新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的大致图象是（ ）. A ． B ．
C ．
D ．
2．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点
对”，已知函数()23,0
2,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩
，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知函数2()log x f x =，在[1
16
，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的取值范围是（ ） A ．[1,2]
B ．[0,2]
C ．[1,3]
D ．[0,3]
4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，
()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实
数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4
D ．()4,6
5．已知函数2
22,1
()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则
52f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（ ） A ．12
-
B ．-1
C ．-5
D ．
12
6．已知实数12
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．a c b <<
7．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在11(,)
33
-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3
-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11(,)33
-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3
-∞-单调递减
8．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）
A ．a <b <1<c <d
B ．b <a <1<d <c
C ．1<a <b <c <d
D ．a <b <1<d <c
9．函数2
y 34
x x =
--+ ）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-， 10．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞ 11．已知()243,1log 2,1
a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有
()()
12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）
A ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12．若函数
()()2
12
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题
13．现有下列四个结论：
①若25a b m ==且a b =时，则1m =； ②若236log log log a b c ==，则c ab =；
③对函数()3x
f x =定义域内任意的1x ，都存在唯一的2x ，使得()()121f x f x ⋅=成立；
④存在实数a ，使得函数()()
2
ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R .
其中所有正确结论的序号是_________. 14．已知()(3),1
log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．
15．已知函数(
)
2
12
log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______.
16．函数()()12
log 13y x x =-+的递增区间为______．
17．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 18．若幂函数
()2()57m f x m m x =-+在R
上为增函数则
1
log 2
log 2lg5lg4m
m m
+-=_____．
19．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3x
f x =，则
13log 19f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______. 20．已知2336m n ==，则
11
m n
+=______． 三、解答题
21．计算下列各式的值： （1）11
00.75
3
270.064
()160.258
---++;
（2
）53log 425
log lg lg 4522
++-.
22．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；
（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.
23．分别计算下列数值：
（1
）1
lg3lg94lg81lg 27
+--； （2）已知()1
401x x
x -+=<<，求
22112
2
x x x x
---+.
24．（1）若223a a -+=，求1a a --和33a a --的值；
（2）计算33
(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+的值.
25．（1
）
160.253
71.5
86-⨯-+-⎫
⎛ ⎪⎝⎭
（2
）
1324
lg lg82493
-+26．设函数()log (1)a f x ax =-，其中01a << (1)证明()f x 是1(,)a
-∞上的增函数； (2)解不等式()1f x >.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】
由函数解析式可得：1,022,0x
x x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩
可得值域为：01y <≤， 由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．C
解析：C 【分析】
由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】
由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则
称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,0
2,0x
x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧
部分()3,0x
y x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3x
y -=，()0x >，作
函数3x
y -=，()0x >和()2
2,0y x x x =-≥的图象如下：
由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】
本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.
3．D
解析：D 【分析】
由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】
由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，
所以
1
,8 22
m⎡⎤∈⎢
⎥
⎣⎦
，[]
2
lo
2
g0,3
2
m m
f
⎛⎫
=
⎪
⎝
∈
⎭
.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]
1,16
m∈，即可得解.
4．D
解析：D
【分析】
转化条件为函数()
f x是周期为2的周期函数，且函数()
g x、()
f x的图象均关于1
x=-对称，由函数的对称性可得两图象在1
x=-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解.
【详解】
因为函数()
f x满足()()
2
f x f x
+=，所以函数()
f x是周期为2的周期函数，
又函数()log1
a
g x x
=+的图象可由函数log
a
y x
=的图象向左平移一个单位可得，
所以函数()log1
a
g x x
=+的图象的对称轴为1
x=-，
当[)
1,1
x∈-时，()2
f x x
=，所以函数()
f x的图象也关于1
x=-对称，
在平面直角坐标系中作出函数()
y f x
=与()
y g x
=在1
x=-右侧的图象，
数形结合可得，若函数()log1
a
g x x
=+图象与()
f x的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在1
x=-右侧有5个交点，
则()
()
1
3log41
5log61
a
a
a
g
g
⎧>
⎪
=<
⎨
⎪=>
⎩
，解得()
4,6
a∈.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.
5．A
解析：A 【分析】
根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，即可得选项.
【详解】
因为函数222,1
()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以
2253log log 2122f ⎛⎫
=<= ⎪⎝⎭
，
23log 2531222222f f
⎡
⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦
. 故选：A. 【点睛】
本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.
6．D
解析：D 【分析】
本题首先可根据2log 3b =
以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出
c a >，即可得出结果.
【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，
所以b c >，
因为0
12
11122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎝⎭
=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】
指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.
7．D
解析：D 【分析】
根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论． 【详解】
函数定义域是1{|}3
x x ≠±，
()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，()f x 是奇函数，排除
AB ，
312()ln
ln 13131x f x x x +==+--，11,33x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，2310x -<-<，
2231x <--，即21031x +
<-，而131u x =-是减函数，∴2131v x =+-是增函数，∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪
⎝⎭
上是增函数，排除C ．只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】
结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．()y f x =与()y f x =-的单调性相反， 在()f x 恒为正或恒为负时，()y f x =与1
()
y f x =
的单调性相反，若()0f x <，则()y f x =与()y f x =的单调性相反．0a >时，()y af x =与()y f x =的单调性相同．
8．B
解析：B 【分析】
根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】
根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，
根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】
本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】
要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41
x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C
10．C
解析：C 【分析】
根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】
因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，
因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23
<a ， 综上023
a <<． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
11．C
解析：C 【分析】
判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】
解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩
（）满足对任意12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，
所以：0121442a a a a
<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩
，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．
故选C ． 【点睛】
本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．
12．C
解析：C 【分析】
求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】
解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，
内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，
而外层函数
12
log y u =在定义域上为减函数，
由复合函数法可知，函数
()()2
12
log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数
()()2
12
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，322
32225
m m m m -≥⎧⎪-<+⎨
⎪+≤⎩
，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
13．①②③【分析】利用换底公式结合求得的值可判断①的正误；设利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由求得可判断③的正误；求出函数的定义域值域分别为时对应的实数的取值范围可判断④的正误【详
解析：①②③ 【分析】
利用换底公式结合a b =，求得m 的值，可判断①的正误；设
236log log log a b c t ===，利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正
误；由()()121f x f x ⋅=求得21x x =-，可判断③的正误；求出函数()g x 的定义域、值域分别为R 时，对应的实数a 的取值范围，可判断④的正误. 【详解】
对于①，由于250a
b
m ==>，可得2lg log lg 2m a m ==
，5
lg log lg 5
m
b m ==， 由于a b =可得lg lg lg 2lg 5
m m
=，则lg 0m =，解得1m =，①正确； 对于②，设236log log log a b c t ===，可得2t a =，3t b =，6t c =，则
236t t t ab c =⋅==，②正确；
对于③，对任意的1x R ∈，则()()121
2
123331x
x
x x f x f x +⋅=⋅==，120x x ∴+=，可得
21x x =-，③正确；
对于④，若函数()(
)
2
ln g x x ax a =++的定义域为R ，对于函数2
y x ax a =++，
240a a ∆=-<，解得01a <<；
若函数()(
)
2
ln g x x ax a =++的值域为R ，则函数2
y x ax a =++的值域包含()0,∞+，
则240a a ∆=-≥，解得0a ≤或1a ≥.
所以，不存在实数a ，使得函数()()
2
ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R ，④错误.
故答案为：①②③. 【点睛】
关键点点睛：解本题第④问的关键点在于找到函数()()
2
ln g x x ax a =++的定义域为R
的等价条件∆<0；函数()()
2
ln g x x ax a =++的值域为R 的等价条件0∆≥.
14．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分
解析：31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可． 【详解】 解：若01a <<， 当1≥x 时，log 0a x ≤，
当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，
此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；
若1a >，
当1≥x 时，log 0a x ≥，
当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，
需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，
3
12
a ∴<≤
， 综上所述，312
a <≤
， 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
．
【点睛】
本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档
题.
15．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数
解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【分析】
函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】
令2t x ax a =-+,则原函数化为
12
()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数
()212
log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,
且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有23
2
330a
a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩
,解得92a ≤. 故答案为:9,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.
16．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-
【分析】
首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：
()()12
log 13y x x =-+
则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()2
1314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈
-，则12
log
y t =
因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；
12
log y t =在定义域上单调递减
根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12
log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增
故答案为：()1,1- 【点睛】
本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.
17．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析：3(1,]2
【分析】
由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有
1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．
【详解】
∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312
a <≤
． 故答案为：3
(1,]2．
【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．
18．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键
解析：3 【分析】
利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】
()()
257m f x m m x =-+在R 上为增函数，
25710
m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log
2
log 2lg 5lg 4m
m m
∴+-=3
1log 2
3l l og 3
g1003+=
故答案为：3. 【点睛】
正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.
19．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又
由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解 解析：2719
-
【分析】
由()f x 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】
由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，
又由()0,1x ∈时，函数()3x
f x =，且()()1f x f x =-+，
则1333
3
9(log 19)(log 19)(log 192)(log )19
f f f f =-=-+= 327lo
g 19
3392727(log 1)(log )3191919
f f =-+=-=-=-.
故答案为：27
19
- 【点睛】
函数的周期性有关问题的求解策略：
求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期； 解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.
20．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析：
12
【分析】
根据对数的定义和运算法则即可求解． 【详解】
由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361
log 3n
=， 所以
363636111log 2log 3log 62
m n +=+==， 故答案为：1
2
【点睛】
本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）10 （2）0 【分析】
（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）11
00.75
3
270.064
()160.258
---++
()
1
1333
2
44
2112
54-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
511822
10=
（
2）53
log 425
log lg lg 4522
++-
3
4
223log 2log 2lg 5lg 22lg 24
=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144
=
-+- 0=
【点睛】
本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.
22．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为
24m m -+. 【分析】
（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解. （2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k
-+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数
2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..
【详解】 （1）
()f x 为偶函数，
()()f x f x ∴=-， 2?22?2x x x x k k --∴+=+，
即(1)(22)0x x k ---=，对任意的x 恒成立，
1k ∴=.
（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k -+⨯，
令2[x
t m =∈，2]m +，
2()4g t t t ∴=-+，
当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +， 则()max g t g =（2）4244=-+⨯=， 当2m 时，对称轴2t m =，
则2
()()4max g t g m m m ==-+，
故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．（1）3
2
；（2
）-. 【分析】
（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；
（2）由已知条件可求得1x x --的值，可求得22x x -+，并求得1
1
22x x -+的值，代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】
（1）原式11lg3lg3lg3
111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27
+-=++
=+=； （2）因为()()()2
2
1114x x x x x x x x -----=+-=-，
所以(
)()
2
2
11412x x
x x ---=+-=，
因为01x <<，则1x x -<
，所以1x x --=-
22x x --=-，
又因为2
1112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭
，所以11
22x x -+=
所以
22112
2
x x x x
---=-+
【点睛】
本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
24．（1）1,4±±；（2）1.
【分析】
（1）利用完全平方公式和立方差公式计算． （2）由对数的运算法则计算． 【详解】
（1）1222
()2321a a a a ---=-+=-=，所以11a a --=±，
33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=±⨯+=±；
（2）lg 2lg5lg(25)1+=⨯=．
3322(lg 2)3lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)(lg 2lg 2lg5lg 5)3lg 2lg5+⋅+=+-++ 2222lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5lg 22lg 2lg5lg 5=-++=++2(lg 2lg 5)1=+=．
【点睛】
本题考查幂的运算法则和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题基础． 25．（1）110；（2）13
lg5lg 222
- 【分析】
（1）利用指数幂的运算法则即得解； （2）利用对数的运算法则即得解. 【详解】
（1）原式1111323334422()12223()33
⨯=⨯+⨯+⨯-
2108110=+=
（2）原式1
5322
2124lg lg 2lg(57)273
=-+⨯
11
(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 11
(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 31lg 2lg522=-+
【点睛】
本题考查了指数与对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 26．（1）见解析；（2）11
{|}a x x a a
-<< 【分析】
(1)根据函数单调性的定义及对数函数的性质，即可证出结果；
(2)根据函数()f x 的单调性，可将不等式()1f x >转化为一元一次不等式，即可得到原不等式的解集． 【详解】
(1)由10ax ->，01a <<得1
x a
<
，所以()f x 的定义域为1(,)a -∞，
设1x ，2x 为区间1
(,)a -∞的任意两个值，且211
x x a
<<
，则 211ax ax ->->-，所以21110ax ax ->->，
又01a <<，所以21log (1)log (1)a a ax ax -<-，即21()()f x f x <， 所以()f x 是1(,)a
-∞上的增函数．
(2)由()1f x >得log (1)1log a a ax a ->=，又01a <<， 所以01ax a <-<，所以11ax a -<-<-，所以11
a x a a
-<<， 所以不等式()1f x >的解集为11
{|}a x x a a
-<<． 【点睛】
本题主要考查对数型复合函数单调性的证明及对数不等式的解法，属于中档题．。