广西南宁2018届普通高中毕业班第二次模拟考试数学(理)试题 含答案

2018届普通高中毕业生第二次适应性测试
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|310}A x x =+<，2{|610}B x x x =--≤，则A B = （ ）
A ．11[,]32-
B ．φ
C ．1(,)3-∞
D ．1{}3 2.复数
1
()1a R ai
∈+在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．01a << C ．1a > D ．1a <-
3.若椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2 D ．4
4.在ABC ∆中，3
cos 5
B =
，5AC =，6AB =，则内角C 的正弦值为（ ） A ．2425 B ．1625 C. 925 D ．725
5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ． 13
B ．23 C. 1 D ．4
3
6.若向量(1,0)a = ，(1,2)b = ，向量c 在a 方向上的投影为2，若//c b ，则||c
的大小为
（ ）
A ． 2
B ．
7.执行如图的程序框图，输出的S 的值是（ ）
A ．28
B ．36 C. 45 D ．55
8.若以函数sin (0)y A x ωω=>的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为（ ）
A ．1
B ．2 C. π D ．2π
9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥P ABCD -中，四棱锥的侧棱长都为4，E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为（ ）
A C. 12 D ．2
10.定义,min{,},a a b a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩，设21()min{,}f x x x =，则由函数()f x 的图象与x 轴、直
线2x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
712 B ．512 C. 1ln 23+ D ．1
ln 26
+ 11.函数11
()33
x f x -=-是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数
12.设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，22222
16a b c d e ++++=，则实
数e 的最大值为（ ） A ． 2 B ．
165 C. 3 D ．25
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设变量,x y 满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数2z y x =-的最大值是 ．
14.若锐角,αβ满足4sin 5α=
，2
tan()3
αβ-=，则tan β= ． 15.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是 ．
16.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，给出如下命题：
①函数()2g x =-是函数ln ,0
()1,0
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩的一个承托函数；
②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；
③若函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e ； ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n S n n =+，*
n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <.
18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y
（单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C
）的数据，如下表：
x 2 5 8 9 11 y
12
10
8
8
7
（1）求出y 与x 的回归方程^
^
^
y b x a =+；
（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C
，请用所
求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温X ～2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.
附：①回归方程^
^
^
y b x a =+中，^
122
1
()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ==-=
-∑∑，^
^^
a y
b x =-.
3.2≈
1.8≈，若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.
19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A BC D -中，
1AB AD ==
，CB CD ==60BCD ∠=
，1CC
（1）若E 是线段1A A 上的点且满足13A E AE =，求证：平面
EBD ⊥平面1C BD ； （2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值．
20. 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）． （1）若||4||MB AM =，求直线l 的方程；
（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．
21. 已知函数()ln f x x ax =-，1
()g x a x
=
+． （1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；
（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0ρ≥，[0,2]θπ∈），若倾斜角为34
π
且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A （A 点不是原点）． （1）求点A 的极坐标；
（2）设直线m 过线段OA 的中点M ，且直线m 交圆E 于,B C 两点，求||||||MB MC -的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
（1）解不等式|1||3|4x x +++<；
（2）若,a b 满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++．
试卷答案
一、选择题
1-5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12：DB 二、填空题
13. 14 14. 176 15. 8
2
7 16. 2 三、解答题
17. 解：（1）第一类解法： 当1n =时，13a =. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-
222(1)2(1)n n n n =+----.
21n =+.
而13a =也满足21n a n =+.
∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵12+=n a n ,∴
111
(21)(23)
n n a a n n +=
++. 111()22123
n n =
-++. 则1111111
[()()(
)]235572123n T n n =-+-++-++ . 111()2323n =-+. 11646n =-+. 16< 18. 解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】
(1) ∵令5n =,113575n i i x x n ====∑，114595
n i i y y n ====∑,
【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】
∴
1()28757928n
i i
i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑
2221()2955750n
i
i x
n x =-=-⨯=∑
∴^
28
0.5650
b -=
=- 【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴^
^
^
9(0.56)712.92a y b x =-=--⨯=（或者：
323
25
） ∴所求的回归方程是^
0.5612.92y x =-+ (2) 由^
0.560b =-<知y 与x 之间是负相关， 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】
将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量^
0.5612.929.56y x =-+=(千克) （或者：
239
25
） 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)
由
(1)
知
7
x μ==，又
由
22
2
2
2
2
1[(27)
(57
)5
s
σ==-
+
-+-+
得 3.2σ=
【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从而(3.813.4)(2)P X P X μσμσ<<=-<<+ .
()(2)P X P X μσμμμσ=-<<+<<+
11
()(22)22
P X P X μσμσμσμσ=
-<<++-<<+ 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 0.8185=
【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】
19. 解:(1) 解法(一): 60BCD ∠=
,1AB AD ==，CB CD =，
∴90CDA ∠= ,2CA =（没有这一步扣一分）
∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.
设M 是BD 的中点,连接1MC .
1CC ⊥平面ABCD
, CB CD =∴11C D C B =. M 是BD 的中点,∴ 1MC BD ⊥.
4E
，3(44
M
，1C ，
∴13(4MC =-
,DE = .
131004MC DE ∙=-⨯= ,∴1MC DE ⊥ . （证得1MC ME ⊥ 或BE
也行）
DE
与BD 相交于D , ∴1MC ⊥平面EBD . 1MC
在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1
(2) 解法一: (若第1问已经建系)
(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =
是平面1C DC 的一个法向量.
3(,
22
B
,1C
，3(22DB =
，1DC = 设平面1C BD 的法向量是(,,)m x y z = ,则100m DB m DC ⎧∙=⎪
⎨∙=⎪⎩
，30220
x y ⎧+=⎪=， 取1x =
，得y z ==平面1C BD
的法量(1,m =
.
cos ,||||DA m DA m DA m ∙<>==∙
∴由图可知二面角1C C D B --
20. 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =. 设直线l 的方程为4x my =+.
令211(,)4
y A y ，2
2
2(,)4y B y ，其中10y <. 由||4||MB AM =,得214y y =-.
联立2
44
y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得24160y my --=,12211
216
44y y y y y y m =-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，解得12y =-,28y =,
∴3
2
m =
. ∴直线l 的方程为2380x y --=.
(2)设00(,)P x y ,直线:4l x my =+， 点P 在抛物线2C 上,
∴直线l 的斜率存在, 0m ≠
,O P 关于直线:4l x my =+对称,所以0000
42211
x y m y m x ⎧=⨯+⎪⎪⎨
⎪⨯=-⎪⎩.解得02
028181x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 故22
88(
,)11m P m m
-++代入抛物线2
2:4C y x =，可得11m =，21m =- . 直线l 的方程为4x y =+或4x y =-+.
设椭圆为
2
21(1)1x λλλλ+=>-. 联立直线和椭圆,消去x 整理得 22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-= 0∆≥
∴2264(1)4(21)(1716)0λλλλ-+--+≥，解得172
λ≥
. 则2172a ≥
，即a ≥∴椭圆1C
21. 解：（1）1
()()()ln (0)F x f x g x x ax a x x
=-=--
-> '211
()F x a x x
=
-+. ①若0a ≤时，0)(>'x F ，则()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上是增函数.
②若0a > 时，则()()()F x f x g x =-在1(0,
2a
上是增函数.
()()()F x f x g x =-在)+∞上是减函数.
（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当()0f x ≤，()0g x ≥同时恒成立时， 由()ln 0f x x ax =-≤，ln x
a x
≥恒成立. 得：1a e
≥
. ∵由()0g x ≥，
10a x +≥恒成立得：0a ≥.∴1a e
≥. ②当()0f x ≥，()0g x ≤同时恒成立时，a 不存在； ③当0a <时，∵()ln f x x ax =-为增函数，1
()g x a x
=+为减函数, 若它们有共同零点，则()()0f x g x ≤恒成立. 由()ln 0f x x ax =-=，1
()0g x a x
=+=,联立方程组解得：a e =-. 综上：1
a e
≥
或a e =-. 22. 解: (1) 直线l 的倾斜角为
34π,∴点A 的极角34
πθ=.
代入圆E 的极坐标方程得ρ=
∴点A 的极坐标3)4
π
.
(2)由(1)得线段OA 的中点M 的极坐标是3)4
π, ∴M 的直角坐标为(1,1)-. 圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=,
∴圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=.
设直线m 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=-+⎧⎨
=+⎩(t 为参数).
代入2
2
40x y y +-=，得2
2(sin cos )20t t αα-+-=. 2
4(sin cos )80αα∆=++>
设,B C 的参数依次为12,t t ,则122(sin cos )t t αα+=+.
∴1212||||||||||||||MB MC t t t t -=-=+.
2|sin cos |sin()|
4π
ααα=+=+
∴||||||MB MC -的最大值为此时直线m 的倾斜角为
4
π) 23. 解：（1）当3x <-时，|1||3|13244x x x x x +++=----=--<, 解得4x >-，所以43x -<<-.
当31x -≤<-时，|1||3|1324x x x x +++=--++=<, 解得31x -≤<-
当1x ≥-时，|1||3|13244x x x x x +++=+++=+< 解得0x <，所以10x -≤<
（2）证明：224()(22)a b ab a b --++
22224416a b a b ab ab =+++ (4)(4)0ab b a =++>
∴224()(22)0a b ab a b --++> ∴2|||22|a b ab a b -<++
2018年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
数学试卷（理科）评分标准
一、选择题
1．已知集合{}|310A x x =+<，{}
2
|610B x x x =--≤,则=B A
A. 11[,]32-
B. Φ
C. 1(,)3-∞
D.1{}3
【答案】B 2．复数1
1i
a +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是
A. 0<a
B. 10<<a
C. 1>a
D. 1-<a 【答案】A
3．若椭圆C ：122
22=+b
y a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为
A.
21 B. 33 C. 2
2 D. 42
【答案】C
4．在ABC ∆中，5
3
cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A.
2524 B. 2516 C. 25
9 D. 257
【答案】A
5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
A.
31 B. 3
2
C. 1
D. 4
3
【答案】D
6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a
方向上的投影为2.
若c //b
，则c 的大小为
A.. 2
B. 5
C. 4
D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是
A. 28
B. 36
C. 45
D. 55 【答案】C 8．若以函数(
)0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的
三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为
A.1
B. 2
C. π
D. π2 【答案】C
第7题图
9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为
12
D. 2
【答案】A
10.定义,,min{,},>,
a a
b a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线
=2x 所围成的封闭图形的面积为
A.
712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1
+ln 26
【答案】C 11．函数11
()33
x f x -=-是
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为 A.2 B.
5
16
C. 3
D. 25【答案】B
解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代
入
由
柯
西
不
等
式
得
如
下
不
等
式
222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++
有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5
16
0≤≤e 所以，当56=
===d c b a 时，实数e 取得最大值.5
16 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.
13．设变量y x ,满足约束条件22
344x y x y x y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
,则目标函数2z y x =-的最大值是 【答案】14
14若锐角βα,满足54sin =
α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】17
6 15. 过动点M 作圆:2
2
221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若
||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ . 【答案】8
27
16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得
()()f x g x ≥
对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:
①函数()2g x =-是函数ln ,0,
()1,0
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩的一个承托函数;
②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;
③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.
其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：16n T <.
解：（1）第一类解法： 当
n=1
时
，
13a =.........................................................................
...........................1分 当
2
n ≥时
1--=n n n S S a .................................................................
....................2分
222(1)2(1)n n n n =+----....................................................
............................3分
21n =+.......................................................................
.............................................4分 而
13
a =也满足
21n a n =+....................................................................
...............5分 ∴
数
列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ....................................................................
.............6分 第二类解法：
1--=n n n S S a .................................................................
.......................1分
222(1)2(1)n n n n =+----....................................................
.................2分
21n =+.......................................................................
...............................3分 ∴
数
列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ....................................................................
.............4分 第三类解法：
113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分
第四类解法： 由
S n
22n n
=+可知
{}
n a 等差数
列.........................................................................2分 且
13
a =，
212132d a a S S =-=--=......................................................
.........................4分
∴数列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ....................................................................
.............5分 （
2
）
∵12+=n a n ,∴111
(21)(23)
n n a a n n +=
++....................................................7分
111()22123
n n =
-++..........................................................................8分 则
1111111[()().......()]235572123
n T n n =-+-++-++.................................
...............9分
111()2323
n =
-+.........................................................................10分
11646
n =
-+...........................................................................11分
1
.6
<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单
位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C
）的数据，如下表：
（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+；
（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C
，请用所
求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.
附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 122
1
()()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ∧
==-=
-∑∑,a y b x ∧∧
=-.
X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.
解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1)
∵
令
5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595
n i i y y n ====∑,.................................
........1分
【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴
1
()28757928.n
i i
i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................
................................2分
2
221()2955750.n
i
i x
n x =-=-⨯=∑ ................................................
...............................................3分 ∴28
0.5650
b ∧
-=
=- ....................................................................................................4分
【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴
9(0.56)712.92.
a y
b x ∧∧
=-=--⨯= （或者：
323
25
） ...............................................5分
∴
所求的回归方程是
0.5612.92y x ∧
=-+ ......................................................
..............6分 (2)
由
0.560
b ∧
=-<知y 与
x
之间是负相
关， ....................................................................7分 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】
将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧
=-⨯+=(千克) （
或
者
：
239
25
） ....................................................................8分
【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)
由
(1)
知
7
x μ==，又由
22
21[(27)5
s
σ==
-22
(57)(87)+-+-+22(9
7)(117)]-+- 10,
=得
3.2σ= ...................................................................
...................................................9分 【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从
而
(P X <<=(P X μσμσ-<<+ ...................................
.......................10分
()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+
1()2P X μσμσ=
-<<+1
(22)2
P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分
【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】
0.8185= ....................................................................
....12分
【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】
19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，
==1A B A D ，,3==CD CB 60BCD ∠= ，31=CC .
（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,
求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；
（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.
解:(1) 解法(一): 60BCD ∠=
,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠= ,2=
C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以
D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标
系. ...............2分 设
M 是BD 的中点,连接
1MC ..........................................................................
...............................2分
C C 1⊥平面ABC
D , ,3==CD CB ∴11C D C B =.
M 是BD 的中
点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分 ），（
43
0,1E
,3(,44
M ,)33,0(1，C ,
∴13(,44MC =-
,(1,0,4
DE =
. ......................................
.......... ..........4分
13100444
MC DE =-⨯+
=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分
（证得1MC ⊥ME 或BE
也行）
DE
与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .
1
MC 在平面
BD
C 1内, ∴平面EB
D ⊥平面
BD C 1..............................................................6分
解
法
(
二
):
设
M 是BD 的中点,连接EM 和
11,MC EC ..............................................................1分
,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .
EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,
∴
∠
1
EMC 是二面角
1
C B
D
E --的平面
角...........................................................2分
60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠= ,13
,22
MA MC ==...............................................
.3分(正确计算出才给这1分)
AE E A 31=,31=CC ,∴142
EM C M =
=………………4分(至少算出一个)
1C E =
.............................................................................................5分
∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴
平
面
EBD ⊥平面
BD C 1.........................................................................
.............................6分
解法(三): 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=
C A . 以
D 为原点，DA 为
x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标
系. ...............1分
设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..
,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥
CA
且,,C A M 共
线. ........................................................2分
EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .
∴∠
1
EMC 是二面角
1
C B
D
E --的平面
角.............................................................................3分
则），（43
0,1E ，)33,0(1，C
,3(4M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)
∴1(,4ME =
,13(4MC =- .
∴113()(044ME MC ∙=⨯-+= ................................5分
∴ME ⊥1MC
,∠190EMC = ,
二
面角
1C BD E --的平面角为直角,平面
EBD ⊥平面
BD C 1................................................6分
解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠= ,2=
C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则O 是B
D 的中点.
C C 1⊥平面ABC
D , ,3==CD CB O 是BD 的中点,
∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分
1,2E -（0，
,
0)B ，
,
13
(0,2
C
∴
13
(0,2
OC =
,
1(2BE =- .
1310()02224
OC BE =+⨯-= ,∴1OC ⊥BE .........................................5分
BE
与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD .
1
OC 在平面
BD
C 1内, ∴平面EB
D ⊥平面
BD C 1..............................................................6分
(2) 解法一: (若第1问已经建系)
(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量 (8)
分
32B
（
,1C ，
3(2DB =
，1DC = 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
，302
x y ⎧+=⎪⎨=， 取
1,x =
得y z ==.平面
BD
C 1的法
量
(3,3)
m =
...................................10分 【另解：由（1）知当13A E AE =时，
ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是
ME
=1(,)444
-】
cos ,||||
DA m
DA m DA m ∙<>=⨯
.............................................................................................11分
=
∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值
为
....................................12分 解法二: (第1问未建系)
60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=
C A 以
D 为原点，DA 为
x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标
系. ..................7分
(1,0,0)A ,DA
⊥平面1C DC ，
∴
(1,0,0)
DA
=是平面
1
C D C
的法向
量.....................................................................................8分
32B
（
,1C ，
3(2DB =
，1DC = , 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
，3020
x y ⎧+=⎪⎨=， 取
1,x =
得y z ==.平面
BD
C 1的法
量
(3,3)
m =
.......................................10分 cos ,||||
DA m
DA m DA m ∙<>=⨯
.................................................................................................11分
7
=
.∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值
为.......................................12分 解法三: (几何法) 设
N 是CD 的中点,过N 作
NF ⊥D C 1于
F ,连接FB ,如
图.......................................................7分
60BCD ∠= ,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .
侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分 NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1
∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角 (9)
分
依题意可得NB =
32
, NF
=
,BF
=
4
..................11分 ∴cos ∠BFN =
NF
BF
=7
∴二面角1
C C
D B --的平面角的余弦值
为
....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点
(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.
(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;
(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆
1C 的长轴长的最小值
.
解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为
24y x =.......................................................................
1分 设
直
线
l
的方程为
4x my =+....................................................................
....................................2分 令
2
11(,),4y A y 22
2(,),4
y B y 其中
10
y <.由||4||MB AM =,得
214y y =-................................3分
联立2
4,4,
y x x my ⎧=⎨
=+⎩可得
24
160y m y --=
,12211
216,
4,4y y y y y y m
=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得
12y =-,28y =,..................4分
∴3
2
m =
.........................................................................................................................................5分
∴直线
l
的方程为
2380x y --=.................................................................
...............................6分 解
法
二
:
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =.......................................................................
..............1分 设
直
线
l
的方程为
(4)y k x =-...................................................................
................................2分 令
2
11(,),4y A y 22
2(,),4
y B y 其中
10
y <.由||4||MB AM =,得
214y y =-................................3分
联立
24,(4)
y x y k x ⎧=⎨
=-⎩可得
2
4160k
y y k
--=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧
+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩
解得
12y =-,28y =,................4分
∴2
3
k =
.........................................................................................................................................5分
∴直线
l
的方程为
2380x y --=.................................................................
..............................6分 解
法
三
:
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =.......................................................................
..........1分 设
直
线
l
的方程为
(4)y k x =-...................................................................
................................2分
令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分
联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222
(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16
k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
解
得
11x =,216x =,................................................................
...............................................4分
∴2
.3
k =......................................................................
............................................................5分
∴直线
l
的方程为
2380x y --=.................................................................
........................6分
第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。

（2）设出直线l 方程，得1分
（3）求出A ，B 两点横纵标关系（12420x x -=）或纵坐标关系（214y y =-），得1分 （4）联立方程组，求出纵坐标（12y =-，28y =）或横坐标（11x =216x =），得1分 （5）求出待定的字母，得1分
（6）下结论，写对直线l 方程，得1分。

（若学生得两种结果，不得分） (2)设00(,)P x y ,直线:4,l x my =+ 点P 在抛物线2C 上,
∴直线l 的斜率存在,0.m ≠…………………………………7分
,
O P 关于直线:4l x my =+对称,所以0
000
4,2
211,x y m y m x ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩.解得
02
02
8,18,1x m m y m ⎧
=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
...............8分 故
22
88(,)11m
P m m
-++代入抛物线
2
C :
24y x
=,可得
11,m =21m =- ...................9分
直
线
l
的方程为4x y =+或
4x y =-+.....................................................................
..........10分
设椭圆为
2
211
x y λλ+=-,(1)λ>. 联立直线和椭圆,消去x 整理得 22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-= 0,∆≥
∴
2264(1)4(21)(1716)0.
λλλλ-+--+≥解得
17
2λ≥
.....................................................11分
则
217,2a ≥
即a ≥.∴椭圆
1C 的长轴长的最小值为
分
第二问得分点分析：
（1）点P 坐标算对，得2分，若点P 坐标不对，有过程，过程无论对错，得1分 （2）利用对称关系，得到点P 坐标与待定字母之间关系，得1分。

、 （3）将点P 坐标代入抛物线方程，求出待定字母，得1分。

（4）写出直线方程，得1分。

（5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分 （6）求出长轴长的最小值，得1分
(另外:若设直线方程为(4)y k x =-,则222
88(,)11k k P k k -++代入抛物线2C :2
4y x =,得1,k =±直线l 的方程为(4)y x =±-.也对应给分)
21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数ax x x f -=ln )(，a x
x g +=
1
)(. （1）讨论函数)()()(x g x f x F -=的单调性；
（2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）a x
ax x x g x f x F --
-=-=1
ln )()()(,(0)x >. '211
()F x a x x
=
-+.................................................................................................................1分
①若0≤a 时，0)(>'x F ，则)()()(x g x f x F -=在），
（∞+0上是增函数.................2分
②若 0>a 时，则)()()(x g x f x F -=在），（a
a
24110++上是增函
数...........................3分
)()()(x g x f x F -=在
）
，（∞+++a
a 2411上是减函
数.....................................................4分 （说明：（1）)(),(x g x f 分别求导正确没有作差也给1分求导分， （2）忘记讨论0=a 且0<a 单调性正确，不扣分，这1分也给。

） （2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当0)(≤x f ，0)(≥x g 同时恒成立时， 由x
x
a ax x x f ln 0ln )(≥
≤-=，恒成
立 (5)
分 得
：
1
e
a ³
...............................................................................................................................6分 ∵
由
1
,0)(≥+≥a x
x g 恒
成
立
得
：
0≥a .∴1
e
a ³
...............................................................7分 ②
当
0)(≥x f ，
0)(≤x g 同时恒成立时，
a
不存
在；..........................................................8分 ③当0<a 时，∵
ax x x f -=ln )(为增函数，a x
x g +=
1
)(为减函数, ............................9分 若
它
们
有
共
同
零
点
，
则
)()(≤⋅x g x f 恒
成
立........................................................................10分 由
0ln )(=-=ax x x f ，
01
)(=+=
a x
x g ,联立方程组解得：
e a =-..............................11分
综
上
：
1e
a ³
或
e a =-........................................................................
..........................................12分 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，以极点为原点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，[0,2))θπ∈.若倾斜角为34
π
且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A(A 点不是原点).(1)求点A 的极坐标;
(2)设直线m 过线段OA 的中点M ,且直线m 交圆E 于B ,C 两点,求||||||MB MC -的最大值.
解: (1) （解法一） 直线l 的倾斜角为
34
π
,∴点A 的极角34
π
θ=
.........................1分 代入圆E 的极坐标方程得
ρ=..................2分
∴点A 的极坐标3
)4
π
......................................................................................................3分
（解法二）由已知得直线的l 的直角方程为y x =-①，
圆E 的直角坐标方程为
2240x y y +-=②.....................................................1分
（写对其中一个方程均给1分） 联立①②得A 点直角坐标为
（-2,2），.... ........................... ................................2分
由tan y
x
ρθ=
=
得A 点极坐标
A 34
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
...........................3分 （不写公式不扣分）
(2)（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由(1)得线段OA 的中点M 的极坐标是3)4
π
, ∴M 的直角坐标
为
(-
........................................................................
..............................4分
圆E 的极坐标方程为θρsin 4=, ∴
圆
E
的
直
角
坐
标
方
程
为
2240x y y +-=................................................................
........5分 设
直
线
m
的参数方程为
1cos ,1sin ,
x t y t αα=-+⎧⎨
=+⎩(
t
为参
数).........................................................6分
代入2240x y y +-=得22(sin cos )20t t αα-+-=. 24(sin cos )80αα∆=++> ,
设
,B C 的参数依次为
12
,t t ,则
122(sin cos )t t αα+=+........................................................
..7分
∴||||||MB MC -12||||||t t =-12||t t =+...........................................
........................................8分
2|sin cos |αα=+sin()|4
π
α=+
...........................................
........................................9分
∴||||||MB MC -的最大值为|(此时直线m 的倾斜角为
4
π
)........................................10分 （解法二）由（1）知A(2，-2)，则M(1，-1)………………1分
222+=+=ME MB man …………………………3分 222-=-=ME MC mIn ……………………………5分
22min
max
=-≤-MC
MB
MC MB ………………6分
（解法三）由（1）A 点直角坐标为（-2,2），M 是OA 中点，所以M 点坐标为（-1,1）......4分
圆E 的极坐标方程为θρsin 4=, ∴
圆
E
的
直
角
坐
标
方
程
为
2240x y y +-=..........................................................5分
当BC⊥x 轴时，直线BC 方程为1x =-............................6分(会分类就给1分)。