甘肃省兰州市市区片八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.在实数0，3，7，π2，102，1
2.3454545…中，无理数有（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）
A. 1，2，5
B. 1，2，3
C. 3，4，5
D. 6，8，12
3.点A（-3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）
A. (3,−2)
B. (3,2)
C. (−3,−2)
D. (2,−3)
4.一个数的算术平方根的相反数是−213，则这个数是（）
A. 97
B. 493
C. 349
D. 499
5.414、226、15三个数的大小关系是（）
A. 414<15<226
B. 226<15<414
C. 414<226<15
D. 226<414<15
6.已知△ABC的三边分别长为a、b、c，且满足（a-17）2+|b-15|+c2-16c+64=0，则△ABC
是（）
A. 以a为斜边的直角三角形
B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形
D. 不是直角三角形
7.已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为（）
A. 3
B. 6
C. 8
D. 5
8.设a=19−1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）
A. 1和2
B. 2和3
C. 3和4
D. 4和5
9.如果x−1+9−x有意义，那么代数式|x-1|+(x−9)2的值为（）
A. ±8
B. 8
C. 与x的值无关
D. 无法确定
10.如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE
＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的
直角三角形的斜边长为（）
A. 5cm
B. 12cm
C. 16cm
D. 20cm
11.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积
为（）
A. 16
B. 2
C. 32
D. 130
12.现规定一种新的运算“*”：a*b=a b，如3*2=32=9，则12*3=（）
A. 18
B. 8
C. 16
D. 32
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以
12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距______km．
14.点P（-a2-1，a2+6）在第______象限．
15.(−81)2的算术平方根是______，127的立方根是______，5-2的绝对值是______，
2的倒数是______．
16.一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2
个单位长度后，它所在位置的坐标是________．
三、计算题（本大题共3小题，共38.0分）
17.计算：
（1）2（2−3）+12÷2
（2）（3-1）2-（3+22）（3-22）
（3）3−64-9+1−(45)2
（4）|-3|+（1-2）0+8-（12）-2
18.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC
折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE
为折痕，求EB′的长．
19.先化简，再求值：a+1−2a+a2，其中a=1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）______的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
（3）先化简，再求值：a+2a2−6a+9，其中a=-2007．
四、解答题（本大题共7小题，共48.0分）
20.已知点A（a-1，5）和点B（2，b-1）关于x轴对称，求（a+b）2003的值．
21.请在数轴上作出5，-2对应的点．
22.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，且|a|=|b|，化
简|a|+|b|+|c|-(c−a)2-2c2
23.如图，在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=6，底边BC=4，
建立适当的坐标系，写出各顶点的坐标，并计算三角形的面
积．
24.长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜
糖，需要爬行的最短距离是多少？
25.请利用如图验证勾股定理．
26.如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其
中，C点坐标为（1，2）．
（1）写出点A、B的坐标：
A（______，______）、B（______，______）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（______，______）、B′（______，______）、C′（______，______）．
（3）△ABC的面积为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
无理数的三种常见类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．据此求解可得．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）
等形式．
【解答】
在所列的数中，无理数有，，这3个，
故选B．
2.【答案】D
【解析】
解：根据勾股定理的逆定理知，三角形三边满足c2=a2+b2，三角形就为直角三角形，四个选项，只有D中不满足，故选D．
符合勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，是基础知识，要熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】
解：A（-3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），
故选：B．
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】D
【解析】
解：∵-2=-，
而-的相反数为，
（）2=，
∴的算术平方根的相反数是．
故选：D．
先把带分数化为假分数，根据相反数的定义得到所求的数的算术平方根为，然后把平方即可．
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为（a≥0）．
5.【答案】A
【解析】
解：∵4=，
15=，
224＜225＜226，
∴4＜15＜．
故选：A．
把第一个数根号外的数移到根号内，第3个数用根式表示出来，然后比较被
开方数，被开方数大的数，它本身就大．
考查实数的比较的知识；比较被开方数．是常用的比较实数大小的方法．
6.【答案】A
【解析】
解：∵（a-17）2+|b-15|+c2-16c+64=0，
∴（a-17）2+|b-15|+（c-8）2=0，
∴a-17=0，b-15=0，c-8=0，
∴a=17，b=15，c=8，
∵82+152=172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
故选：A．
由绝对值和偶次方的非负性质求出a=17，b=15，c=8，由82+152=172，得出
△ABC是以a为斜边的直角三角形即可．
本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键．
7.【答案】B
【解析】
解：设两直角边分别为3x，4x．
由勾股定理得（3x）2+（4x）2=100．
解得x=2．则3x=3×2=6，4x=4×2=8．
∴直角三角形的两直角边的长分别为6，8．
较短直角边的长为6．
故选：B．
根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可．
本题考查了勾股定理的应用．勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】C
【解析】
解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴3＜-1＜4，
∴3＜a＜4，
∴a在两个相邻整数3和4之间；
故选：C．
先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间．
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
9.【答案】B
【解析】
解：∵+有意义，
∴x-1≥0，9-x≥0，
解得：1≤x≤9，
∴|x-1|+
=x-1+9-x
=8，
故选：B．
首先得出x的取值范围，再利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．此题主要考查了二次根式与绝对值的性质，正确化简二次根式是解题关键．
10.【答案】D
【解析】
解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2=（15-3）2+（20-4）2=122+162=400，
所以BC=20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．
解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．
本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算．
11.【答案】A
【解析】
解：由于a、b、c都是正方形，所以
AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即
∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2=7+9=16，
即S b=16，
则b的面积为16，
故选：A．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明
△ACB≌△DCE．
12.【答案】A
【解析】
解：∵a*b=a b，3*2=32=9，
∴*3==
故选：A．
本题涉及有理数乘方的综合运用，在计算时，需要找出规律，然后根据规律运算求得计算结果．
此题的关键是由前两个计算找出规律，从而进行第三次计算．所以学生学习时要动脑，不要死学．
13.【答案】20
【解析】
解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所
以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1km=16km，
BC=12×1km=12km．
则AB=20km
故答案为20．
根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
14.【答案】二
【解析】
解：∵a2≥0，
∴-a2-1≤-1，a2+6≥6，
∴点P（-a2-1，a2+6）在第二象限．
故答案为：二．
根据平方数非负数的性质判断出点P的横坐标与纵坐标的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；
第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
15.【答案】9 135-2 22
【解析】
解：的算术平方根是9，的立方根是，-2的绝对值是-2，的倒数是，
故答案为：9，，-2，．
根据开方运算，可得一个数的算术平方根，一个数的立方根；根据绝对值都是非负数，可得一个数的绝对值，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了实数的性质，注意，再求81的算术平方根，求倒数时，分母不能含根号．
16.【答案】（3，2）
【解析】
解：先向上爬4个单位长度，得（0，4）；
再向右爬3个单位长度，得（3，4）；
再向下爬2个单位长度后，得（3，2）．
故答案为：（3，2）．
此题可按照蚂蚁爬行的方向来确定点的坐标，具体方法是“右加左减，上加下减”．
此题考查了点的坐标的确定方法．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
17.【答案】解：（1）2（2−3）+12÷2
=2-6+6
=2；
（2）（3-1）2-（3+22）（3-22）
=4-23-（9-8）
=3-23；
（3）3−64-9+1−(45)2
=-4-3+35
=-625；
（4）|-3|+（1-2）0+8-（12）-2
=3+1+22-4
=22．
【解析】
（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案；
（3）直接利用立方根以及二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质进而化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，
设BE=EB′=x，则EC=4-x，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=AB2+BC2=5，
∴B′C=5-3=2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4-x）2，
解得x=1.5，
故答案为：1.5．
【解析】
根据折叠得到BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4-x，根据勾股定理
求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4-x）2，再解方程即可算出答案．本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，
折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.【答案】小亮a2=-a（a＜0）
【解析】
解：（1）小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质=-a（a＜0），
故答案为：=-a（a＜0）；
（3）∵a=-2007，
∴a-3=-2010＜0，
则原式=a+2
=a+2|a-3|
=a-2（a-3）
=a-2a+6
=-a+6
=2007+6
=2013．
（1）由a=1007知1-a=-1006＜0，从而由=|1-a|=a-1可得答案；
（2）根据二次根式的性质=|a|可得答案；
（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质
=|a|．
20.【答案】解：由点A（a-1，5）和点B（2，b-1）关于x轴对称，得
a-1=2，b-1=-5，
解得a=3，b=-4，
则（a+b）2003=（-1）2003=-1．
【解析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a，b的值，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．
考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
21.【答案】解：如图所示点C即为5，点F即为-2．
【解析】
过点B作AB⊥BO且AB=1，连接OA，则OA==，以O为圆心，OA为半径作弧交数轴于点C，C即为所求．同法作出点-
本题考查了勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理得到所需长度是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得：c＜a＜0＜b，
又∵|a|=|b|，
∴c-a＜0，
∴|a|+|b|+|c|-(c−a)2-2c2=-a+b-c-a+c+2c=-2a+b+2c．
【解析】
根据数轴上点的位置判断出实数a，b，c的符号，然后利用二次根式与绝对值的性质求解即可求得答案．
此题考查了实数与数轴，二次根式以及绝对值的性质，合并同类项，熟练掌握各自的意义是解本题的关键．
23.【答案】解：以BC的中点为原点，BC的垂直平分线所在直线为x轴，BC所在的直线为y轴，建立如图所示直角坐标系，
∵AB=AC=6，底边BC=4，
∴AO=62−22=42，
此时A（0，42），B（-2，0），C（2，0），
S△ABC=12×4×42=82．
【解析】
以BC的中点为原点，BC的垂直平分线所在直线为x轴，BC所在的直线为y 轴，建立如图所示直角坐标系即可得到结论．
主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质的应用；得到等腰直角三角形斜边上的高的长度是解决本题的关键．
24.【答案】解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH 在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=BD2+AD2=152cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=BH2+AH2=105cm，
则需要爬行的最短距离是152cm．
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB=BB′2+AB′2=526cm，
∵152＜105＜526，
∴则需要爬行的最短距离是152cm．
【解析】
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
本题考查了平面展开-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
25.【答案】证明：梯形的面积，可以写成：12（a+b）（a+b）=12（a+b）2；
也可以写成：12ab+12ab+12c2．
∴12（a+b）2=12ab+12ab+c2；
∴a2+b2=c2．
【解析】
直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可证明勾股定理．
本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
26.【答案】2 -1 4 3 0 0 2 4 -1 3 5
【解析】
解：（1）写出点A、B的坐标：A（2，-1）、B（4，3）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移
1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐
标分别是A′（0，0）、B′（2，4）、C′（-1，3）．
（3）△ABC的面积=3×4-2××1×3-×2×4=5．
（1）A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；（2）让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；
（3）△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．
用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的
纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示．。