向Aubin致敬

向Aubin致敬
曲率和拓扑的制约关系一直是我非常喜爱的一个几何问题，一个基本的提问是典则度量的存在性，著名的Yamabe问题就问：是否一个紧致黎曼流形M可以形等价于一个常数量曲率的黎曼流形？现在我们知道，Yamabe提出这个问题是针对Poincare猜想的。

大约在上世纪70和80年代，这个问题曾经引起紧张的研究，最后，Schoen运用一系列复杂的技巧肯定的回答了这个问题，圆满的结束了这一探索。

我因为读Yau的《微分几何讲义》，自然不能放过其中专门讲这个问题的第五章，于是顺便重温了这个动人的故事。

尽管问题的最后解决是有几何分析的开创者Yau的弟子Schoen完成的，Thierry Aubin仍然是无法回避的一个。

Thierry Aubin (1942—)虽然称不上大家，但好歹也算是法国在世界上比较有名的几何分析学家，1990年当选法国科学院通讯院士。

七、八十年代正是几何分析发展的黄金时代，法国数学家中和他同时代的代表人物还有Burguignnon，现在的巴黎高等研究所所长。

不过，因为Yau的缘故，那时候几何分析的中心无疑是在伟大的美国。

Aubin最著名的工作应该是解决了第一陈类为负的情形“Calabi猜测“。

50年代的时候，Calabi提出了Kahler几何的一系列基本猜测，其中最著名无疑也是最困难的一个，也就是我们通常所称的Calabi猜测：一个紧致Kahler流形M上的实的闭(1,1)形式，如果它所属上同调类表示第一陈类，则该(1,1)外形式是M的某个Kahler度量的Ricci张量形式。

这个猜测等价于解一个Kahler
流形上的Monge-Ampere方程，一类完全非线性的方程。

Calabi仅仅证明了解的唯一性。

这个方程的解的存在性还和Kahler流形上Kahler-Einstein度量的存在性有关。

这个方程带了一个参数k，k>0，k=0，k<0时方程的解分别给出第一陈类为正，零，负的Kahler流形上的一个Kahler-Einstein度量。

Kahler-Einstein度量是常Ricci曲率的，自然也是复流形上最重要的一类度量。

上面提到的Calabi猜测等价于其中k=0时方程可解。

Aubin在1976年证明了k<0时方程解的存在唯一性，证明不长，只有三页。

但是他的证明后来被Yau评价为“rather difficult to understand”。

但是这确实是一个很大的贡献。

Aubin同时证明了对非负全纯截曲率的kahler流形，k=0时方程有解。

但是这个曲率限制很可能是多余的。

Au bin也很想去掉它，因为证明Calabi猜测的荣誉对年轻的Aubin来说无疑是非常之诱人的。

但是很快Aubin的打击来了，同一年，Yau在经过一系列令人眼花缭乱、惊心动魄的先验估计之后，对于一般的紧致Kahler流形完全证明了k=0和k<0的情形光滑解的存在唯一性，而且Yau的证明较之Aubin的要系统、优美的多，当然也要长的多。

1977年，Aubin的好友Kazdan去巴黎做报告，主要就是关于Yau的工作。

Aubin后来花了几个月的时间把其中Yau的一个2维情形的特殊证明推广到了高维，这也算是一点安慰吧！不过Calabi猜测的桂冠终究毫无争议的归属了S.T.Yau。

另外提到，Yau的关于Calabi 猜测的工作在代数几何中有许多深刻的应用。

法国人的爱国精神在这时开始集体体现出来了，Burguignnon、Besse、Demailly，许多法国著名数学家在他们的文章或专著中把第一陈类为负的Kahler流形上的Kahler-Einstein度量称为Aubin-Yau度量，一般情况下笼统一点的称Aubin-Calabi-Yau定理。

以此来提醒人们Aubin的贡献。

可惜的是，这些名称都没有被广泛接受。

因为紧接着，来自物理学家的想法似乎更青睐于Yau。

我们知道弦论模型的10维流形，模掉4维的Minkowski时空，剩下的是具有Planck常数尺度的6维紧致黎曼流形(因为Planck常数很小，所以宏观的宇宙是4维的)。

1984年，一群包括Cadelas,Witten等的物理学家研究弦论发现，如果要满足超对称条件，那么Planck常数尺度的6维紧致黎曼流形的标准线丛（注记：就是其上的(6,0)次外形式丛）
必是平凡线丛。

Yau的关于k=0的解可以给出这类流形的很丰富的实例。

所以物理学家首先引入了Calabi-Yau流形的概念，即具有合乐群SU(m)的紧致Kahler流形，证明Calabi-Y au流形具有平凡的标准线丛，是Ricci平坦的，并且第一陈类为零。

弦论学家对复维数m= 3的Calabi-Yau流形尤其感兴趣，因为这个是弦论模型里的那个6维紧致黎曼流形。

然而Aubin只证明了k<0！Aubin后来转向Yamabe猜想。

他在1976年证明了如下事实，当di m M > 5，M是正数量曲率的且不是形平坦，则Yamabe问题是肯定的。

八年后，Yau的弟子Schoen在1984年给出了剩下所有情形的证明，并且，他评价说Aubi n给出的证明是无法推广的局部的证明！我们无法重复历史，但可以揣测，也许Aubin那时得知Schoen的证明时，他正在孜孜不倦的继续寻找他的Yamabe问题的解答途径，他已经花费了巨大的精力，似乎看到了某种可能，但是事实告诉他，他应该放弃这个也许是他非常心爱的问题了。

数学的生命在于她的不断向前推进的创新，数学家们不断的证明着自己的一些论断，也否定了一些命题，探索真理，猜想变成定理的过程总是令人激动不已的。

但是除非有思想方法上的巨大创新，证明一个已经证明的问题，意义价值都比原来要小了许多。

科学的进步总是建立在无数人的前赴后继的基础上的，许多科学史上的无名英雄，或者一些不是那么让人激动的名字，其实也许他们的工作已经奠定了后来人工作的坚实基础。

数学家在公众中的知名度，除了例如公认的Gauss，Riemann，Euler，Poincare，Abel，Galois，Achimedean，Newton这些数学英雄，以及一些Wolf奖和Fields奖得主以外，其他的就很少被人提及了。

Thierry Aubin只是这些不太有名的人里面的一个，但他的工作，至少做几何分析的人，基本一定能够接触到。

Aubin的两篇代表性文章分别是：第一篇：Equations differentielles non lineaire et Probleme de Yamabe concernant la courbure curvature，发表在J.Mat h.Pures es Appl. 55(1976),，269-296。

文章部分解决了Yamabe问题。

第二篇：Equati ons du type Monge-Ampere sur les varietes Kahlerienes compactes，发表在C.R.Acad. Sc. Paris 283(1976),，119-121 。

文章部分解决Calabi猜测. 他还写有三本书，其中第一本和第二本都是非常有名的，不过第二本基本上只是第一本的一个扩充版本。

Aubin 的三本著作分别是：第一本：Nonlinear Analysis on Manifolds：Monge-Ampère Eq uations，Springer (1982)。

第二本：Some nonlinear Problems in Riemannian Ge ometry, Springer (1998). 第三本：A course in Differential Geometry. AMS (2000).
所以，向Aubin致敬！。