最新-2018届高考数学一轮复习 第9章第三节 用样本估计总体课件 文 精品
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【名师点评】 考查样本数据的平均水平及 稳定情况时，应先比较其平均数，若平均数 相同，再比较其方差或标准差．
变式训练2 甲、乙两组数据如下： 甲 11.2 9.8 12.3 8.9 9.0 10.7 13.1 乙 10.3 8.9 13.0 9.7 8.6 11.2 12.3 (1)求两组数据的平均数； (2)画出茎叶图求中位数； (3)求两组数据的方差； (4)对两组数据加以比较．
(4)标准差：设样本数据是 x1，x2，…，xn， x 表 示这组数据的平均数，xi 到 x 的距离是|xi－ x |(i ＝1,2，…，n)． 于是样本中数据到平均数的“平均距离”是 s＝ n1(|x1－ x |＋|x2－ x |＋…＋|xn－ x |)． 由于上式含绝对值，运算不太方便，因此，通
(6)茎叶图的特征： ①用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计 图上没有原始数据信息的损失，所有数据信 息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的 数据可以随时记录，随时添加，方便记录与 表示． ②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据， 而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上 的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数 据那么直观、清晰．
例2 某良种培育基地正在培育一种小麦新品 种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据 (单位：千克)如下： 品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400, 405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,44 3,445,445,451,454
(2)中位数：样本数据中，累计频率为0.5时所 对应的样本数据(累计频率：样本数据小于某 一数值的频率叫做该数值点的累计频率)或将 数据按大小排列，位于最中间的数据．如果 数据的个数为偶数，就取最中间两个数据的 平均数作为中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝n1(x1 ＋x2＋…＋xn)．
2．(2011年徐州调研)某射手在一次训练中五次 射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则 该射手成绩的方差是________． 答案：0.016
3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员比赛 得分的中位数之和是________． 答案：32
第三节 用样本估计总体
双基研习·面对高考 第 三 节
用
考点探究·挑战高考
样
本
估
计
总
体
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．频率分布直方图与茎叶图 (1)频率分布表：当总体很大或不便于获得时, 可以用样本的频率分布估计总体的频率分布, 我们把反映总体频率分布的表格称为_频__率__分__ _布__表__．
【思路分析】 (1)利用每组中频 频数 率相等；(2)利 用分布直方图中每个小矩形的意义补图；(3) 成绩在 75.5～85.5 分的学生分别为第三组和第 四组中学生的一半．
【解】 (1)
分组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5 90.5～100.5
合计
甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分；
乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分．
x
甲＝10＋
13＋
12＋14＋ 5
16＝13，
x
乙＝13＋
14＋
12＋12＋ 5
14＝13，
s2甲＝15
5
i 1
(xi－ x )2＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2
＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
(4)频率分布直方图的特征：①从频率分布直方 图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；②从 频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把 数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就 被抹掉了．
(5)茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中 间的数字表示_十__位__数__，即第一个有效数字， 两边的数字表示_个__位__数__，即第二个有效数字, 它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物 茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫 做茎叶图．
【名师点评】 但当样本数据较多时，茎叶 图就显得不太方便了．因为数据较多时，枝 叶就会很长，需要占据较多的空间．
用样本的数字特征估计总体的数字 特征
(1)各数字特征的优缺点：众数体现了样本数据 的最大集中点，但对其他数据信息的忽视使得 无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据 所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值 的不敏感有时也成为缺点．因为这些极端值有
(2)频率分布直方图：利用直方图反映样本的 _频__率__分__布__规律，这样的直方图称为频率分布 直方图． (3)画频率分布直方图的一般步骤：①计算一组 数据中最大值与最小值的差，即求极差；②确 定 _组__距__与__组__数__ ； ③ 将 数 据 分 组 ； ④ 列 频 率 分 布表；⑤画频率分布直方图．
分组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5 90.5～100.5
合计
频数 4
10 16
50
频率 0.08 0.16
0.32
(1)填充频率分布表中的空格(将答案直接填在 表格内)； (2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85.5分的学生可以获得二等 奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
例3 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的 五次测试得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练 成绩作出评价． 【思路分析】 (1)先通过图象统计出甲、乙 二人的成绩； (2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人 的成绩，作出评价．
【解】 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别 为
频数 4 8 10 16 12 50
频率 0.08 0.16 0.20 0.32 0.24 1.00
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)成绩在 75.5～80.5 分的学生占成绩在 70.5～ 80.5 分的学生的150，因为成绩在 70.5～80.5 分 的学生的频率为 0.20，所以成绩在 75.5～80.5 分的学生的频率为 0.10. 成绩在 80.5～85.5 分的学生占成绩在 80.5～ 90.5 分的学生的150，因为成绩在 80.5～90.5 分
①将数据分组，确定合适的组距，列出频率分
布表，本题中已经给出频率分布表；②明确纵、
频率
频数
横轴的意义，纵轴表示组距，频率＝样本容量，
横轴表示样本数据，画出直方图；③直方图 中每一个小长方形的面积是样本数据落在这 个区间上的频率，所有的小长方形的面积之 和等于1，即频率之和为1，由此可以估计样 本数据落在某个区间的频率或概率或者总体 的数字特征．
常改为如下公式来计算标准差：
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
(5)方差：从数学的角度考虑，有时用标准差的
平方 s2(方差)来代替标准差，作为衡量样本数据
离散程度的工具，s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋… ＋(xn－ x )2]．
课前热身
1．为了解一片经济林的生长情况，随机测量 了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根 据所得数据画出样本的频率分布直方图如图， 那么在这100株树木中，底 部周长小于110 cm的株数是 __________． 答案：70i－ x )2＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2
＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由 s2甲>s2乙可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的 成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙 的成绩则无明显提高．
的学生的频率为 0.32，所以成绩在 80.5～85.5 分的学生的频率为 0.16. 所以成绩在 75.5～85.5 分的学生的频率为 0.26， 由于有 900 名学生参加了这次竞赛， 所以该校获得二等奖的学生约为 0.26×900＝ 234(人)．
【名师点评】 一般用频率分布直方图反映样 本的频率分布，从而对总体的频率分布作出估 计．其具体步骤如下：
互动探究1 例1条件不变，问本次竞赛成绩 的中位数落在哪一组内？
解：中位数落在第四组内，前三组的频率之 和为0.44，第四组的频率为0.32，所以应落在 第四组内．
茎叶图的应用
由于茎叶图较好地保留了原始数据，所以可以 帮助我们分析样本数据的大致频率分布．在利 用茎叶图分析数据特点时，要注意区别茎与 叶．
4．我市某机构调查小学生课业负担的情况， 设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟)， 按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟； ②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟及 90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调 查，下图是此次调查的流程图，已知输出的 结果是600，则平均每天做作业时间在0～60 分钟内的学生的频率是__________．
时是不能忽视的．与众数、中位数比较起来, 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体 的信息，但平均数受数据中极端值的影响较 大，这使其在估计总体时可靠性降低． (2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数 波动的大小．标准差、方差越大，数据的分 散程度越大，标准差、方差越小，数据的分 散程度越小．
(3)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)，标 准差、方差为0时，样本中各数据全相等，表 明数据没有波动，数据没有分散性． (4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方 后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与 标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样 的，但在解决实际问题时，一般多采用标准 差．
品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394, 394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,4 12,415,416,422,430 (1)完成数据的茎叶图； (2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及 其稳定性进行比较，写出统计结论． 【思路分析】 确定茎、叶，画茎叶图，观 察A、B的平均值、方差，得结论．
断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布 直方图实际上越来越接近于总体的分布，它 可以用一条光滑曲线y＝f(x)来描绘，这条光 滑的曲线就叫做_总__体__密__度__曲__线__． 3．众数、中位数、平均数、标准差、方差 (1)众数：在样本数据中，频率分布最大值所 对应的样本数据或出现次数最多的那个数 据．
【解】 (1)
(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不 大，画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅清晰、 明了地展示了数据的分布情况，便于比较， 没有任何信息损失，而且还可以随时记录新 的数据． (3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产 平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产 标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产 稳定性较差．
2．频率分布折线图与总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各 小长方形上端的_中__点__，就得到频率分布折线 图． (2)总体密度曲线：在样本频率分布直方图中， 样本容量越大，所分组数越多，图中表示的频 率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的 个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不
答案：0.4
考点探究·挑战高考
考点突破
频率分布直方图在总体估计中的应用
频率分布直方图反映样本的频率分布
(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标
频率
频率
表示组距，频率＝组距×组距.
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和 为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固 定值，所以各小长方形高的比也就是频率比 组距． (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据 频率分布的两种表现形式，前者准确，后者 直观．
例1 (2011年徐州质检)为了让学生了解环保 知识，增强环保意识，某中学举行了一次 “环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这 次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中 抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分 为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局 部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图), 解答下列问题：
变式训练2 甲、乙两组数据如下： 甲 11.2 9.8 12.3 8.9 9.0 10.7 13.1 乙 10.3 8.9 13.0 9.7 8.6 11.2 12.3 (1)求两组数据的平均数； (2)画出茎叶图求中位数； (3)求两组数据的方差； (4)对两组数据加以比较．
(4)标准差：设样本数据是 x1，x2，…，xn， x 表 示这组数据的平均数，xi 到 x 的距离是|xi－ x |(i ＝1,2，…，n)． 于是样本中数据到平均数的“平均距离”是 s＝ n1(|x1－ x |＋|x2－ x |＋…＋|xn－ x |)． 由于上式含绝对值，运算不太方便，因此，通
(6)茎叶图的特征： ①用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计 图上没有原始数据信息的损失，所有数据信 息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的 数据可以随时记录，随时添加，方便记录与 表示． ②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据， 而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上 的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数 据那么直观、清晰．
例2 某良种培育基地正在培育一种小麦新品 种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据 (单位：千克)如下： 品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400, 405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,44 3,445,445,451,454
(2)中位数：样本数据中，累计频率为0.5时所 对应的样本数据(累计频率：样本数据小于某 一数值的频率叫做该数值点的累计频率)或将 数据按大小排列，位于最中间的数据．如果 数据的个数为偶数，就取最中间两个数据的 平均数作为中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝n1(x1 ＋x2＋…＋xn)．
2．(2011年徐州调研)某射手在一次训练中五次 射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则 该射手成绩的方差是________． 答案：0.016
3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员比赛 得分的中位数之和是________． 答案：32
第三节 用样本估计总体
双基研习·面对高考 第 三 节
用
考点探究·挑战高考
样
本
估
计
总
体
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．频率分布直方图与茎叶图 (1)频率分布表：当总体很大或不便于获得时, 可以用样本的频率分布估计总体的频率分布, 我们把反映总体频率分布的表格称为_频__率__分__ _布__表__．
【思路分析】 (1)利用每组中频 频数 率相等；(2)利 用分布直方图中每个小矩形的意义补图；(3) 成绩在 75.5～85.5 分的学生分别为第三组和第 四组中学生的一半．
【解】 (1)
分组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5 90.5～100.5
合计
甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分；
乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分．
x
甲＝10＋
13＋
12＋14＋ 5
16＝13，
x
乙＝13＋
14＋
12＋12＋ 5
14＝13，
s2甲＝15
5
i 1
(xi－ x )2＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2
＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
(4)频率分布直方图的特征：①从频率分布直方 图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；②从 频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把 数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就 被抹掉了．
(5)茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中 间的数字表示_十__位__数__，即第一个有效数字， 两边的数字表示_个__位__数__，即第二个有效数字, 它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物 茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫 做茎叶图．
【名师点评】 但当样本数据较多时，茎叶 图就显得不太方便了．因为数据较多时，枝 叶就会很长，需要占据较多的空间．
用样本的数字特征估计总体的数字 特征
(1)各数字特征的优缺点：众数体现了样本数据 的最大集中点，但对其他数据信息的忽视使得 无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据 所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值 的不敏感有时也成为缺点．因为这些极端值有
(2)频率分布直方图：利用直方图反映样本的 _频__率__分__布__规律，这样的直方图称为频率分布 直方图． (3)画频率分布直方图的一般步骤：①计算一组 数据中最大值与最小值的差，即求极差；②确 定 _组__距__与__组__数__ ； ③ 将 数 据 分 组 ； ④ 列 频 率 分 布表；⑤画频率分布直方图．
分组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5 90.5～100.5
合计
频数 4
10 16
50
频率 0.08 0.16
0.32
(1)填充频率分布表中的空格(将答案直接填在 表格内)； (2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85.5分的学生可以获得二等 奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
例3 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的 五次测试得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练 成绩作出评价． 【思路分析】 (1)先通过图象统计出甲、乙 二人的成绩； (2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人 的成绩，作出评价．
【解】 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别 为
频数 4 8 10 16 12 50
频率 0.08 0.16 0.20 0.32 0.24 1.00
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)成绩在 75.5～80.5 分的学生占成绩在 70.5～ 80.5 分的学生的150，因为成绩在 70.5～80.5 分 的学生的频率为 0.20，所以成绩在 75.5～80.5 分的学生的频率为 0.10. 成绩在 80.5～85.5 分的学生占成绩在 80.5～ 90.5 分的学生的150，因为成绩在 80.5～90.5 分
①将数据分组，确定合适的组距，列出频率分
布表，本题中已经给出频率分布表；②明确纵、
频率
频数
横轴的意义，纵轴表示组距，频率＝样本容量，
横轴表示样本数据，画出直方图；③直方图 中每一个小长方形的面积是样本数据落在这 个区间上的频率，所有的小长方形的面积之 和等于1，即频率之和为1，由此可以估计样 本数据落在某个区间的频率或概率或者总体 的数字特征．
常改为如下公式来计算标准差：
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
(5)方差：从数学的角度考虑，有时用标准差的
平方 s2(方差)来代替标准差，作为衡量样本数据
离散程度的工具，s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋… ＋(xn－ x )2]．
课前热身
1．为了解一片经济林的生长情况，随机测量 了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根 据所得数据画出样本的频率分布直方图如图， 那么在这100株树木中，底 部周长小于110 cm的株数是 __________． 答案：70i－ x )2＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2
＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由 s2甲>s2乙可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的 成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙 的成绩则无明显提高．
的学生的频率为 0.32，所以成绩在 80.5～85.5 分的学生的频率为 0.16. 所以成绩在 75.5～85.5 分的学生的频率为 0.26， 由于有 900 名学生参加了这次竞赛， 所以该校获得二等奖的学生约为 0.26×900＝ 234(人)．
【名师点评】 一般用频率分布直方图反映样 本的频率分布，从而对总体的频率分布作出估 计．其具体步骤如下：
互动探究1 例1条件不变，问本次竞赛成绩 的中位数落在哪一组内？
解：中位数落在第四组内，前三组的频率之 和为0.44，第四组的频率为0.32，所以应落在 第四组内．
茎叶图的应用
由于茎叶图较好地保留了原始数据，所以可以 帮助我们分析样本数据的大致频率分布．在利 用茎叶图分析数据特点时，要注意区别茎与 叶．
4．我市某机构调查小学生课业负担的情况， 设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟)， 按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟； ②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟及 90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调 查，下图是此次调查的流程图，已知输出的 结果是600，则平均每天做作业时间在0～60 分钟内的学生的频率是__________．
时是不能忽视的．与众数、中位数比较起来, 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体 的信息，但平均数受数据中极端值的影响较 大，这使其在估计总体时可靠性降低． (2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数 波动的大小．标准差、方差越大，数据的分 散程度越大，标准差、方差越小，数据的分 散程度越小．
(3)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)，标 准差、方差为0时，样本中各数据全相等，表 明数据没有波动，数据没有分散性． (4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方 后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与 标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样 的，但在解决实际问题时，一般多采用标准 差．
品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394, 394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,4 12,415,416,422,430 (1)完成数据的茎叶图； (2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及 其稳定性进行比较，写出统计结论． 【思路分析】 确定茎、叶，画茎叶图，观 察A、B的平均值、方差，得结论．
断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布 直方图实际上越来越接近于总体的分布，它 可以用一条光滑曲线y＝f(x)来描绘，这条光 滑的曲线就叫做_总__体__密__度__曲__线__． 3．众数、中位数、平均数、标准差、方差 (1)众数：在样本数据中，频率分布最大值所 对应的样本数据或出现次数最多的那个数 据．
【解】 (1)
(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不 大，画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅清晰、 明了地展示了数据的分布情况，便于比较， 没有任何信息损失，而且还可以随时记录新 的数据． (3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产 平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产 标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产 稳定性较差．
2．频率分布折线图与总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各 小长方形上端的_中__点__，就得到频率分布折线 图． (2)总体密度曲线：在样本频率分布直方图中， 样本容量越大，所分组数越多，图中表示的频 率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的 个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不
答案：0.4
考点探究·挑战高考
考点突破
频率分布直方图在总体估计中的应用
频率分布直方图反映样本的频率分布
(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标
频率
频率
表示组距，频率＝组距×组距.
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和 为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固 定值，所以各小长方形高的比也就是频率比 组距． (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据 频率分布的两种表现形式，前者准确，后者 直观．
例1 (2011年徐州质检)为了让学生了解环保 知识，增强环保意识，某中学举行了一次 “环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这 次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中 抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分 为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局 部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图), 解答下列问题：