高中数学 3.4.2 简单线性规划同步课件 北师大版必修5

最小值为( )
x y 2 0
，则z=x-2y的
（A）4
（B）-3
（C）-2
（D）1
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【解析】选B.画出可行域（如图）.由图可知(kě zhī)，当直线l 经 过点A（-1，1）时，z最小，且最小值为zmin=-1-2×1=-3.
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4.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x-y的最大值是______. 【解析】由不等式组画出可行 域如图.当直线x-y-z=0过点 A(1,0)时，z=x-y取得(qǔdé)最大值， zmax=1-0=1. 答案：1
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1.了解线性规划的有关概念.(重点) 2.求线性目标函数的最大值、最小值.(重点) 3.图解法解决线性规划问题的过程(guòchéng)及其应用.(难点、易错 点)
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一、线性规划(xiàn xìnɡ ɡuī huá)中的基本概念
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5.如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动(yùndòng)，那 么2x-y的最小值为______.
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【解析】令l :2x-y=0,
kAB= 2 ,1kDC= ,所1以l 平移(pínɡ yí)过A（1，1）时在y轴上截 距最大，3即 1x=1，y=1时5 ,21x-y有最小值为2×1-1=1.
结合图形求a的取值范围(fànwéi).
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【规范(guīfàn)解答】选C.作出平面区域M，
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求直线AC，AB，BC交点，得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9). 由图可知，欲满足条件必有a>1且图像(tú xiànɡ)在过B、C 两点的图像(tú xiànɡ)之间. 当图像(tú xiànɡ)过B时，a1=9，∴a=9. 当图像(tú xiànɡ)过C时，a3=8，∴a=2. 故a的取值范围为［2,9］.故选C.
当直线经过可行域上的B点时，截距-z最小，即z最大，
解方程组
，得B(2,1).
x 2y 4
∴zmax=3×x2-1y=51.
所以z=3x-y的最大值为5，最小值为-9.
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非线性目标函数(hánshù)的最值问题
非线性目标函数(hánshù)的最值的求法.
(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数(hánshù)可转化为点(x，y)
得出a的取值范围.
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x 2
1.若实数x，y满足 y 3，则S=2x+y-1的最大值为( )
(A)6
(B)4 x y 1(C)3
(D)2
【解析】选A.可行域为如图所示的阴影(yīnyǐng)部分，当可行解Βιβλιοθήκη 为A(2,3)时Smax=6.
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x y 1 0，
【规范解答】由 x 0，作出可行(kěxíng)域，如图中阴影部
分所示.
y 2，
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(1)z= 表y 示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此 x
y的取值范围(fànwéi)为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不 存x 在). x y 1 0 而由 y 2，得B(1,2)， 则kOB=2 =2.
与点(a，b)距离的平方；
(2)z= y b 型的目标函数(hánshù)可转化为点(x，y)与点(a，
xa
b)连线的斜率;
(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x，y)到直线Ax+By+C=0的距离
的
倍.
A2 B2
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特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距 离( jùlí)的平方.
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对目标函数z＝ax+by+c（b≠0）的变化规律的理解. 当b>0时，将z＝ax+by+c（b>0）化为：y= a x z c , 于是 z 可 c看成是直线l0:y= 平行的a 动x 直线在y轴b上的 b 截距.根据b 截距的几何意义可理解为：b 直线l0的截距越大，z的值越大，截距越小，z的值越小. 当b<0时，目标函数z=ax+by+c的变化情况(qíngkuàng)正好与上 述情况(qíngkuàng) 相反！
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【规范解答( jiědá)】画出由线性约束条件确定的可行域，如 图所示：
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由z=3x-y，得y=3x-z，得到斜率(xiélǜ)为3、在y轴上的截距
为-z、随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上
的C点时，截距-z最大，即z最小，
解方程组 x 2，y得 4C(-2,3). ∴zmin=3×x(-22)-30=-9.
解题时要注意(zhù yì)边界直线的斜率与目标函数的 斜率的关系.
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x 3y 3 0,
【例】若实数x，y满足(mǎnzú)不等2式x 组 y 3 0,
且
z=x+y的最大值为9，求实数m的值.x my 1 0,
【审题指导】根据线性约束条件画出可行域，由目标函数和
最大值，判断取得最大值满足(mǎnzú)的条件，再求参数的值.
【典例】设二元一次不等式组
x y 8 所0表示的平面
区域为M，使函数y=ax(a>0，a≠1)的2图x 像 y过区14域M0的a的取值范围
(fànwéi)是( )
(A)［1,3］
(B)［2， ］
(C)［2,9］
(D)［ ，9］10
【审题指导】作出可行域，由题设条件判断函数y=ax的单调性，再 10
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【误区警示(jǐnɡ shì)】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
错误原因
产生此种错误的原因是，误认为y=ax图像与
a的取值范围为 ［2， ］10
线段AC相交，结合指数函数的图像知，图像 应在过B、C两点的图像之间.为避免错误，也 可把图像过A、B、C时的a值求出，再作比较
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由
3x 2x
8y 5y
得15A(0-，5,0).
10 0，
当z为常数时，-z表示直线z=x-y在y轴上的截距，如图所示；
当直线z=x-y过A点时，-z取最大值，
∴zmin=-5-0=-5；
当直线z=x-y过B点时，-z取最小值；
∴zmax=3-(-3)=6.
综上所述，目标函数(hánshù)z的取值范围是［-5,6］.
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x y 1 0， 【例2】实数x、y满足 x＞0， (1)若z= ，求z的最大值和y最小2.值，并求z的取值范围； (2)若z=x2y+y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.
x 【审题指导】先画出不等式组所表示的平面区域，再根据各个 (gègè)目标函数的几何意义求解.
1 ∴zmax不存在，zmin=2， ∴z的取值范围(fànwéi)是［2，+∞).
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(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的范围(fànwéi)最小为|OA|2(取不到)，
最大为|OB|2.
由
得A(0,1)，
∴|OA|2=
=1.
x y 1 0
|OB|x2= 0 =5.
∴z的最大值(为052，1没2 )有2 最小值.
故z的取值( 范12围 (2f2à)n2 wéi)是(1,5］.
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已知目标函数的最值求参数 如何由目标函数的最值求参数
已知目标函数的最值，求线性约束条件的参数问题，可以先画出线 性约束条件中的已知部分，由于最值一般在可行域的顶点或边界处 取得，常常利用数形结合的方法求解.
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线性目标函数的最值问题 解线性规划问题的一般步骤：
(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域， (2)移：利用平移的方法(fāngfǎ)在线性目标函数所表示的一组平行 线中，找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直 线， (3)求：通过解方程组求出最优解， (4)答：给出答案.
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最优解通常在可行(kěxíng)域的顶点或边界处取得.
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【例1】已知关于x、y的二元一次不等式组 求函数z=3x-y的最大值和最小值.
x 2y 4 x y 1 ， x 2 0
【审题指导】根据线性约束条件画出可行域，再利用(lìyòng)平移
法，求得最值.
2.将目标函数z=3x-y看成直线方程时，z的意义是( ) （A）该直线的截距 （B）该直线的纵截距 （C）该直线的纵截距的相反数 （D）该直线的横截距 【解析(jiě xī)】选C.把目标函数整理可得y=3x-z,z为直线 纵截距的相反数.
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y 1
3.若变量(biànliàng)x，y满足约束x 条y件 0
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【规范解答】由x+y有最大值易知0＜m＜2，则不等式组对
应可行域如图阴影部分所示，则x+y在点A处取得(qǔdé)最
大值2x，xyy93 0
解
得A(4,5)，而点A在直线x-my+1=0上，代入可求
得m=1.
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x 2y 19 0
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最优解一定唯一吗？ 提示：不一定.当线性目标函数(hánshù)对应的直线与可行域多边 形的一条边平行时，最优解可能有多个甚至无数个.
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二、图解法求线性规划问题 图解法的步骤： (1)求可行域 将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定 (quèdìng)原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集， 即可行域.
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(2)作出目标函数的等值线. 目标函数z=ax+by(a、b∈R且a、b为常数)，当z是一个指定 的常数时，就表示一条直线.位于这条直线上的点，具有相 同的目标函数值z，因此称之为等值线.当z为参数时，就得 到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化 状态. (3)求出最终结果. 在可行域内平行移动(yídòng)目标函数等值线，从图中能判定 问题 是有唯一最优解，或是有无穷最优解，亦或是无最优解.
答案：1
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3x 8y 15 0， 6.已知x，y满足(mǎn5zúx) 3y 6 0，
2x 5y 10 0，
求z=x-y的取值范围.
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【解析(jiě xī)】先画出约束条件的可行域，如图所示，
由 3x 8y 得15B(30，，-3)，
5x 3y 6 0，