2019年5月四川省成都市第七中学2019届高三热身考试理科数学试题及参考答案

2018-2019 学年下期高三理科数学考试试卷
注意事项：
本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第6页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．已知集合{}1log |2<=x x A
，集合{
|B y y ==，则=B A
A ． )2,(-∞
B ．]2,(-∞
C ．)2,0(
D ．),0[+∞
2．已知复数z 满足i z i 23+=⋅（i 是虚数单位），则=z A ． i 32+ B ．i 32-
C ．i 32+-
D ．i 32--
3．已知实数y x ,满足约束条件20
2201
x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
,则目标函数21y z x -=+的最小值为
A ． 23-
B ．54
- C ． 4
3
-
D ． 12
-
4. 5. 6.
7. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种
8. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若ABC ∆的面为S ，且22)34c b a S -+=（，则
=+
)4
si n(π
C
A ．1
B ．
22 C ．426- D ．4
2
6+ 9. 如图所示的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是
A ．21
B ．31
C ．42π-
D ．41π
-
10.
11.
12.
第 II 卷
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分． 13．观察下列式子，312ln >
，51313ln +>，7
1
51314ln ++>，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________________.
14.
15.
16．如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点N M ,分别在线段AC AB ,上，将AMN ∆沿线段MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为________
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第2117-题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23,22题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分．
18．(12分)如图在直角ABC ∆中， B 为直角，BC AB 2=，F E ,分别为AC AB ,的中点，将AEF
∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接CD BD ,，M 为CD 的中点. （Ⅰ）证明：⊥MF 面BCD ；
（Ⅱ）若BE DE ⊥，求二面角C MF E --的余弦值.
19．(12分) 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活。

网购是非常方便的购物方式，为了了
解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人 ）
（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过01.0的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠劵，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差.
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20. (12分)
21．(12分)已知函数x
e x
f x
=)(，)ln (2)(x x x g -=
（Ⅰ）当0>x 时，证明)()(x g x f >；
（Ⅱ）已知点))(,(x xf x P ，点)cos ,sin (x x Q -，设函数OQ OP x h ⋅=)(，当]2
,2[π
π-∈x 时，试判断)(x h 的零点个数.
(二)选考题：共10分．请在第23,22题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修44-：坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=t y t x 21231 (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=. (Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设点)0,1(P ，直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求11
PA PB
+的值. 23.
2018-2019 学年下期高三理科数学考试试卷答案
1.D
2.A
3.B
4.A
5.C
6.B
7.C
8.D
9.D 10.D 11.A 12.B
13.1
21
7
1
5
13
11ln ++
+++>+n n ）（
14. 15.63 16.3-32
17．解析：（Ⅰ）由题意得，B A B C sin sin 2cos sin 2+=…………………………2 分
2sin cos 2sin cos C B B C ⇒=12cos sin sin cos 2
B C B C ++⇒=-，
所以角2
3C π=
.
……………………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）( )2sin(2)cos 26
π
=+
+f x x m x 2sin 2cos 2cos 2 sin
cos 266π
π
=++x
x m x
2(1) cos 2=++x m x ………………………………………8 分
由题意其一条对称轴方程为3
x π
=
，
∴ 2(0)(
)3f f π=
，得441(1) cos
33
ππ
+=++m m ，即2=-m
∴(
)cos 22sin(2)6
f x x x x π
=-=-
又6
()2sin()2
6
5
f απ
α=-
=
， ∴3
sin()65
π
α-
=，………………………………………………………………………10 分
2cos(2)cos(2)cos(2)cos 2()
336
C πππ
αααα+=+=--=--
27
2sin ()1625
πα=--=-． …………………………………………12 分
18．解：(1)取DB 中点N 连接EN MN ,
,21BC MN 平行且等于
...................2分
,,,E DE BE DE EF BE EF =⋂⊥⊥ BDE EF BDE DE BE 平面平面⊥∴⊂,
EN EF ⊥∴MN MF ⊥∴ ...................3分
BC EF 21平行且等于是平行四边形四边形EFMN ∴
（2） BE DE ⊥，又 EF DE ⊥，E EF BE =⋂，BEF DE 平面⊥∴，
∴可建立如图所示坐标系， ...................7分
设2=BC ，∴)1,1,1(),0,2,2(),0,1,0(),0,0,0(--M C F E .. .. ......8分
)0,1,0(=∴EF ，)1,0,1(-=FM ，)0,1,2(-=CF ， 设面EMF 的法向量为),,(z y x m =，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00
FM m EF m ，
⎩
⎨
⎧=+-=∴00
z x y 取1=x ，)1,0,1(=∴m ； ..............9分
同理可得CMF 的法向量)1,2,1(=n ， ..............10分
3
3
cos =
=
∴θ .............11分 所以二面角C MF E --的余弦值3
3
- .............12分 19．解：（1）
由列联表可知
635.6333.83
2510010080120)70503050(20022
>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，能在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关。

.............4分 （2）①由题意，所抽取的10名女市民中，经常网购的有7100
70
10=⨯
人，偶尔或
不用网购的有3100
30
10=⨯
人，所以选取的3人中至少有2人经常网购的概率为6049C C C 3
10
371327=+=C P .............8分 ②由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民频率为
6.0200
120
=， .............9分
X ~()6.0,10B , .............10分
66.010)(=⨯=x E ，4.24.06.010)(=⨯⨯=x D . ............12分
21．解：(1)令)()(x f x =ϕ)(x g -x
e x
=)ln (2x x --， 则)11(2)1)(2
x x
e x x x ---='（ϕ2)
2)(1x x e x x --=（ .............1分
所以，当)2ln ,0(∈x 时，0)(<'x r ，)(x r 递减； 当)2(ln ∞+∈，x 时，0)(>'x r ，)(x r 递增。

所以02ln 2)2(ln )(>-=≥r x r 恒成立， .............3分 当)1,0(∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减；
当)1(∞+∈，x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增。

所以02)1()(>-=≥e x ϕϕ，∴)()(x g x f >. ............5分 （2）),(x e x OP =,x e x x OQ OP x h x cos sin )(+-=⋅=
x
e x x e x e x e x x x x h x
x
x x sin )1(cos )(sin cos cos sin )('+--=-+--= .............6分
① 当,02x π⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，由（1）知2x e x x >> 0>-∴x e x
上单调递增，在（⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∴02-)πx h
0)2
(,01)0(<->=π
h h 上有一个零点。

，）在（由零点存在定理知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∴02-πx h ..........8分 ② 0,0sin cos 4,
0>>>≥⎥⎦
⎤
⎝⎛∈x e x x x x 时，当π
x x x e x sin cos >∴ 0s i n c o s )(>-=∴x x x e x h x
上无零点。

，在⎥⎦
⎤ ⎝⎛∴4,0)(πx h ......... 9分
③x x x sin cos 02,4<<⎥⎦
⎤
⎝⎛∈时，当ππ )sin cos ()sin (cos )('x x x x x e x h x +--=
0sin cos ,0sin cos >+<-x x x x x
0)sin cos ()sin (cos )('
<+--=∴x x x x x e x h x
cos )(≥-∴x x e x 0
sin )1(≤+∴x e x 0sin )1(cos )(≥+--∴x e x x e x x
上单调递减，在⎥⎦
⎤
⎝⎛∴24)(ππx h 0)4
(224,2)2(4>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ
ππ
e h h
上有一个零点。

在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∴2,4)(ππx h . ...........11分
综上，个零点。

上有，）在（222-
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππx h ..........12分 22.解： 013t 21231)1(=-+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=y x l t y t x 的普通方程为得直线消去 .
42-x 04cos 4cos 42
2
222=+∴=-+∴=∴=y x y x ）（曲线的直角坐标方程：θρρθρ ..........5分
（2）03304:21231222=-+=-+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=t t x y x C t y t x 得代入曲线 0
,03
3,21212121><⎩⎨⎧-=⋅-=+t t t t t t t t B A 不妨设则两点对应的参数分别为，设
........7分
.3
15
4)(111121212212121212121=-+=-=+=+=+∴t t t t t t t t t t t t t t t t PB PA .........10分。