第五章弹性与滞弹性

一、 滞弹性
当 t=0 时，对材料作用应力为 0 ，材料弹性应变立即达到 0， 1是在应力0作用下继续产生的应变。当卸载时，相应 于0 =0时，材料瞬时恢复的应变为‘，余下的继续恢复。这 种材料在弹性范围内的非弹性现象称为滞弹性。
弹性蠕变
弹性后效
应变弛豫
应力弛豫
二、 滞弹性内耗
（一）内耗与滞弹性的关系
2 e
弹性模量：表示材料弹性变形的难易程度、力学 的刚度 根据Hooke定律,在弹性范围内
E , G ,
E G 2(1 )
p K
杨氏模量E和切变模量G 、体积模量K的关系：
E K 3(1 2 )
为泊松比。多数金属的值约在0.25~0.35之间
弹性变形的物理本质：双原子模型
图5-18 不同磁场下镍的 弹性模量与温度的关系
在某些合金中，甚至当它们 的磁化强度达到饱和时也具 有低的弹性模量值和反常的 温度关系。 Invar 合金就属 于 这 种 情 况 ， 如 图 5-19 所 示。 引起弹性反常的不是技术磁 化的线磁致伸缩s，而是真 磁化过程的体积磁致伸缩 n。 根据这一原理，发展出弹性 模量在一定温度范围不变或 变化很小的恒弹性合金，即 Elinvar合金。 图5-19 42%Ni+58%Fe Invar合金 弹性模量与温度的关系
四、无机材料的弹性模量 （一）多孔陶瓷材料的弹性模量 多孔陶瓷的第二相主要是气孔，其弹性模量为零， 因此，其弹性模量要低于致密的同类陶瓷材料。经验 表明，E与陶瓷中的气孔率有以下关系:
E E0 (1 b气孔 )
E0为无孔材料的弹性模量，气孔为气孔体积分 数，b为常数
（二）双相陶瓷的弹性模量
周期应力和应变与时间 的关系
应力-应变回线
回线中所包围的面积代表振动一周所产生的能量损 耗，回线的面积愈大，则能量损耗也愈大。 回线面积的大小取决于应变和应力之间的相角差，当 相角差为零时，材料为理想弹性体，回线的形状为一 条直线，故不产生内耗。 而在一般情况下，应变和应力之间相角差不为零，相 角差愈大，回线面积愈大，内耗也愈大。
图5-4 Cu-Ni合金的模量
图5-5 Ag-Pd和Au-Pd合金的模量
（二）形成化合物和多相合金 对化合物及中间相的模量研究得不够，但基本上 可以认为，中间相的熔点愈高，弹性模量也愈 大。 通常认为弹性模量的组织敏感性较小，多相合金 的晶粒大小和弥散度对弹性模量的影响很小。 形成固溶体很难大幅度提高材料的弹性模量。合 金形成高熔点、高弹性的第二相，则可能较大 地提高合金的弹性模量。
（三）加工硬化的影响 加工硬化可使退火钢的 弹性模量下降约4~6%。 若对铝、镍、铜等金属 进行强烈拉拔时，金属 内部产生织构，会导致 明显的各向异性，沿着 拉拔方向的弹性模量将 增大。
图5-9 锰铜合金的模量 a 退火 b 经过90%冷变形 c 冷变形后经400℃加热 d 冷变形后经600℃加热
材料在未受外力作用时，原 子处于平衡位置，原子间的斥 力和引力相平衡，此时原子具 有最低的位能。 当外力不大时，克服原子间 的相互作用力，使原子发生相 对位移而改变原子间距，产生 弹性应变。 外力去除后，原子将恢复到 原先的平衡位置，即弹性应变 消失。
弹性模量的物理本质是标志原子间结合力的大小。材料原 子间结合力越大，其弹性模量越高。故弹性模量是一个组织不 敏感的参数。 弹性模量与特征温度有关：一般的规律是金属的弹性模量 愈大，德拜特征温度也愈高。
第五节
弹性模量的测量及应用
从应力-应变曲线确定弹 性模量，测量精度较 低，其载荷大小、加载 速度等都影响测试结 果，对脆性材料，静态 法也遇到极大的困难。 纵向振动共振法
一、弹性模量的测量
静态测量法 弹性模量测量 动态测量法
扭转振动共振法 弯曲振动共振法
动态测量法是在试样承 受交变应力产生很小应 变的条件下测量弹性模 量，用这种方法获得的 弹性模量称为动态模 量。动态测量法的优点 是测量设备简单，测量 速度快，测量结果准 确。
图51942ni58feinvar合金弹性模量与温度的关系第五节弹性模量的测量及应用弹性模量测量静态测量法纵向振动共振法动态测量法扭转振动共振法弯曲振动共振法一弹性模量的测量从应力应变曲线确定弹性模量测量精度较低其载荷大小加载速度等都影响测试结果对脆性材料静态法也遇到极大的困难
第五章 弹性与滞弹性
第一节 材料的弹性
由滞弹性产生的内耗称为滞弹性内耗（亦称 为弛豫型内耗），内耗的基本量度是振动一 周在单位弧度上的相对能量损耗。这个损耗 取决于应变和应力之间的相角差，一般这个 相角差都很小，所以tg常用来表示内耗：
1 W tg 2 W
式中， W 为振动一周的能量损耗； W 为最大 振动能。在实际测量中也用 Q-1 代表内耗，为 无量纲的物理量。
弹性材料的应用十分广泛。
一、弹性模量及其物理本质
拉伸试验机
低碳钢的应力-应变曲线
拉伸试样
弹性极限e 不产生塑性变形的最大应力 • 在工程上用规定残余伸长应力来表示，如0.005 • e的大小表征了弹性元件在加载过程中不应超 过的极限应力 • 与弹性滞后、疲劳强度有密切关系 • 弹性比功：
1 w e e 2 2E
激发试样纵向、扭转、弯曲振动原理图 1—试样 2—电磁换能器 3—支点 4—铁磁性 金属片
悬丝耦合声频共振法是弯曲共振法的一种。最为 通用。
图5-21 悬挂法共振测量弹性模量装置示意图
试样的共振频率与其弹性模量相关 圆棒试样
l m E 1 .6388 10 f d l
图5-2 金属弹性模量与温度的 关系
二、相变的影响
182 180 YOUNG'S MODULUS, E, GPa 178 176 174 172 170 168 166 164 162 160
TN
二、相变的影响
E
TEb
200 250 300 350 400 450 500
TEMPERATURE, K
2 2 An ΔW An 1 SDC 100% 2 W An
SDC与Q-1的近似关系为：Q-1 = SDC/2。
（二）内耗峰和内耗谱 若样品振动的应力-应变关系满足标准线性固体的应力-应 变方程,那么,当样品承受周期变化的应力作用时,在一定 条件下必然要产生内耗。设应力为：=0eit,通过计算 推导可得：
晶 向 [100] 1,323 [110] 2,117 [111] 2,842 多 晶 2,094
E×105 MPa
第二节
影响弹性模量的因素
影响弹性模量的因素是多方面的，凡 是影响原子结合力的因素都会影响弹性模 量。包括温度、相变、合金成分与组织。
一、温度的影响
对于多数金属，随着温 度的升高，原子的热运 动加剧，原子间的距离 增大，导致原子间相互 作用力减弱，所以弹性 模量随温度升高近似地 呈直线降低。
Q
1
M 2 1 ( )
图5-31 内耗、动力模 量关系
为应力的周期，为弛豫时间 由此可知，内耗与振幅无关，而 与频率有关，且在 = 1处最 大。
金属内部一种弛豫过程对应着一种物理机制，金属中可能存在 着不同的物理机制，因此对应不同的频率会出现一系列的内耗 峰。对于图中具有数个内耗峰的曲线称为内耗谱或称弛豫谱。 同样，改变测量温度也可获得相应的温度内耗谱。

f
df fdT
第六节 滞弹性与内耗
材料在交变载荷的情况下表现为应变对应力的 滞后，称为“滞弹性”。由于应变的滞后，材料在交变 应力的作用下就会出现振动的阻尼现象。 固体的自由振动并不是可以永远延续下去的， 即使处于与外界完全隔离的真空中，其振动也会逐渐 停止。这是由于振动时固体内部存在某种不可逆过 程，使系统的机械能逐渐转化为热能的缘故。如果要 使固体维持受迫振动状态，则必须从外界不断提供能 量。这种由于固体内部的原因使机械能消耗的现象称 为“内耗”。
上述表示方法的物理概念是很明确的，但直 接测量角比较复杂，而且测量精度也不高， 所以实际测量时常通过自由衰减振动时的振 幅对数减缩量来确定内耗：
Q
1
1 W 2 W
An ln An 1

式中，An为第n次振动的 振幅；An+1为第n+1次振 动的振幅。
• 工业上对材料减振性能更重视实用性。材料的振动 衰减过程受温度、频率、应变振幅和磁场等外界条 件的影响很大。改变外界条件，则同一材料的振动 衰减能力可能有很大变化。詹姆斯提出了减振系数 SDC (Specific Damping Capacity)的概念, 是用振动 一周振动能的损失率来定义的:
可通过调整成分形成复相陶瓷来改变弹性模量。 总的的弹性模量可用混合定律来描述： 平行层拉伸时：
E
E// E11 E2 2
垂直于层面拉伸时：
E1 E2 E E11 E2 2
E
E1、 E2分别为二相的弹性模量，1、 2分别为两相的体积分数
第四节
弹性的铁磁性反常
居里点以下，铁磁材料未磁化时的弹性模量比磁化饱和后 的弹性模量低，这一现象称为弹性的铁磁性反常，又称 E 效 应。它是由于铁磁体中磁致伸缩的存在引起附加应变所造成 的。
图5-32 金属室温下的内耗谱示意图 1—置换式固溶体原子对引起的内耗 2—晶界内耗 3—孪晶内耗 4—间隙 原子应力感生微扩散引起的内耗 5—横向热流内耗
三、静滞后型内耗 滞弹性内耗（弛豫型 内耗）的特点，就是
静滞后是指弹性范围内与加 载速度无关的应变变化落后 于应力的行为。由于应力变 化时应变总是瞬时调整到相 应的值，因此这种滞后回线 的面积是恒定的，与振动频 率无关，故称为静滞后，有 别于滞弹性的动态滞后。
E l l l 0 l m
不难看出，Ef (铁磁材料)<E0 (“正 E E 0 E f 常”材料)，二者之差 即表示由磁致伸缩引起的弹 性模量降低的数值。
图5-17 铁磁材料的应力-应变 曲线
磁场强度为 46kA/m 时镍已被 磁化饱和，故此时任一温度的 弹性模量均按正常规律变化， 而未磁化（未磁化到饱和）的 镍在低于居里点时都具有较低 的弹性模量。加热时，随着温 度 向 居 里 点 Tc 趋 近 ， 逐 渐 消 失，在这个过程中的某一温度 区间模量 E 甚至可能在加热时 增大。当温度高于居里点Tc以 后，弹性模量与温度的关系又 恢复至正常。
E= KTmaVb 式中，V为比ห้องสมุดไป่ตู้积；K，a和b为常数， a≈1，b≈2。
二、弹性模量与原子结构的关系
可以认为：E与 点阵常数a存在 下列关系 K E m a m和K均为常数
第三周期中的 Na ， Mg ， Al ， Si 等元素随着原子序数的增加，价电子数增 多，原子半径减小，弹性模量增高。同一族元素，如Be，Mg，Ca，Sr， Ba等，它们的价电子数相等，由于原子半径随着原子序数增加而增大，弹 性模量减小。
多晶型转变、有序化转 变、磁性转变、超导态转 变等。
三、合金成分与组织的影响
（一）形成固溶体合金 由点阵类型相同、价电子数和原子半径相近的两种金属组 成无限固溶体时，如Cu-Ni、Cu-Pt、Cu-Au和Ag-Au合金，弹 性模量和溶质浓度之间呈直线或近似于直线关系。但溶质是过 渡族元素时，弹性模量与溶质原子浓度之间明显偏离直线关 系，而呈向上凸起的曲线关系。这一现象与过渡族元素的d层电 子未填满有关。
8 4 2
矩形截面试样 l m G 0 . 9655 10 f h b
4 8
2
式中，l为试样长度（mm），d为圆棒直径（mm）， m是试样质量（g），h、b是矩形截面试样的高和宽 （mm）。
二、弹性模量测量的应用 • 弹性模量温度系数E
dE E EdT
• 频率温度系数f
同一种金属，点阵结构不同，弹性模量也不相同。例如， 在同一温度下，-Fe的点阵原子排列得比较致密，其弹性 模量比-Fe的高。 金属的单晶体，沿不同晶向原子间的结合力不相同，弹性 模量有明显的差异。如下表所示。 多晶体没有各向异性，它的弹性模量约等于单晶体各晶向 弹性模量的平均值，如铁多晶；如果具有织构，则弹性模 量也能表现出明显的各向异性。
D
h 3 N A 1/ 3 1/ 3 ( ) c k 4 M
M：摩尔质量，NA阿伏加德罗常数，c 弹性波的平均速度
3 1 2 3 3 3 c cl cT
cl
E

cT
G

金属的熔点Tm也是与原子间结合力有关的一 个物理量。原子间的结合力愈强，金属的熔点 也愈高。弹性模量和熔点之间数值的关系为：