山东省日照市2018届高三数学5月校际联考试题文

高三校际联合考试文科数学
2018.05
本试卷共6页，满分150分。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合[]{}
2
=1
2230M N x Z x x M N =∈--<⋂=，，，则 A ．[1，2] B ．(－1，3) C ．{1} D ．{l ，2}
2．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数1
2
z z = A ．1-
B ．1
C ．34
55
i -+
D ．
3455
i - 3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A ．2
B ．3
C ．10
D ．15
4．将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移6
π
个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A.
3
π B.
6
π C.0 D.
4
π
5.已知点F 为双曲线()22:40C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近的距离为 A.2
B.4
C. 2m
D. 4m
6.若,,a b c 满足223,log 5,32a c
b ===，则
A. c a b >> B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
7．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是 A ．乙的记忆能力优于甲的记忆能力 B ．乙的创造力优于观察能力 C ．甲的六大能力整体水平优于乙 D ．甲的六大能力中记忆能力最差
8．已知直线20x y a -+=与圆2
2
:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“5a =”
是“0OA OB ⋅=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.如图所示的三视图表示的几何体的体积为32
3
，则该几何体的外接球的表面积为 A. 12π
B. 24π
C. 36π
D. 48π
10．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中mod(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如mod(7，3)=1．若输入m 的值为8，则输出i 的值为 A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．已知()x
f x e =（e 为自然对数的底数），
()ln 2g x x =+，直线l 是()()f x g x 与的公切线，则
直线l 的方程为 A. 1
1y x y x e
==-或
B. 1y ex y x =-=--或
C. 1y ex y x ==+或
D. 1
1y x y x e
=
=-+或 12．已知ABC ∆中，2,4,60AB AC BAC ==∠=，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的范围是 A ．[1，4]
B ．[0,4]
C ．[－2,4]
D ．9,44
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数()()()22,1,
41,1,x x x f x f f gx x ⎧+-≤=-⎨->⎩
则的值为_________．
14．若(),P x y 满足条件1
30,2,24
x x z x y z y x y ≥⎧-⎪
-≥=⎨⎪-≤⎩
且则的最大值为__________． 15．设抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，点A(0，2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则
点B 到该抛物线准线的距离为___________．
16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为2
2
2
tan tan ,,2017,tan tan C C
a b c a b c A B
+=+
，若则的值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．(12分)
已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11n n a a S S =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()
21
log 4n n b n a =
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．(本小题满分12分)
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，90ADE ∠=． (1)证明：FC BD ⊥；
(2)已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60,1DAB AD DE ∠===，求五面体ABCDEF 的体积.
19．(本小题满分12分)
为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都要网络报价一次，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的数据，统计了最近5个月参与竞拍的人数(见下表)：
(1)由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y bt a
=+，并预测2018年5月份参与竞拍的人数．
(2)某市场调研机构从拟参加2018年5月份车牌竞拍人员中，随机抽取了200人，对他们的拟报价价格进行了调查，得到如下频数分布表和频率分布直方图：
(i)求a b
、的值及这200位竟拍人员中报价大于5万元的频率；
(ii)若2018年5月份车牌配额数量为3000，假设竞拍报价在各区间分布是均匀的，请你根据以上抽样的数据信息，预测(需说明理由)竞拍的最低成交价．
参考公式及数据：①y bx a
=+，其中
1
2
2
1
,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
=
=
-
==-
-
∑
∑
；
②
55
2
11
55,18.8
i i i
i i
t t y
==
==
∑∑
20．(12分)
已知椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>：的左焦点为()1,0F -，离心率22e =．
(I)求椭圆C 的标准方程；
(II)已知直线交椭圆C 于A ，B 两点．
（i ）若直线经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足,PA AF PB BF λμ==.求证：λμ+为定值.
21．(12分) 已知函数()()2
1ln 2
a f x x ax x a R +=
--∈． (I)当3a =-时，求()f x 的单调递减区间；
(II)对任意的()3,2a ∈--，及任意的[]()()1212,1,2ln 2x x f x f x ta ∈-<-，恒有成立，求实数t 的范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 45
2sin 45
x t y t ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ (t
为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
()sin tan 20a a l ρθθ⋅⋅=>，直线与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若PM MN =，求实数a 的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲． 已知函数()2f x x =+． (1)解不等式()241f x x <--；
(2)已知()10,0m n m n +=>>，若关于x 的不等式()11
x a f x m n
--≤
+恒成立，求实数a 的取值范围．
绝密★启用前试卷类型：A
二〇一五级校际联考文科数学答案 2018.05
一、选择题
1-5 DCCBA 6-10 ACACB 11-12CD
1．答案 D 解析：
，
所以，故选D
2．答案C解析：，所以，故选C.
3．答案C解析：正方形面积为25，由几何概型知阴影部分的面积为：，故选C.
4．答案B解析：将函数的图像沿轴向左平移个单位后得到
的图像，此时函数为偶函数，必有,当时，.故选B. 5．答案A解析：，即，其中，又到其渐近线的距离:，故选A.
6. 答案A解析：由题意得，，，故选A．
7. 答案C解析：由图示易知甲的记忆能力指标值为，乙的记忆能力指标值为4，所以甲的记忆能力优于乙，故排除；同理，乙的观察能力优于创造力，故排除；甲的六大能力中
推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指标值的平均值为，乙的六大能力指标值的平均值为，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故选.
8．答案A解析:易知斜边上的高为,则由点到直线距离公式得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选.
9．答案C解析: 由三视图可得该几何体为底面边长为4、，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则，，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为
，故这个几何体的外接球的表面积为．故选C．
10．答案B解析: 模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，
，满足条件，满足条件，，，…，，可得：2，4，8，
∴共要循环3次，故．故选B．
11.答案C解析：设切点分别为、，，
整理得解得或
，
所以切线方程为或，故选C.
12. 答案D解析：法1：易求得，取中点，则，
当时，，当在处时，
所以,故选D
法2：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则
，设
所以,故选D.
二、填空题
答案： 13. -1; 14. 7; 15.16 .
13.答案：-1. 解析：由得
14.答案：7.解析：由题,画出可行域为如图
区域，
，当在处时，.
15.答案：解析：,,将代入
解得到该抛物线准线的距离为
16.答案：解析：在中，
，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，
，
，，
.
三、解答题
17．解：（1）由已知，可得
当时，，可解得，或，由是正项数列，故. …………………2分
当时，由已知可得，，
两式相减得，.化简得
，……………………………4分
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
∴数列的通项公式为
. ……………………………6分（2）∵，代入化简得
，…………………………8分
∴其前项和
……………………………12分
18．（1）证明：由已知的,,、平面，且∩, 所以平面
.………………………………………………2分
又平面,所以
.………………………………………………4分
又因为//,所以
.………………………………………………5分
（2）解：连结、,则
.………………………………………………6分
过作交于，又因为平面，所以，且
∩，
所以平面，则是四棱锥的高. …………………………………………8分
因为四边形是底角为的等腰梯形，,
所以，
,.………………………………………
……9分
因为平面，//，所以平面,则是三棱锥的高. …………………………10分
所以………………………………………………11分
所以
. ……………………………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）易知，， (1)
分
， (2)
分
， (3)
分
则关于的线性回归方程为， (4)
分
当时,，即2018年5月份参与竞拍的人数估计为2万人. (5)
分
（2）（i）由解得； (6)
分
由频率和为1，得，解得 (7)
分
位竞拍人员报价大于5万元得人数为
人；…………………8分
（ii）2018年5月份实际发放车牌数量为3000，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为；又由频率分布直方图知竞拍报价大于6万元的频率为；
所以，根据统计思想（样本估计总体）可预测2018年5月份竞拍的最低成交价为万元.…12分
20．解：由题设知，，所以
椭圆的标准方程为………………2分
①由题设知直线斜率存在，设直线方程为则.
设，直线代入椭圆得
………………4分
由，知
………………5分
………………6分
②当直线分别与坐标轴重合时，易知………………7分
当直线斜率存在且不为0时，设
设，直线代入椭圆得到………………8分
同理
………………9分令，
，
令则
，………………11分
综上所述，面积的取值范围
. ………………12分
21．（本小题满分12分）
解析：（1）,……………2分∴的递减区间为………………4分（2）
由知∴在上递减……………8分
∴，
对恒成立，∴………………12分22．解:（1）∵（为参数），
∴直线的普通方程为. ……………2分
∵，∴，
由得曲线的直角坐标方程为.……………4分
（2）∵，∴，
设直线上的点对应的参数分别是，
则，
∵，∴，∴，……………6分
将，代入，得，∴，……………8分
又∵，∴. ……………10分
23.解：（1）不等式等价于，即分三种情况讨论：
或或，解得；所以不等式的解集为. ………………4分
(2)因为，所以的最大值是.
又，于是，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4 …6分
要使恒成立，则，……………8分
解得, 所以的取值范围……………10分。