2013-2014学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷

2013-2014 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4 分，共32 分）
1．（4 分）﹣5 的倒数是（）
A．5 B．﹣5 C．D．﹣
2．（4分）如果，那么下列等式成立的是（）
A．B．C．5x=4y D．
3．（4 分）2012 年“十一”黄金周期间，我区共接待游客482 600 人次．把482 600 用科学记数法表示为（）
A．4.826×105 B．4.826×104 C．4.826×103 D．4.826×102 4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，若∠BAC=40°，则∠
D 等于（）
A．40°B．50°C．55°D．60°
5．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=，则sinA 等于（）A．B．C．D．
6．（4 分）如图，▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是AD 的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE 为（）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．（4 分）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2 的值是（）
A．负数B．非正数C．正数D．不能确定8．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题4 分，共16 分）
9．（4 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E，∠BCD=15°，⊙O 的半径为10，则AB=．
10．（4 分）将抛物线y=2x2 先沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴方向向下平移3 个单位，所得抛物线的解析式是．
11．（4 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然
后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 米，观察者目高CD=1.6 米，则树（AB）的高度为米．
12．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE ∥BF，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上，当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是．
三、解答题
13．（5 分）计算：tan45°﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2．
14．（5 分）已知x+y=时，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+x2 的值．15．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A=60°，AC=6，AB=8．求tanB 的值．
16．（5 分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接BE 交对角线AC 于F．
（1）求证：△ABF∽△CEF；
（2）若AC=9，求AF 的长．
17．（5 分）已知：如图，BC 是⊙O 的切线，C 是切点，AC 是⊙O 的弦，AO 的延长线交BC 于点B，设⊙O 的半径为，∠ACB=120°．求AB 的长．
18．（5 分）已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，
﹣3）．求一次函数的解析式．
四、解答题（本题共10 分，每小题5 分）
19．（5 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E，．求AE 的长．
20．（5 分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B 分别分成4 等份、3 等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
五、解答题（本题共17 分，其中第21 题5 分，22 题5 分，23 题7 分）21．（5 分）已知：如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，且都在反比例函数y=的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P 在x 轴上，且S△AOP=6，直接写出点P 的坐标．
22．（5 分）如图1，数学课上，老师要求小明同学作△A′B′C′∽△ABC，且小明的作法是：
（1）作B′C′=；
（2）过点B′作B′D∥AB，过点C′作C′E∥AC，它们相交于点A′；
图2△A′B′C′就是满足条件的三角形（如图1）．
解答下列问题：
①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，△A′B′C′的周长为；
②已知四边形ABCD，请你在图2 的右侧作一个四边形A′B′C′D′，使四边形
A′B′C′D′∽四边形ABCD，且满足（不写画法，保留作图痕迹）．
﹣
23．（7 分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA= ，求△ACF 的面积．
六、解答题（本题7 分）
24．（7 分）已知关于x 的方程x2﹣（m﹣3）+m﹣4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m 是整数，方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，求反比例函数y=的解析式．
七、解答题（本题8 分）
25．（8 分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线y=ax2+bx+c 经过点A，D（3，﹣2）．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式并判断点C 是否在抛物线上；
（3）设点P 在（2）中的抛物线上，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标．
2013-2014 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共32 分）
1．（4 分）﹣5 的倒数是（）
A．5 B．﹣5 C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5 的倒数是﹣
．故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1 的两数互为倒
数．2．（4分）如果，那么下列等式成立的是（）
A．B．C．5x=4y D．
【分析】根据两內项之积等于两外项之积分别进行计算即可得解．
【解答】解：∵=，
∴5x=4y，
A、∵=，
∴4x=5y，故本选项错误；
B、∵=，
∴5（x+y）=4y，整理得，5x=﹣y，
故本选项错误；
C、5x=4y 正确，故本选项正确；
D、∵=，
∴5（x+y）=9x，
整理得，5y=4x，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积．3．（4 分）2012 年“十一”黄金周期间，我区共接待游客482 600 人次．把482 600 用科学记数法表示为（）
A．4.826×105 B．4.826×104 C．4.826×103 D．4.826×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：482 600=4.826×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，若∠BAC=40°，则∠
D 等于（）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】由“直径所对的圆周角是直角”推知∠ACB=90°，则易求∠D=∠ B=90°﹣40°=50°．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°．又
∵∠BAC=40°，∠D=∠B，
∴∠D=∠B=90°﹣
∠BAC=50°．故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等．
5．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=，则sinA 等于（）A．B．C．D．
【分析】利用tanA=，进而表示出AC，BC，AB 的长，再利用锐角三角函数关系得出即可．
【解答】解：如图所示：∵tanA= ，
∴设BC=3x，则AC=4x，
∴AB=5x，
∴sinA= ==
．故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
6．（4 分）如图，▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是AD 的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE 为（）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平行四边形性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE= AB，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DO=OB，
∵E 是AD 的中点，
∴OE= AB，
∵AB=8，
∴OE=4．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE=AB．
7．（4 分）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2 的值是（）
A．负数B．非正数C．正数D．不能确定
【分析】求出y1，y2 的值，求出其差是，根据k＜0 即可得出答案．
【解答】解：点（1，y1），（﹣2，y2）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，
∴代入得：y1=k，y2=﹣，
∴y1﹣y2=k+ =，
∵k＜0，
∴y1﹣y2 的值是负数，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的计算能力．
8．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知得出S 与x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象．
【解答】解：∵A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，
∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，
∴tan60°= = ，解得：AB=
（2﹣x）=﹣x+2，
∴S△ABP= ×PA×AB= （2﹣x）••（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，
故此函数为二次函数，
∵a=＞0，
∴当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，
根据图象得出只有D 符合要求．
故选：D．
【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．
二、填空题（每题4 分，共16 分）
9．（4 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E，∠BCD=15°，⊙O 的半径为10，则AB= 10 ．
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD 的度数，再根据垂径定理得出∠ AOD 的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵∠BCD 与∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，
∵点E 是弦AB 的中点，
∴AB⊥CD，=，
∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB 是等边三角形，
∵⊙O 的半径为10，
∴OA=AB=BO=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根
据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
10．（4 分）将抛物线y=2x2 先沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴方向向下平移3 个单位，所得抛物线的解析式是y=2x2+8x+5 ．
【分析】变化规律：左加右减，上加下减．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移2 个单位，将抛物线y=2x2 先变为y=2（x+2）2，
再沿y 轴方向向下平移3 个单位抛物线y=2（x+2）2，即变为：y=2（x+2）2﹣3．故所得抛物线的解析式是：y=2x2+8x+5．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．
11．（4 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 米，观察者目高CD=1.6 米，则树（AB）的高度为 5.6 米．
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB=5.6 米．故答
案为：5.6．
【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．12．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE ∥BF，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上，当一次函数
y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b= ．
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB 为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离，可利用数形结合的方法得到当直线与图形C 有一个交点时自变量x 的取值范围．
【解答】解：如图，分别连接AD、DB，则点D 在直线AE 上，
∵点D 在以AB 为直径的半圆上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB 中，由勾股定理得，BD=，
∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF 所在直线的距离为，
则当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b= 或﹣1≤b＜1．故答案
为：b= 或﹣1＜b＜1．
【点评】本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了数形结合思想．三、解答题
13．（5 分）计算：tan45°﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1﹣2×
+1+4，再计算乘法，然后进行加减运算．
【解答】解：原式=1﹣2×+1+4
=1﹣1+1+4
=5．
【点评】本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．
14．（5 分）已知x+y=时，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+x2 的值．【分析】分别进行单项式乘多项式，平方差公式等运算，再合并同类项然后代入求值即可．
【解答】解：原式=x2+2xy﹣（x2﹣y2）+x2
=x2+2xy﹣x2+y2+x2
=x2+2xy+y2
=（x+y）2．
∵x+y= +1，
∴原式=（）2
=3+2．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式和平方差的运算，巧妙运用化简结果与已知条件的形式相同是解题的关键．
15．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A=60°，AC=6，AB=8．求tanB 的值．
【分析】过点C 作CD⊥AB 于点D．在Rt△ADC 中，根据三角函数求出AD、CD 的长，从而得到BD 的长，再在Rt△BDC 中，根据三角函数求出tanB 的值．【解答】解：过点C 作CD⊥AB 于点
D．在Rt△ADC 中，
∵∠A=60°，AC=6，
∴AD=AC•cos60°=6×=3，
CD=AC•sin60°=6×=3 ，
∵AB=8，
∴BD=5，
∴tanB= = ．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是过 C 点作CD⊥AB 于D 点，构成直角三角形．
16．（5 分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接BE 交对角线AC 于F．
（1）求证：△ABF∽△CEF；
（2）若AC=9，求AF 的长．
【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得：△ABF ∽△CEF；
（2）由平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，易得CE：AB=1：2，又由相似三角形的对应边成比例，即可得CF：AF=1：2，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC．…..（1 分）
∴△ABF∽△CEF．…（2 分）
（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC．
∵E 是DC 的中点，
∴EC= DC，
∴EC= AB，…（3 分）
∵△ABF∽△CEF，
∴．…..（4 分）
设AF=x，则CF=9﹣x．
∴=，
解得：x=6．
即AF=6．…..（5 分）
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
17．（5 分）已知：如图，BC 是⊙O 的切线，C 是切点，AC 是⊙O 的弦，AO 的延长线交BC 于点B，设⊙O 的半径为，∠ACB=120°．求AB 的长．
【分析】如图，连接OC 构建直角△OCB，利用该直角三角形的性质求得∠B=30°；然后在直角△OCB 中利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得OB 的长度；最后利用线段间的和差关系求得AB 的长度．
【解答】解：连接OC．
∵BC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥BC．
∴∠BCO=90°．
∵∠ACB=120°，
∴∠ACO=30°
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO=30°
∴∠B=30°
在Rt△OCB 中，
∵OC=OA= ，∠B=30°，
∴OB=2OC=2
∴AB=OA+OB=3 ．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及含30 度角的直角三角形．求得直角△BCO 的内角∠B 的度数是解题的关键．
18．（5 分）已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．
【分析】求出P 的坐标，设一次函数的关系式为y=kx+b，把Q 和P 的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵把P（﹣3，m）代入反比例函数y=﹣得：m=2，
∴点P 的坐标为（﹣3，2），设一
次函数的关系式为y=kx+b，
∴把Q 和P 的坐标代入得：，
解得：k=﹣1，b=﹣1．故所求一次函
数的关系式为y=﹣x﹣1．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，关键是能得出关于k b 的方程组．
四、解答题（本题共10 分，每小题5 分）
19．（5 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E，．求AE 的长．
【分析】由在矩形ABCD 中，CF⊥EF，易证得△AEF∽△DFC；又由．根据相似三角形的对应边成比例，易得∠DFC=30°，由三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°．
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC．
∴，
∵=，DC=4，
∴∠DFC=30°，
∴FD= ==4 ，
∴AF=10﹣4 ，
∴AE= =10 ﹣12．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（5 分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B 分别分成4 等份、3 等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【解答】解：方法一画树状图
（5 分）
由上图可知，所有等可能的结果共有12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6 种．∴P（和为奇数）=0.5（7 分）
方法二列表如下：
1 2 3 4
5 1+5=
6 2+5=
7 3+5=
8 4+5=9
6 1+6=
7 2+6=
8 3+6=
9 4+6=10
7 1+7=8 2+7=9 3+7=10 4+7=11
由上表可知，所有等可能的结果共有12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6 种．∴P（和为奇数）=0.5（7 分）；
（2）∵P（和为奇数）=0.5，
∴P（和为偶数）=0.5（9 分），
∴这个游戏规则对双方是公平的．（10 分）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（本题共17 分，其中第21 题5 分，22 题5 分，23 题7 分）21．（5 分）已知：如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，且都在反比例函数y=的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P 在x 轴上，且S△AOP=6，直接写出点P 的坐标．
【分析】（1）直接根据关于直线y=x 对称的点的坐标特点求出mn 的值，再把
A 点坐标代入反比例函数y=求出k 的值即可；
（2）设P（x，0），再根据三角形的面积公式求出x 的值即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，
∴m=2，n=3，
∴A（2，3），B（3，2），
∴3= ，
解得k=6．
∴反比例函数的解析式为y=，
（2）设P（x，0），
∵A（2，3），
∴|x|•3=6，
解得x=4 或﹣4．
∴点P 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式．
22．（5 分）如图1，数学课上，老师要求小明同学作△A′B′C′∽△ABC，且小明的作法是：
（1）作B′C′=；
（2）过点B′作B′D∥AB，过点C′作C′E∥AC，它们相交于点A′；
图2△A′B′C′就是满足条件的三角形（如图1）．
解答下列问题：
①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，△A′B′C′的周长为 5 ；
②已知四边形ABCD，请你在图2 的右侧作一个四边形A′B′C′D′，使四边形
A′B′C′D′∽四边形ABCD，且满足（不写画法，保留作图痕迹）．
﹣
【分析】（1）根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可得解；
（2）①作B′C′=BC，再过点B′作B′E∥AB 截取A′B′=AB，过点C′作C′F∥CD，截取C′D′=CD，然后连接A′D′即可．
【解答】解：（1）∵B′C′=BC，
∴△A′B′C′和△ABC 的相似比为，
∵△ABC 的周长为10，
∴△A′B′C′的周长=10×=5；
（2）四边形A′B′C′D′如图所示．
【点评】本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的周长的比等于相似比的性质，读懂题目信息，理解相似图形的画法是解题的关键．
23．（7 分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA= ，求△ACF 的面积．
【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB 是直角三角形，则∠OBD=90°，BD 是⊙O 的切线；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB
又在△OBD 中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD 是⊙O 的切线；方法
二：∵AB=AO，BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO 为等边三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO
∴BD 是⊙O 的切线；
方法三：∵AB=AD=AO
∴点O、B、D 在以OD 为直径的⊙A 上
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC 是⊙O 的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA 中，cos∠BFA=
∴ 又
∵S△BEF=8
∴S△ACF=18．
【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．
六、解答题（本题7 分）
24．（7 分）已知关于x 的方程x2﹣（m﹣3）+m﹣4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m 是整数，方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，求反比例函数y= 的解析
式．
【分析】（1）先计算△得到△=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25，配方得到（m﹣5）2，根据负非数的性质有（m﹣5）2，≥0，即△≥0，根据根的判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用求根公式可解得x1=1，x2=m﹣4，由方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，得到﹣7＜m﹣4＜﹣3，解得﹣3＜m＜1，而m≠0，则满足条件的整数为m=﹣2，即可确定反比例函数的解析式．
【解答】（1）证明：△=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）
=m2﹣10m+25
=（m﹣5）2，
∵（m﹣5）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x= ，
∴x1=1，x2=m﹣4，
∵方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，
∴﹣7＜m﹣4＜﹣3，解得﹣3＜m＜1
∵m 是整数，
∴m 的值为0，﹣2，﹣1，
∵m≠0，
∴m=﹣2 或﹣1，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣或y=﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△
=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
七、解答题（本题8 分）
25．（8 分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线y=ax2+bx+c 经过点A，D（3，﹣2）．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式并判断点C 是否在抛物线上；
（3）设点P 在（2）中的抛物线上，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标．
【分析】（1）先根据A、B 两点的坐标求出AB 的长，再根据勾股定理得出OC 的长，故可得出C 点坐标，利用待定系数法求出直线BC 的解析式即可；（2）由于抛物线y=ax2+bx+c 关于y 轴对称，所以b=0．再由抛物线y=ax2+bx+c 经过A（0，1），D（3，﹣2），两点可得出抛物线的解析式，把C 点横坐标代入即可检验出C 点是否在抛物线上；
（3）先根据锐角三角函数的定义求出∠ACO 及∠BCO 的度数，故可得出CA 是∠BCO 的角平分线，即直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．因为点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线y=﹣x2+1 的交点，设出点P 的坐标代入抛物线的解析式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC 是等腰三角形，且点C 在x 轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC= =．
∴C（，0），
设直线BC 的解析式为y=kx+3，
∴k+3=0，
∴k=﹣．
∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c 关于y 轴对称，
∴b=0．
又∵抛物线y=ax2+bx+c 经过A（0，1），D（3，﹣2），两点．
∴解得
∴抛物线的解析式是y=﹣x2+1．
∵C（，0），
∴当x=时，y=0，
∴点C 在抛物线上；
（3）在Rt△AOC 中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC 中，
∵OB=3，OC= ，
∴∠BCO=60°．
∴CA 是∠BCO 的角平分线．
∴直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．
点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线
y=﹣x2+1 的交点．
Q 点P 在直线BC：y=﹣x+3 上，
故设点P 的坐标是（x，﹣x+3）．
又∵点P（x，﹣x+3）在抛物线y=﹣x2+1 上，
∴﹣+3=﹣x2+1．解得x1= ，x2=2 ．
故所求的点P 的坐标是P1（，0），P2（2，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．。