2，P 为SB 的中点，求异面直线SA 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
12.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1.若D 为B 1C 1的中点，求异面直线AD 与A 1B 所成角的大小.
走近高考
如图，在三棱锥A -BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________.
第45讲直线与平面的位置关系
一、填空题
1.如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有________条.
2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且::1:4
==，又
AE EB AF FD
H，G分别为BC，CD的中点，则下列说法中错误的是________.
①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形；
②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形；
③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形；
④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形.
3.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则点P到对角线BD的离是________.
4.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________.
5.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为
邪.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为，PD ⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________.
6.在△ABC中，已知AB=6，BC=8，AC=10，SB=5且SB⊥平面ABC，则S到AC距离为________.
7.若长为26的线段AB的端点到平面α的距离分别为7和17，则AB在平面α上的射影长为________.
二、选择题
8.已知直线a ，b 和平面M ，N ，且a ⊥M ，则下列说法正确的是（ ） A.b M b a ⇒⊥‖ B.b a b M ⊥⇒‖ C.N M a N ⊥⇒‖
D.a 不在平面N 上M
N ⇒≠∅
9.设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ‖；
②若m α⊂，n α⊂，m β‖，n β‖，则αβ‖； ③若αβ‖，l α⊂，则l β‖； ④若l α
β=，m βγ=，n γα=，l γ‖，则m n ‖.
其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题
10.如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =1，BC =2，1CD =A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥E C.求证：BC ⊥平面CDE .
11.如图，在三棱锥P -ABC 中，∠PAC =∠BAC =90°，PA =PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点.求证：
（1）直线DF ∥平面PAC ； （2）PF ⊥A D.
12.如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为弧AB 的中点，SO =AB . （1）证明：AB ⊥平面SOC ；
（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成角的正切值.
走近高考
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，设AB 1的中点为D ，11B C BC E =.
求证：
（1）DE ∥平面AA 1C 1C ； （2）BC 1⊥AB 1.
第46讲 两平面的位置关系
一、填空题
1.如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有________对.
2.设两个不同的平面α，β，两条不同的直线a ，b ，且a α⊂，b α⊂，则“a β‖，b β‖”是“αβ‖”的________条件.
3.过两平行平面α，β外且不位于α，β之间的一点P 作两条直线，分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA =6，AC =4，PB =15，则BD 的长为________.
4.已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：
①m n m n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；②m m n n ββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；③m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
‖；④m n m n αβαβ⎫
⎪⇒⎬⎪⎭
‖‖‖‖. 其中正确命题的序号是________.
5.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是________.
①AD ⊥平面BCD ；②AB ⊥平面BCD ；③平面BCD ⊥平面ABC ；④平面ADC ⊥平面ABC .
6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，l 是平面AB 1D 1与平面ABCD 的交线，则点D 1到l 的距离是________.
7.正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3
，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的
平面角的大小为________. 二、选择题
8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题：
①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P -BC 1-D 的大小为定值； ③三棱锥D -BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值.. 其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC ⊥l ，C 为垂足，B β∈，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则点D 到平面ABC 的距离等于（ ）
D.1
三、解答题
10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：
（1）直线EG ∥平面BDD 1B 1； （2）平面EFG ∥平面BDD 1B 1.
11.如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值.
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a.
（1）求证：DA⊥平面PAC；
（2）如果二面角M-AC-D的正切值为2，求a的值.
走近高考
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥E C.求证：平面AEC⊥平面AF C.。