2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A版

2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯
关 新人教A 版
1.sin 20°cos 20°cos 50°
＝( )
A ．2
B ．
22
C ． 2
D ．12
解析：选D ．sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°
sin 40°＝1
2
.
2．若sin α＝45，则sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝( ) A ．22
5
B ．－
22
5
C ．425
D ．－425
解析：选A ．sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos α·sin π4－22cos
α＝4
5
×
22＝225
. 3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝1
3
，则A 等于( )
A ．
π4
B ．
3π4
C ．
π3
D ．
π
6
解析：选A．tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝－
tan B＋tan C
1－tan Btan C
＝－
－2＋
1
3
1－（－2）×
1
3
＝1.故A＝
π
4
.
4.sin（180°＋2α）
1＋cos 2α
·
cos2α
cos（90°＋α）
等于( )
A．－sin αB．－cos αC．sin αD．cos α
解析：选D．原式＝
（－sin 2α）·cos2α
（1＋cos 2α）·（－sin α）
＝2sin α·cos α·cos2α
2cos2α·sin α
＝cos α.
5．(xx·浙江杭州调研)已知tan(α＋π
4
)＝
1
2
，且－
π
2
＜α＜0，则
2sin2α＋sin 2α
cos（α－π
4
）
＝( )
A．－25
5
B．－
35
10
C．－310
10
D．
25
5
解析：选A．由tan(α＋π
4
)＝
tan α＋1
1－tan α
＝
1
2
，得tan α＝－
1
3
.又－
π
2
＜α
＜0，所以sin α＝－
10 10
.
6．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝
________．
解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2＜cos α
2
，
∴α2为第三象限角，∴cos α
2
＜0.
∵tan α＝－43
，
∴cos α＝－35，∴cos α
2＝－
1＋cos α2＝－5
5
. 答案：－5
5
7．若sin x ＋cos x sin x －cos x
＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________．
解析：由
sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1
tan x －1
＝3，即tan x ＝2.
则tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2，
∴tan(y －2x )＝
tan （y －x ）－tan x 1＋tan （y －x ）tan x ＝－2－21－4＝43
.
答案：4
3
8.2cos 5°－sin 25°
sin 65°
的值为________．
解析：2cos 5°－sin 25°
sin 65°
＝
2co s 5°－sin（30°－5°）
sin 65°
＝2cos 5°－
1
2
cos 5°＋
3
2
sin 5°
cos 25°
＝
3
2
sin 5°＋
3
2
cos 5°
cos 25°
＝3（sin 30°sin 5°＋cos 30°cos 5°）
cos 25°
＝3cos 25°
cos 25°
＝ 3.
答案：3
9．已知tan α＝－1
3
，cos β＝
5
5
，α∈(
π
2
，π)，β∈(0，
π
2
)，求tan(α
＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝
5
5
，β∈(0，
π
2
)，
得sin β＝25
5
，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
－
1
3
＋2
1＋
2
3
＝1.
∵α∈(π
2
，π)，β∈(0，
π
2
)，
∴π
2
＜α＋β＜
3π
2
，∴α＋β＝
5π
4
.
10．求值：1＋cos 20°
2sin 20°
－sin 10°
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
tan 5°
－tan 5°.
解：原式＝
2cos210°
2×2sin 10°cos 10°
－sin 10°
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
cos 5°
sin 5°
－
sin 5°
cos 5°
＝
cos 10°
2sin 10°
－sin 10°·
cos25°－sin25°
sin 5°cos 5°
＝
cos 10°
2sin 10°
－sin 10°·
cos 10°
1
2
sin 10°
＝
cos 10°
2sin 10°
－2cos 10°＝
cos 10°－2sin 20°
2sin 10°
＝cos 10°－2sin（30°－10°）
2sin 10°
＝cos 10°－2
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2
cos 10°－
3
2
sin 10°
2sin 10°
＝
3sin 10°
2sin 10°
＝
3
2
.
[能力提升]
1．tan 70°·cos 10°(3t an 20°－1)等于( ) A．1 B．2
C．－1 D．－2
＝
sin 70°cos 70°·cos 10°(3·sin 20°
cos 20°－1)
＝
cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°
cos 20°
＝cos 10°·2sin（20°－30°）sin 20°＝－sin 20°
sin 20°＝－1.
2．定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a
b c
d ＝ad －b C ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝33
14，0
＜β＜α＜
π2
，则β等于( )
A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
解析：选D ．依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝33
14
，
又0＜β＜α＜
π2
，∴0＜α－β＜
π2
，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝
13
14
， 而cos α＝17，∴sin α＝43
7，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
437×1314－17×3314＝3
2
. 故β＝
π3
.
3．已知α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则
sin ⎝
⎛
⎭⎪
⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1
＝________．
解析：∵α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，
则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，即2sin α＝3cos α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝
2
13
， ∴sin ⎝
⎛
⎭⎪
⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1
＝2
2
（sin α＋cos α）（sin α＋cos α）2＋（－sin 2α＋cos 2α）
＝
268
. 答案：
268
4．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－1
2
，cos α－cos β＝
1
2
，则
tan(α－β)＝________．
解析：∵sin α－sin β＝－1
2
，cos α－cos β＝
1
2
，
两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1 2，
即2－2cos(α－β)＝1
2
，∴cos(α－β)＝
3
4
.
∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－1
2
＜0，∴0＜α＜β＜
π
2
.
∴－π
2
＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－
7 4 .
∴tan(α－β)＝sin（α－β）
cos（α－β）
＝－
7
3
.
答案：－
7 3
5．已知函数f(x)＝1－2sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x－
π
4
cos x
.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限角，且tan α＝－4
3
，求f(α)的值．
解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，
解得x ≠
π2
＋kπ，k ∈Z ，
即
f (x )的定义域为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋kπ，k ∈Z . (2)∵f (x )＝1－2sin ⎝
⎛
⎭⎪
⎫2x －π4cos x
＝1－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫22sin 2x －2
2cos 2x cos x
＝
1＋cos 2x －sin 2x
cos x
＝2cos 2x －2sin x cos x cos x
＝2(cos x －sin x )，
由tan α＝－43得sin α＝－4
3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，
∴cos 2
α＝9
25
.
∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－4
5
，
∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝
145
. 6．(选做题)已知0＜α＜
π2
＜β＜π，tan
α2＝1
2，cos(β－α)＝2
10
. (1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan
α2
＝12
， ∴tan α＝2tan
α2
1－tan 2 α2＝2×
12
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝4
3，
由⎩⎨⎧sin αcos α＝43，sin 2
α＋cos 2
α＝1，
解得sin α＝45(sin α＝－4
5
舍去)．
(2)由(1)知cos α＝1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫452＝3
5，
又0＜α＜
π2
＜β＜π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝
2
10
， ∴sin(β－α)＝1－cos 2
（β－α）＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2102＝7210，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝2
2
.
精品文档
实用文档 又β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.28397 6EED 滭35625 8B29 謩d 20529 5031 倱39921 9BF1 鯱j,39113 98C9 飉4634732 87AC 螬36796 8FBC 込uD。