2020年高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(3)

2020年高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(3)
一、选择题
1．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4- 3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49
B ．91
C ．98
D ．182
4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
5．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10
B ．120
C ．130
D ．140
6．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．
3
4
B ．
56
C ．
78
D ．
23
7．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16 B ．－6
C ．-83
D ．6
8．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92
C ．5
D ．
52
9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
10．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
11．若0,0x y >>，且21
1x y
+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-
B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞
C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞
D ．(1,8)-
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，
3b c =，则c
a
的值为（ ）
A ．1
B ．
3 C ．
5 D ．
7 二、填空题
13．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令
1
1
4(1)n n n n n
b a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 14．已知数列{}n a 中，11a =，且
1113()n n
n N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *
=++∈，,求n a =.__________．
16．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 17．已知数列
的前项和
，则
_______．
18．若数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
=______. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}
n b 满足2
n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．
20．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1
ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ． 三、解答题
21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，
()2cos cos cos 0C a B b A c ++=.
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b =
=，，求()sin 2B C -的值.
22．在ABC V 中，3
B π
∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．
从①21
sin 7
A =
， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
23．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭.
(1)求A ；
(2)若△ABC 的面积S ＝
3c 2
，求sin C 的值． 24．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()
533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船
到达D 点需要多长时间？
25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求
12231
111
+++⋯+n n a a a a a a . 26．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.
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1．D 解析：D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =， ∴1
1
2n n a -=
， ∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
3．B
解析：B
∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴
13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】
设幂函数为()f x x α
=，将()4,2代入得1
42,2
α
α==
，所以()f x =所以
n a =1
n
a =
1n S =L 1=，由110n S ==解得
120n =，故选B. 【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．
所以25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为34
． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
设f（x）
12
21
x x
=+
-
，根据形式将其化为f（x）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
．利用基本不等
式求最值，可得当且仅当x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2，得到f（x）的最小值为f
（1
3
）
9
2
=，再由题中不等式恒成立可知m≤（
12
21
x x
+
-
）min，由此可得实数m的最大
值．【详解】
解：设f（x）
1
122
2
211
x x x x
=+=+
--
（0＜x＜1）
而1
2
2
1
x x
+=
-
[x+（1﹣x）]（
1
2
2
1
x x
+
-
）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0
∴
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+≥
-
()
1
12
2
1
x x
x x
-
⨯=
-
2，
当且仅当
()
1
12
21
1
x x
x x
-
==
-
，即x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2
∴f（x）
12
21
x x
=+
-
的最小值为f（
1
3
）
9
2
=
而不等式m
12
21
x x
≤+
-
当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（
12
21
x x
+
-
）min
因此，可得实数m 的最大值为92
故选：B ． 【点睛】
本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 将代数式
21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭
， 当且仅当
()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
12．D
解析：D 【解析】
分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.
详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，
即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，
所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6
=
．
又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.
即227a c =，所以7
c a =
. 故选：D ．
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要
用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
二、填空题
13．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：
200
201
【解析】 【分析】
首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】
解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．
则：()2
111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，
所以：1
1141
1(1)
(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭
， 所以：1001111
11335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12001201201=-
=， 故答案为：200
201
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
14．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：
128
【解析】 【分析】
由1113()n n
n N a a *
+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭
⎩通项公式，则10a 可求 【详解】
111
3()n n
n N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()1011
1313228
n n n a a =+-=-∴= 故答案为：1
28
【点睛】
本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题
15．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a == 所以11S a ≠ 所以 4,1
41,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。

16．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝
a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4
，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1
＝3
2
，公比为q＝
1
2
的等比数列，所以S n ＝
31
1
22
1
1
2
n
⎡⎤
⎛⎫
-
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
-
=3[1－(
1
2
)n]，S2n＝3[1－(
1
2
)2n]
代入18
17
<2n
n
S
S<
8
7
，可得
1
17
<(
1
2
)n<
1
7
，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.
17．2【解析】【分析】【详解】由Sn＝n2+n（n∈n*）当n＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n当n＝1时a1＝2×1＝2成立∵an＝2n
解析：2
【解析】
【分析】
【详解】
由S n＝n2+n（n∈n*），
当n＝1，a1＝S1＝1+1＝2，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n，
当n＝1时，a1＝2×1＝2，成立，
∵a n＝2n（n∈n*），
∴22，
∴2，
故答案为2．
18．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题
解析：55 18
.
【解析】
【分析】
利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】
Q数列{}n a通项公式是
1
2,12
3,3
n
n n
n
a
n
-
-
⎧≤≤
=⎨
≥
⎩
，前n项和为n S，
当3
n≥时，数列{}n a是等比数列，
3
31112731115531123118183182313
n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++
=+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-，
5531lim 55
18218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦=. 故答案为：55
18
. 【点睛】
本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.
19．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}
【解析】 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=
2
920n n a b n n =-+-Q 21
920
2n n n n b --+-∴=
()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N 5n ∴=或6
∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6
本题正确结果：{}5,6
本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.
20．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞
【解析】
试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且
1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是
(2,)+∞．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
三、解答题
21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ） 【解析】 【分析】
（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】
()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=
sin sin 0C C C +=，∴cos 2
C =-，∵0C π<<，∴34C π=
（Ⅱ）因为2a b =
=，34
C π
=
，由余弦定理得
2
2
2
2cos 242210
2c a b ab C ⎛⎫
=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，∴c =
由
sin sin sin c b B C B =⇒=
，因为B 为锐角，所以cos B =
4sin 225
B ==，22
3cos 2cos sin 5B B B =-=
()43sin 2sin 2cos cos 2sin 55B C B C B C ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 22．
选择①，h =
；选择②，2h =
；选择③，2
h = 【解析】 【分析】 （1
）选择①sin 7
A =
，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；
（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=
得5sin C C =，结合
22sin cos 1C C +=
得sin C =
sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合
2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】
（1
）选择①sin 7
A =
，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：
sin sin a b A B
=，
=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
221
2222
c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，
则BC
边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：
在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3
C C π
+
=，
整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，
由①②得sin 14
C =
，
则BC 边上的高sin h b C ===
. （3）选择③2a c -=，解答如下：
在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
3
B π
∠=
Q ，b =
227a c ac ∴+-=┄①，
又2a c -=┄②， 由①②解得1c =，
则BC 边上的高sin h c B =. 【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.
23．（1）56π；（2）14
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=
56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝4
c 2
得到b ＝
c ，
再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】
(1)因为asin B ＝－bsin
)3A π
+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3
A π
+（，
即sin A ＝－
12sin A －2cos A ，化简得tan A ＝－3
， 因为A∈(0，π)，所以A ＝56
π
.
(2)因为A ＝
56π，所以sin A ＝12，由S ＝4
c 2＝1
2bcsin A ＝14bc ，得b c ，
所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝sin c A a =
. 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 24．救援船到达D 点需要1小时． 【解析】 【分析】
【详解】
5(33)906030,45,105sin sin •sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin sin105sin 45?cos 60sin 60?cos 45AB DBA DAB ADB DB AB
DAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒
∆=
∠∠∠+︒+︒
∴=
==
∠︒︒︒+︒︒
解：由题意知海里，在中，由正弦定理得
海里
又
海里
中，由余弦定理得
,
海里，则需要的时间
答：救援船到达D 点需要1小时 25．（1）n a n =-；（2）1
n
n +. 【解析】 【分析】
(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式
表示出1
1
n n a a +，利用裂项相消法即可求解.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，
5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，
解得11a =-，1d =-， 所以()11=---=-n a n n . （2）由n a n =-，所以11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ， 所以
122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n a a a a a a n n 1111n
n n =-
=++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相
等．
26．（1）32n a n =-，2n
n b =，*
n N ∈；（2）()14328
3
n n +-+，*n N ∈.
【解析】 【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2
232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，
∴2n
n b =，
{}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，4
11411112176S b ==⨯=，
∴111328
1110
111762a d a a d +-=⎧⎪
⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21
221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②
①－②得：3521
2138626262
(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)
86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．。