湘教版九年级上册数学期末考试试题含答案解析

湘教版九年级上册数学期末考试试卷
一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）
1．已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（）
A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定
2．已知如图，DE∥BC，，则=（）
A．B．C．2 D．3
3．若a＞3，则+=（）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣5 D．5﹣2a
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）
A．B．C．D．
5．已知粉笔盒里只有2支红色粉笔和3支白色粉笔，每支粉笔除颜色外其他均相同，现从中任取一支粉笔，则取出白色粉笔的概率是（）
A．B．C．D．
6．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）
A．3sin40︒B．3sin50︒C．3tan40︒D．3tan50︒
7．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
8．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）
A ．15m
B ．20m
C ．20m
D ．10m
9．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）
A ．y=（x+1）2+4
B ．y=（x ﹣1）2+4
C ．y=（x+1）2+2
D ．y=（x ﹣1）2+2
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）图象的一部分，直线x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．某工厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值为132万元．若设平均每月增长的百分率为x ，则列出的方程为：_____．
12．方程x2-4x=0的解为______．
13．若△ABC ∽△A′B′C′，且''AB A B =34
，△ABC 的周长为12 cm ，则△A′B′C′的周长为_______cm.
14．抛物线y=x2﹣2x ﹣1与x 轴的交点坐标分别是（x1，0），（x2，0），则+=_____．
15．如图，在平面直角坐标系中有两点A （6，0），B （0，3），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），当点C 的坐标为_____时，△BOC 与△AOB 相似．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，那么sinA=________．
三、解答题
17．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．
18．解方程：x2﹣10x+25=7．
19．如图所示，在宽为20米，长为32米的矩形空地上修的两条宽度相同且互相垂直的水泥路，余
下部分作为草地．现要使草地的面积为540平方米，求水泥路的宽应为多少米？
20．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
22．一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形
ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在
一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀
后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1
个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位
长度．
棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法
求解）
23．有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算．
（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x 轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．
（1）求出直线AC的函数解析式；
（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．
25．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；
（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．
26．如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
(参考数据:sin67.4°≈12
13,cos67.4°≈
5
13,tan67.4°≈
12
5)
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．解：∵a=1，b=1，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：B．
考点：根的判别式．
2．B
【解析】
试题分析：根据DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边的比相等，可证DE：BC=AD：AB，即可求解．
解：∵，
∴AD：AB=1：3．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
3．C
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质，即可解答．
解：∵a＞3，
∴a﹣2＞0，3﹣a＜0，
+
=
=a﹣2+a﹣3
=2a﹣5．
故选：C．
考点：二次根式的性质与化简．
4．B
【解析】
试题分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
解：由题意，设BC=4x，则AB=5x，AC==3x，
∴tanB===．
故选B．
考点：锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．
5．C
【解析】
试题分析：由粉笔盒里只有2支红色粉笔和3支白色粉笔，每支粉笔除颜色外其他均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵粉笔盒里只有2支红色粉笔和3支白色粉笔，每支粉笔除颜色外其他均相同，
∴现从中任取一支粉笔，取出白色粉笔的概率是：=．
故选C．
考点：概率公式．
6．D
【详解】
试题分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.
∵BC=3，tan
AC
B
BC
=
，∴tan3tan50
AC BC B
=⋅=︒.
故选D.
考点：1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.
7．A
【详解】
试题分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第
一象限内将线段AB缩小为原来的1
2后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
8．C
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解：在Rt△ABC中，
∵BC=10m，tanA=1：，
∴AC=BC÷tanA=10m，
∴AB==20（m）．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
9．D
【解析】
试题分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选：D．
考点：二次函数的三种形式．
10．C
【解析】
试题分析：①根据直线x=﹣1是对称轴，确定b﹣2a的值；
②根据x=﹣2时，y＞0确定4a﹣2b+c的符号；
③根据x=﹣4时，y=0，比较a﹣b+c与﹣9a的大小；
④根据抛物线的对称性，得到x=﹣3与x=1时的函数值相等判断即可．
解：①∵直线x=﹣1是对称轴，
∴﹣=﹣1，即b﹣2a=0，①正确；
②x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，②错误；
∵x=﹣4时，y=0，
∴16a﹣4b+c=0，又b=2a，
∴a﹣b+c=﹣9a，③正确；
④根据抛物线的对称性，得到x=﹣3与x=1时的函数值相等，
∴y1＞y2，④正确，
故选：C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
11．50（1+x）+50（1+x）2=132
【详解】
试题分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：4月份的产值+5月份的产值=132，把相关数值代入即可求解．
解：4月份的产值为50×（1+x），5月份的产值在4月份产值的基础上增加x，
为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是50（1+x）+50（1+x）2=132，
故答案为50（1+x）+50（1+x）2=132．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
12．
【详解】
试题分析：x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．
解：x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
x=0或x﹣4=0
x1=0，x2=4
故答案是：x1=0，x2=4．
考点：解一元二次方程-因式分解法．13．16cm
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′，
3 ''
4 AB
A B
,
∴C△ABC：C△A′B′C′=3：4，
又∵C△ABC=12cm，
∴C△A′B′C′=16cm.
故答案为16.
14．﹣2
【解析】
试题分析：根据抛物线与x轴的交点问题得到x1、x2为方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则利用
根与系数的关系得到x1+x2=2，x1+x2=﹣1，然后把+通分后利用整体代入的方法计算
即可．
解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标分别是（x1，0），（x2，0），
∴x1、x2为方程x2﹣2x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=2，x1+x2=﹣1，
∴+===﹣2．
故答案为﹣2．
考点：抛物线与x轴的交点．
15．（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）
【分析】
本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．
【详解】
解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，
若OC与OA对应，则OC=OA=6，C（﹣6，0）；
若OC与OB对应，则OC=1.5，C（﹣1.5，0）或者（1.5，0）．
∴C点坐标为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
故答案为（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．
16．2
【详解】
AC BC =90C ∠=︒,
∴A=45°，
根据特殊角三角函数值，可得sinA=sin45°=2
2． 故答案为：2
2．
考点：特殊角的三角函数值
17．﹣3﹣．
【解析】
试题分析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而求出答案．
解：原式=﹣2×﹣3﹣3+1+2=﹣3﹣．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
18．7x2=57
【详解】
试题分析：先变形，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 试题解析：x2﹣10x+25=7，
（x ﹣5）2=7，
x ﹣5=±7
7x2=57
考点：解一元二次方程-配方法．
19．2m
【详解】
试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣x ）和（20﹣x ），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
解：设水泥路的宽为x m ，则可列方程为：
（32﹣x ）（20﹣x ）=540
解得：x=2或x=50（不合题意，舍去），
答：水泥路的宽为2m ．
考点：一元二次方程的应用．
20．（1）y=x2﹣2x ﹣3；（2）（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y 的值为0，得到相应的两个x 值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
解：（1）∵二次函数图象的顶点为A （1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a﹣4，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；
（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．
考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
21．CE的长为（4+）米
【分析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】
过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°
=6×
，
∵DH=1.5，
∴
，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=CD CE，
∴
CE==（
（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
22．E点，概率为1 3.
【分析】
先列表：共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种，摸出的两个小球标号之和是3的占2种，摸出的两个小球标号之和是4的占3种，摸出的两个小球标号之和是5的占两种，摸出的两个小球标号之和是6的占一种；即可知道棋子走到哪一点的可能性最大，根据概率的概念也可求出棋子走到该点的概率．
【详解】
解：列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
共有9种等可能的结果，其中
摸出的两个小球标号之和是2的占1种，
摸出的两个小球标号之和是3的占2种，
摸出的两个小球标号之和是4的占3种，
摸出的两个小球标号之和是5的占2种，
摸出的两个小球标号之和是6的占1种；
所以棋子走E点的可能性最大，
棋子走到E点的概率=3
9=
1
3．
考点：列表法与树状图法．
23．（1）这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；（2）S的最大值为2400mm2，
此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．
【解析】
试题分析：
（1）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=ymm，则PN=2ymm，易证△APN∽△ABC，由相似三角形的性质解答即可；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答
解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得y=，
∴PN=×2=（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得PQ=80﹣x．
∴S=PN•PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，
∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．
考点：相似三角形的应用．
24．（1）y=﹣x+2；（2）y=﹣x2+x+2；（3）点P的坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．
【解析】
试题分析：（1）先在Rt△ABO中，运用勾股定理求出OB==
=2，得出B（﹣2，0），再根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0），又A（0，2），利用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式；
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A，C，D三点的坐标代入，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；
（3）先由点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上，得出m＜﹣2或m＞4，n=﹣
m2+m+2＜0，于是PM=m2﹣m﹣2．由于∠PMC=∠AOC=90°，所以当Rt△PCM与
Rt△AOC相似时，有==或==2．再分两种情况进行讨论：①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．由==，列出方程=，解方程求出m的值，得到点P的坐
标为（﹣4，﹣4）；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（﹣10，﹣28）；②若m＞4，则MC=m﹣4．由==时，列出方程
=，解方程求出m的值均不合题意舍去；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（6，﹣4）．
解：（1）由A（0，2）知OA=2，
在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2，
∴OB===2，
∴B（﹣2，0）．
根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+n，
则，解得，
∴直线AC的函数解析式为y=﹣x+2；
（2）设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
∴y=﹣x2+x+2；
（3）∵点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上，
∴m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，
∴PM=m2﹣m﹣2．
∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，
∴==或==2．
①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．
当==时，=，
解得m1=﹣4，m2=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（﹣4，﹣4）；
当==2时，=2，
解得m1=﹣10，m2=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（﹣10，﹣28）；
②若m＞4，则MC=m﹣4．
当==时，=，
解得m1=4，m2=0，均不合题意舍去；
当==2时，=2，
解得m1=6，m2=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（6，﹣4）；
综上所述，所求点P的坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．
考点：二次函数综合题．
25．（1）13元或15元（2）14元，最大利润为720元
【解析】
解：（1）设每件商品提高x元，
则每件利润为（10+x-8）=（x+2）元，
每天销售量为（200-20x）件，
依题意，得：
（x+2）（200-20x）=700．
整理得：x2-8x+15=0．
解得：x1=3，x2=5．
∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；
答：把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元．
（2）设应将售价定为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，
根据题意得：
y=（x-8）（200-）
=-20x2+560x-3200， =-20（x2-28x ）-3200，
=-20（x2-28x+142）-3200+20×142 =-20（x-14）2+720，
∴x=14时，利润最大y=720．
答：应将售价提为14元时，才能使所赚利润最大，最大利润为720元．
26．解：⑴在Rt ∆DBC 中，
sin BD
DCB CD ∠=
， 66
6.5
12
sin sin 67.413BD CD DCB ∴=
===∠（m ）. ……………………………3分
DF AE F ABDF ⊥作于，则四边形为矩形， …………………………4分
8DF AB ∴==，6AF BD ==
，6EF AE AF ∴
=-=， ……………………5分
,10Rt EFD ED ∆==在中（m ）. ……………7分
10 6.516.5L ∴=+=（m ） ……………………………………8分
【解析】
略。