第03讲分式的运算(原卷版)

第03讲 分式的运算
知识点01 分式的乘法运算
1. 分式的乘法运算法则：
同分数的乘法运算法则，分子乘 作为积的分子，分母乘
作为积的分母。

即：=⋅D C B A BD
AC 。

2. 具体步骤：
①对能 的分子分母进行因式分解。

②分子分母有 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。

③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。

题型考点：①分式的乘法运算。

【即学即练1】
1．计算
的结果正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【即学即练2】
2．化简
•的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．
【即学即练3】
3．计算
的结果为（ ） A ． B ． C ． D ．
知识点02 分式的除法运算
1. 分式的除法运算法则：
除以一个分式等于乘上这个分式的 。

变成乘法运算。

即：⋅=÷B A D C B A C D ＝ BC
AD 。

题型考点：①分式的除法运算。

【即学即练1】
4．计算
的结果为（ ） A ． B ． C ． D ．
【即学即练2】
5．已知÷＝M ，则M 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【即学即练3】
6．代数式
的值为F （x 取整数），则F 为整数值的个数有（ ） A ．0个 B ．7个 C ．8个 D ．无数个
知识点03 分式的乘方运算
1. 分式的乘方的运算法则：
一般地，当n 为正整数时，()()()=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛个个个n B B B n A A A n B A B A B A B A n
......... 。

即把分式的分子分母分别乘方运算。

题型考点：①分式的乘方运算。

【即学即练1】
7．计算（
）3的正确结果是（ ） A ． B ． C ． D ．
【即学即练2】
8．下列计算正确的是（ ）
A ．（）2＝
B ．（）2＝
C ．（）3＝
D ．（）2＝
【即学即练3】
9．计算
的结果为（ ） A ． B ． C ．a 2 D ．b 2
知识点04 分式的加减法运算
1. 分式的加减法运算法则：
①同分母的分式相加减：分母 ，分子 。

②异分母的分式相加减：先通分，变成 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。

2. 具体步骤：
第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。

第二步：加减：分母不变，分子相加减。

第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。

第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。

分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。

题型考点：①分式的加减运算。

【即学即练1】
10．计算的结果为（）
A．B．C．D．
【即学即练2】
11．计算的结果是（）
A．B．C．D．
【即学即练3】
12．化简的结果是．
【即学即练4】
13．计算的结果是（）
A．B．C．a+1D．a2
【即学即练5】
14．计算：
（1）﹣；（2）﹣x+1．
知识点05 用科学计数法表示较小的数
1.科学计数法表示较小的数的方法：
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中|a|的取值范围为，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。

题型考点：①用科学计数法法表示较小的数。

【即学即练1】
15．光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数法表示为（）
A．193×106米B．193×10﹣9米
C．1.93×10﹣7米D．1.93×10﹣9米
【即学即练2】
16．2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
题型01 分式的乘除运算
【典例1】
计算．
（1）；（2）．
【典例2】
计算：
（1）；（2）．
【典例3】
计算：
（1）（）3•；（2）．
【典例4】
计算：
（1）÷；（2）．
题型02 分式的加减运算
【典例1】
计算：
（1）；（2）；
【典例2】
计算：
（1）；（2）．
【典例3】
化简：
（1）；（2）．
【典例4】
计算下列各题：
（1）；（2）．
题型03 分式的混合运算
【典例1】
计算：
（1）；（2）．
【典例2】
分式计算：
（1）；（2）．
【典例3】
计算：
（1）；（2）．
【典例4】
计算下列各式：
（1）；（2）．
题型04 分式的运算应用
【典例1】
若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（）
A．2x B．x﹣2C．x+4D．4
【典例2】
若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（）
A．y﹣x B．y+x C．D．3x
【典例3】
对于任意的x值都有，则M，N值为（）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【典例4】
若＝+，则A，B的值为（）
A．A＝3，B＝﹣2B．A＝2，B＝3C．A＝3，B＝2D．A＝﹣2，B＝3
【典例5】
对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
题型05 分式的化简求值
【典例1】
（1）先化简，再求值：+÷，其中x＝﹣2．
（2）先化简，再求值：（﹣2+a）÷，从﹣2≤a≤1中选出合适的最大整数值代入求值．
【典例2】
先化简，再求值：，其中x为小于3的非负整数．
【典例3】
先化简，再求值：，其中．
【典例4】
先化简，再求代数式的值，其中．
【典例5】
有这样一道题“求的值，其中a＝2018”．“小马虎”不小心把a＝2018错抄成a ＝2008，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．
1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×10﹣10B．3.2×10﹣8C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣9
2．如果，那么分式的值是（）
A．6B．3C．2D．12
3．若a+b＝2，则代数式的值为（）
A．B．﹣C．2D．﹣2
4．若化简的结果为，则m的值是（）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
5．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（）
A．B．C．D．
6．若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）
A．段①B．段②C．段③D．段④
7．若M÷，则M是（）
A．B．
C．D．
8．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，a n满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（）
A．﹣B．C．﹣3D．2
9．化简：的结果是．
10．已知，则的值为．
11．定义一种新运算，例如．则＝．
12．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．
例如：；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是．
13．先化简，再求值：，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
14．如果两个分式M与N的差为整数a，那么称M为N的“汇整分式”，整数a称为“汇整值”，如分式
，则M为N的“汇整分式”，“汇整值”a＝2．（1）已知分式，判断A是否为B的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”a；
（2）已知分式，其中E为多项式，且C为D的“汇整分式”且“汇整值”a＝1，求E所表示的多项式．
15．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是；（只填序号）
①；
②；
③；
④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝；（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．。