甘肃省天水市一中11-12学年高二数学上学期第二学段考试题 理

天水市一中2010级2011——2012学年度第一学期数学选修2-1模块考试题
理 科
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确答案）
1．已知命题p :c b a ,,成等比数列，命题q ：2
b a
c =，那么p 是q 的条件 （ ）
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．既不充分也不必要
2．已知函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，
设)0(f a =，)2
1
(f b =，)3(f c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c << B ．a b c <<
D ．a c b <<
3．由直线21=
x ，2=x ，曲线x y 1
=及x 轴所围图形的面积为 （ ） A ．415 B ．4
17 C ．2ln 21 D ．2ln 2
4．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为1
(0,
)16
C ．开口向右，焦点为(1,0)
D ．开口向右，焦点为1
(0,)16
5．若方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
6．双曲线19
422-=-y x 的渐近线方程是（ ）
A ．x y 2
3
±=
B ．x y 3
2
±=
C ．x y 4
9
±=
D ．x y 9
4
±=
7．已知M （-2,0）,N （2,0）,|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线左支
C ．一条射线
D ．双曲线右支 8．已知向量)5,3,2(-=a
与向量),,4(y x b -=平行,则x,y 的值分别是（ ）
A ．6和-10
B ．–6和10
C ．–6和-10
D ．6和10
9．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A
=11，c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是 （ ）
A ．c b a ++-
2
1
21 B ．
c b a ++2
1
21 C ．
c b a +-2
1
21 D ．c b a +--
2
1
21 10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=1,
则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）
A ．
63 B ．552 C ．155 D ．
105
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）
11．曲线32y x x =-在1x =-处的切线方程为 ．
12．若14122
2
2
2=--+m y m x 表示双曲线方程，则该双曲线的离心率的最大值是 ． 13．命题“2,x x R x >∈∃+”的否定是 ．
14．已知向量(,12,1),(4,5,1),(,10,1)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= ． 三、解答题：（共4小题，共40分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题満分10分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，
并求出N 点到AB 和AP 的距离．
16．（本题满分10分）已知21,F F 是椭圆
120
452
2=+y x 的两个焦点，M 是椭圆上的第一象限内的点，且21MF MF ⊥．（1）求21F MF ∆的周长；（2）求点M 的坐标．
17．（本小题満分10分）若函数3
()4f x ax bx =-+，当x =2时，函数f （x ）有极值4
3
-
． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数f （x ）=k 有3个解，求实数k 的取值范围. 18．（本小题満分10分） 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。

（1） 求双曲线C 的方程；
（2） 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.
天水市一中2010级2011——2012学年度第一学期数学选修2-1模块考试题
理 科
参考答案
选择题 CBDBC ACAAD 填空题11. 20x y ++=．12.
2
33。

13. 2,x R x x +∀∈≤ .14.-2/3 15．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、
B （3，0，0）、
C （3，1，0）、
D （0，1，0）、
P （0，0，2）、E （0，2
1
，1），
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则
,14
7
3723
||||||cos ==⋅⋅=PB AC PB AC θ
∴AC 与PB 所成角的余弦值为
14
7
3．
（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,2
1
,(z x NE --=，由NE
⊥面PAC 可得， ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021
3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x
即N 点的坐标为)1,0,6
3
(
，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63． 16.解：椭圆
120
452
2=+y x 中，长半轴35a =，焦距22452010c =-= （1）根据椭圆定义，12265MF MF a +==
所以，21F MF ∆的周长为12126510F F MF MF ++=+ （2）设点M 坐标为00(,)x y 由21MF MF ⊥得，2
2
2
212
1210100MF MF F F +===
又2212()(65)180MF MF +== ∴22
221212121[()()]402MF MF MF MF MF MF =+-+= ∵12
MF F S ∆1212011
22
MF MF F F y == ∴04y =，则03x = ∴点M 坐标为(3,4)
17．解：（1）对函数)(x f 求导得：
()b ax x f -='2
3，
由题意： ()()⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-==-=',344282,0122b a f b a f
解得⎪⎩⎪⎨⎧
==.4,31b a
∴函数)(x f 的解析式为
()44313
+-=
x x x f ．
（2）由（1）可得：
()()()2242
+-=-='x x x x f ， 令
()0='x f ，得2=x 或2-=x ．
当x 变化时，
()x f '、()x f 的变化情况如下表：
x ()2,-∞-
2-
()2,2-
2
()+∞,2
()x f '
+
— 0
+
()x f
单调递增↗
328
单调递减↘
34-
单调递增↗
因此，当2-=x 时，()x f 有极大值328
．
当2=x 时，()x f 有极小值34-
．
∴函数()4431
3+-=x x x f 的图象大致如图：
因为方程k x f =)(的解的个数即为y =k 与y =()x f 的
交点个数．
所以实数k 的取值范围3283
4<
<-
k 18．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-= ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩
即.13
1
22
<≠
k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 22
9
,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k
-+=
=⋅>+>--由得 而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++
22
22
2937
(1)2.131331
k k k k k -+=++=--- 于是2222
37392,0,3131
k k k k +-+>>--即解此不等式得.331
2<<k ② 由①、②得 .1312<<k 故k 的取值范围为(1,-⋃。