浙教版八年级下学期数学《期中考试试题》及答案解析

浙 教 版 八 年 级 下 学 期
期 中 测 试 卷
一、选择题（本题14个小题，每小题3分，共42分；每题中只有一个答案符合要求）
1.若代数式31
x x +-在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( )
A. 1x ≠
B. 3x ＞-且
1x ≠
C. 3x ≥-
D. 3x ≥-且1x ≠
2.下列各式成立的是（ ）
A. 13
＝33
B. 4.5＝32
2
C. 33＝33
D.
()
2
3-＝﹣3
3.以下各组数为边长的三角形，其中构成直角三角形的一组是（ ） A. 4、5、6
B. 3、5、6
C.
235、、 D. 235、、
4.下列计算正确的是（ ） A. 27•37＝42 B. 2+2＝22
C .
3+2＝5
D. 15÷5×3＝15÷15＝1
5.某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ） A. 8
B. 10
C. 15
D. 17
6.按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是
A. 7
B. 11﹣62
C. 1
D. 11﹣32
7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O AOB 60AC 6cm ∠==，，，则AB 的长是()
A. 3cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 12cm
8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为(
)
A. 2.7米
B. 2.5米
C. 2米
D. 1.8米
9.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点,,A B C 都在格点上，以A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD 的长为
A. 5
B. 0. 8
C. 35-
D. 13
10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的
锐角30α=︒，若8AC =，6BD =，则平
行四边形ABCD 的面积是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
11.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB ＝BF ，添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．下列条件中正确的是（ ）
A. AD ＝BC
B. CD ＝BF
C. ∠F ＝∠CDE
D. ∠A ＝∠C
12.如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC
（ ）
A. 75°
B. 60°
C. 55°
D. 45°
13.如图为菱形ABCD 与△ABE 的重叠情形，其中D 在BE 上．若AB ＝17，BD ＝16，AE ＝25，则DE 的长度为( )
A .
8
B. 9
C. 11
D. 12
14.如图，已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 是边BC 上的一点，且BD ＝1，以AD 为边作等边△ADE ，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，连接BF ，则下列结论中①△ABD ≌△BCF ；②四边形BDEF 是平行四边形；③S 四边形BDEF ＝
3
；④S △AEF ＝3．其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
2(25) _____．
16.在▱ABCD 中，AC ＝CD ，∠ACB ＝2∠ACD ，则∠B 的度数为_____．
17.已知x ＝5+1，则x 2﹣2x ﹣3＝_____．
18.如图，一个直径为8cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm ，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为_____cm ．
19.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点Q 在对角线AC 上，且AQ ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，则线段AP ＝_____．
三、解答题（本题7个小题，共63分）
20.计算
（1）2(233)
（2）12×（75+3
1
3
﹣48） 21.如图，在▱ABCD 中，延长BA 到F ，使得AF ＝BA ，连接CF 交AD 于点E ，求证：AE ＝DE ．
22.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度 h （单位：m ）近似满足公式 t=
5
h
（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t 1 是多少 s ，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t 2 是多少 s ； （2）t 2 是 t 1 的多少倍？
（3）经过 1.5s ，高空抛物下落的高度是多少？
23.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，AD ＝1，AE ＝2，BC ＝3，BE ＝1.5．求
证：∠DEC ＝90°
．
24. 如图，ABCD 为平行四边形，AD ＝2，BE ∥AC ，DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点.
（1）求证：EF ＝DF ；
（2）若AC=2CF,∠ADC=60 o , AC ⊥DC ，求DE 的长.
25.如图，正方形ABCD ，动点E 在AC 上，AF⊥AC，垂足为A ，AF ＝AE ． （1）BF 和DE 有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）在其他条件都保持不变的是情况下，当点E 运动到AC 中点时，四边形AFBE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
26.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）．
答案与解析
一、选择题（本题14个小题，每小题3分，共42分；每题中只有一个答案符合要求）
1.若代数式1
x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( )
A. 1x ≠
B. 3x ＞-且1x ≠
C. 3x ≥-
D. 3x ≥-且1x ≠
【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解．
有意义，
∴x+3≥0，x-1≠0， 解得：x≥-3且x≠1， 故选D ．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．
2.下列各式成立的是（ ）
A.
B.
2
C.
D.
3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质化简解答即可．
【详解】解：A 3
，故错误；
B 2，故正确；
C
，故错误；
D3，故错误，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的化简与运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
3.以下各组数为边长的三角形，其中构成直角三角形的一组是（）
A. 4、5、6
B. 3、5、6
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、32+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、)2)22，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、因为22+）2≠2所以三条线段不能组成直角三角形, 故此选项错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，解题时注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4.下列计算正确的是（）
＝42 ＝
C. D. 1
【答案】A
【解析】
根据二次根式运算法则逐个计算即可．
⋅⨯⨯，故正确；
【详解】解：A. 2737=677=42
B.2与2不能合并，故错误；
C.3与2不是同类二次根式，不能合并，故错误；
D. 15÷5×3=3×3=3，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
5.某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（）
A. 8
B. 10
C. 15
D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】
设直角三角形的斜边长为x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【详解】设直角三角形的斜边长为x，
由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2，
解得，x＝17，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6.按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是
A. 7
B. 11﹣2
C. 1
D. 11﹣2
【解析】 【分析】
利用运算程序计算即可． 【详解】9÷
3-2=3-2＞1， （3-2）（3+2）=9-2=7． 故选：A ．
【点睛】考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O AOB 60AC 6cm ∠==，，，则AB 的长是(
)
A. 3cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 12cm
【答案】A 【解析】
试题解析：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA =OC =OB =OD =3， 60AOB ，∠= ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB =OA =3， 故选A.
点睛：有一个角等于60得等腰三角形是等边三角形.
8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为(
)
A. 2.7米
B. 2.5米
C. 2米
D. 1.8米
【答案】A
【解析】
【分析】 先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度. 【详解】
由题意可得：2220.7 2.4 6.25AD =+=，
在Rt ABC 中，
90ABC ∠=︒， 1.5BC =米，222BC AB AC +=，
∴221.5 6.25AB +=，
∴2AB =±，
0AB >，
∴2AB =，
∴小巷的宽度为0.72 2.7+=（米）.
故选：A .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.
9.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点,,A B C 都在格点上，以A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD 的长为
A. 5
B. 0. 8
C. 35-
D. 13
【答案】C 【解析】
【分析】 连接AD ，由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．
【详解】如图，连接AD ，
则AD=AB=3，
由勾股定理可得，Rt △ADE 中，DE=
225AD AE -= 又∵CE=3，
∴5
故选：C ．
【点睛】考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE 是解决问题的关键．
10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角30α
=︒，若8AC =，6BD =，则平
行四边形ABCD 的面积是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
先过点D作DE⊥AC于点E，由在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，可求得OD的长，又由对角线AC、BD相交成的锐角α为30°，求得DE的长，△ACD的面积，则可求得答案．
【详解】过点D作DE⊥AC于点E ，
∵▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝1
3
2 BD ,∵∠α＝30°，∴DE＝OD•sin∠α＝3×12＝1.5，∴S△ACD＝12AC•DE＝12×8×1.5＝6，∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12．故答案选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角函数的知识．解题的关键是准确作出辅助线．
11.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是（）
A. AD ＝BC
B. CD ＝BF
C. ∠F ＝∠CDE
D. ∠A ＝∠C
【答案】C
【解析】
【分析】 添加C 选项，即可证明△DEC ≌△FEB ，从而进一步证明DC ＝BF ＝AB ，且DC ∥AB ，得到四边形ABCD 是平行四边形．
【详解】解：添加：∠F ＝∠CDE ，
理由：∵∠F ＝∠CDE ，
∴CD ∥AB ，
在△DEC 与△FEB 中，
CDE F DEC BEF EC BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DEC ≌△FEB （AAS ），
∴DC ＝BF ，
∵AB ＝BF ，
∴DC ＝AB ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴C 选项正确，而其余各选项均不能证明四边形ABCD 为平行四边形，
故选：C ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
12.如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）
A. 75°
B. 60°
C. 55°
D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝1
2
（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13.如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB＝17，BD＝16，AE＝25，则DE的长度为( )
A. 8
B. 9
C. 11
D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．
【详解】连接AC，设AC交BD于O点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且BO=DO==8，
在△AOD中，
∵∠AOD=90°，
∴AO===15，
在△AOE中，
∵∠AOE=90°，
∴OE===20，
又OD=8，
∴DE=OE-OD=20-8=12．
故选：D
【点睛】此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
14.如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四
边形；③S四边形BDEF＝
3
2
；④S△AEF3）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】 连接EC ，作CH ⊥EF 于H ．首先证明△BAD ≌△CAE ，再证明△EFC 是等边三角形即可解决问题；
【详解】连接EC ，作CH ⊥EF 于H ．
∵△ABC ，△ADE 都是等边三角形，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
∴△BAD ≌△CAE ，
∴BD ＝EC ＝1，∠ACE ＝∠ABD ＝60°，
∵EF ∥BC ，
∴∠EFC ＝∠ACB ＝60°，
∴△EFC 是等边三角形，CH 3 ∴EF ＝EC ＝BD ，∵EF ∥BD ，
∴四边形BDEF 是平行四边形，故②正确，
∵BD ＝CF ＝1，BA ＝BC ，∠ABD ＝∠BCF ，
∴△ABD ≌△BCF ，故①正确，
∵S 平行四边形BDEF ＝BD•CH 3 故③正确，
∵△ABC 是边长为3的等边三角形，S △ABC 23934
3=
∴S △ABD 193333=⨯= ∴S △AEF ＝23 S △AEC ＝23•S △ABD ＝3 故④错误， 故选：C ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 2(25)-_____．
52 【解析】
【分析】
根据25＜0即可得出结论．
【详解】5＞2，∴25-＜022552-=（）．
52．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式性质是解答此题的关键．
16.在▱ABCD 中，AC ＝CD ，∠ACB ＝2∠ACD ，则∠B 的度数为_____．
【答案】72°
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACB，∠D+∠BCD＝180°，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠CAD，推出∠D＝2∠ACD，列方程即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠D+∠BCD＝180°，
∵CD＝AC，
∴∠D＝∠CAD，
∴∠D＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠ACD，
∴∠D＝2∠ACD，
∴∠D+∠DCB＝5∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝36°，
∴∠D＝72°，
在▱ABCD中，∠B＝∠D＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17.已知x5，则x2﹣2x﹣3＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
将x的值代入原式，再依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：当x＝5+1时，
原式＝（5+1）2﹣2（5+1）﹣3
＝6+25﹣25﹣2﹣3
＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算顺序和运算法则．
18.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为_____cm．
【答案】8.5
【解析】
【分析】
设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为杯子的直径为8cm，可根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
由题意得：x2+42＝（x+1）2，
16＝2x+1，
x＝7.5，
∴x+1＝8.5，
∴筷子长8.5cm，
故答案为8.5．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
19.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC 交于点P，则线段AP＝_____．
17【解析】
∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD =BC =AQ =3，CD =AB =4，
∴∠ADQ =∠AQD =∠PQC =∠QPC ，AC =5，
∴CP =CQ =AC －AQ =5－3=2，
∴BP =1，
∴AP 22AB BP +17.
三、解答题（本题7个小题，共63分）
20.计算
（1）2(233)
（212×751348 【答案】（1）3；（2）12
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式运算法则结合完全平方公式进行计算；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，然后计算括号里面的加减，最后计算乘法．
【详解】解：（1）原式＝22(23)3)2331323221+=+--=⨯；
（2）原式＝233343)232312==.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21.如图，在▱ABCD 中，延长BA 到F ，使得AF ＝BA ，连接CF 交AD 于点E ，求证：AE ＝DE ．
【答案】见解析；
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵▱ABCD ，
∴AB ＝CD ，BF ∥DC ，
∴∠F ＝∠ECD ，∠F AE ＝∠D ，
∵AF ＝BA ，
∴AF ＝DC ，
在△AFE 与△DCE 中
F ECD AF DC
FAE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AFE ≌△DCE （ASA ），
∴AE ＝DE ．
【点睛】本题考查平行四边形性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
22.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度 h （单位：m ）近似满足公式5
h （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t 1 是多少 s ，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t 2 是多少 s ； （2）t 2 是 t 1 的多少倍？
（3）经过 1.5s ，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）当 h=50 时，t 110（秒）；当 h=100 时，t 25；（2）t 2 是 t 1 2倍；（3）下落的高度是 11.25 米．
【解析】 【分析】
（1）将h=50代入t 15h h=100代入t 25h 进行计算即可； （2）计算t 2与t 1的比值即可得出结论；
（3）将t=1.5代入公式5h 进行计算即可． 【详解】（1）当 h=50 时，50510（秒）； 当 h=100 时，1005205； （2）∵122510
t t 2， ∴t2 是 t1 2倍．
（3）当 t=1.5 时，5
h 解得 h=11.25， ∴下落的高度是 11.25 米．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
23.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，AD ＝1，AE ＝2，BC ＝3，BE ＝1.5．求
证：∠DEC ＝90°
．
【答案】见解析【解析】
【分析】
由AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5，可得
AE
=
BE BC
AD
，△ADE∽△BEC，可证得∠DEC＝90°.
【详解】证明：
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5，
∴
12
= 1.53
．
∴
AE
=
BE BC AD
，
∴△ADE∽△BEC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC＝90°．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合及相似三角形的判定与性质，得出△ADE∽△BEC是解题的关键.
24. 如图，ABCD为平行四边形，AD＝2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.
（1）求证：EF＝DF；
（2）若AC=2CF,∠ADC=60 o, AC⊥DC，求DE的长.
【答案】（1）见解析（2）DE=7
【解析】
【分析】
（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，AB∥GE，再由BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．
（2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD=1
2
AD=1，利用勾股定理，可求AC=3，而CF=
1
2
AC，那么
再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求．【详解】（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G
则∠GEF＝∠CDF，∠G＝∠DCF
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∴EG∥AB
∵BE∥AC
∴四边形ABEG是平行四边形
∴EG＝AB＝CD
∴△EGF≌△DCF
∴EF＝DF
（2）∵∠ADC=60 o, AC⊥DC
∴∠CAD＝30 o ∵AD＝2
∴CD＝1
∴AC＝3
又AC=2CF，∴CF＝
在Rt△DGF中
DF＝＝
7 2
∴DE＝2DF＝7
25.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．
（1）BF和DE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）在其他条件都保持不变的是情况下，当点E运动到AC中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】（1）BF＝DE；（2）正方形
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可得AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°，通过证明△AFB≌△AED，可得BF＝DE；（2）由正方形的性质可得AE＝BE，∠AEB＝90°，通过证明△ABF≌△ABE，可得BF＝BE，可证四边形AFBE是菱形，且AF⊥AE，可证四边形AFBE是正方形．
【详解】证明：（1）BF＝DE，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵AF⊥AC，
∴∠FAB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，且AD＝AB，AF＝AE，
∴△AFB≌△AED（SAS），
∴BF＝DE，
（2）正方形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，点E是AC中点，
∴AE＝BE，∠AEB＝90°
∵∠FAB＝∠BAC＝45°，且AB＝AB，AF＝AE，
∴△ABF≌△ABE（SAS），
∴BF＝BE，
∴AE＝BE＝BF＝AF，
∴四边形AFBE是菱形，且AF⊥AE，
∴四边形AFBE是正方形
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用正方形的性质解决问题是解题关键．
26.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ACPE为平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝1
2
AB＝AE，根据平行
四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，
连接CE，如图所示：
∵E是AB的中点，
∴AE＝EC，CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ECF＝∠EAD＝135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，
CEF AED EC AE
ECF EAD ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△CEF≌△AED（ASA），
∴ED＝EF；
（2）四边形ACPE为平行四边形，理由如下：由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，
∵AD＝AC，
∴AC＝CF，
∵DP∥AB，
∴FP＝PB，
∴CP＝1
2
AB＝AE，
∴四边形ACPE为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．。