武汉粮道街中学2017-2018学年度第一学期期中考试八年级数学试卷(解析版)

武汉粮道街中学2017-2018学年度第一学期期中考试
八年级数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.
【详解】A、C是中心对称图形，但不是轴对称图形；B是轴对称图形；D不是对称图形.
故选B.
【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义.
2. 下列图形中具有稳定性的是（）
A. 正方形
B. 长方形
C. 等腰三角形
D. 平行四边形【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性可得答案.
【详解】解：根据“三角形具有稳定性”可知等腰三角形有稳定性.
故C项符合题意.
故本题正确答案为C.
【点睛】本题主要考查三角形的基本性质:稳定性.
3. 下列长度的线段能组成三角形的是（）
A. 3、4、8
B. 5、6、11
C. 5、6、10
D. 3、5、10 【答案】C
【解析】
解：A、3+4＜8，故不能组成三角形，故A错误；
B、5+6=11，故不能组成三角形，故B错误；
C、5+6＞10，故能组成三角形，故C正确；
D、3+5＜10，故不能组成三角形，故D错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了三角形三边的关系，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】请在此输入详解！
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线．若∠ABD＝32°，则∠A＝（）
A. 32°
B. 52°
C. 64°
D. 72°
【答案】B
【解析】
解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABD=32°，∴∠ABC=2∠ABD=2×32°=64°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=∠C=64°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠C=180°﹣2×64°=52°．故选B．
点睛：本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
5. 如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 两处
C. 三处
D. 四处
【答案】D
【解析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等作图即可得到结果．
【详解】解：如图所示，可供选择的地址有4个，
故选：D
【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．6. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A. 250 m
B. 2503m
C. 5003
m D. 2502m
【答案】A 【解析】
解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=1
2
OA=250m．故选A．
7. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
A. BD=DC，AB=AC
B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D. ∠B=∠C，BD=DC
【答案】D
【解析】
两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：
【详解】分析：
∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
【答案】A
【解析】
解：∵点E正好在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC．∵点E为点B的对折后对应的点，∴∠B=∠AEB =2∠C．∵∠C+∠B=90°，∴∠C=30°．故选A．
点睛：本题考查的是图形对折后的性质及三角形的内角和为180°，折叠的图形与其对应的图形全等，即对应的边，对应的角都相等．
9. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）
A. △ACE≌△BCD
B. △BGC≌△AFC
C. △DCG≌△ECF
D. △ADB≌△CEA
【答案】D
【分析】
【详解】试题分析：
△ABC 和△CDE 是等边三角形
BC=AC ，CE=CD ，60BCA ACD ECD ACD ︒∠+∠=∠+∠=
60BCA ECD ︒∠=∠=即
在△BCD 和△ACE 中CD CE ACE BCD BC AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
△BCD ≌△ACE 故A 项成立；
在△BGC 和△AFC 中60ACB ACD AC BC CAE CBD ︒⎧∠=∠=⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
△BGC ≌△AFC B 项成立； △BCD ≌△ACE
，
在△DCG 和△ECF 中60ACD DCE CE CD CDB CEA ︒⎧∠=∠=⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
△DCG ≌△ECF C 项成立 D 项不成立. 考点：全等三角形的判定定理.
10. 如图，BAC ∠与CBE ∠的平分线相交于点P ，BE BC =，PB 与CE 交于点H ，//PG AD 交BC 于F ，交AB 于G ，下列结论：①GA GP =；②::PAC PAB S S AC AB ∆∆=；③ BP 垂直平分CE ；④FP FC =，其中正确的判断有（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ①③④
D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴FP=FC，
故①②③④都正确．
故选D．
【点睛】本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个底角为50︒，则它的顶角的度数为__________．
【答案】80︒
【解析】
分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
详解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
12. 如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC=PA，PD=PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为________ m，依据是________
【答案】(1). 25；(2). SAS
【解析】
分析】
【详解】在△APB和△DPC中，
PC=PA，∠APB=∠CPD，PD=PB，
∴△APB≌△CPD（SAS）；
∴AB=CD=25米（全等三角形的对应边相等）．
答：池塘两端的距离是25米．
故答案为25，SAS.
点睛：本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________
【答案】131°
【解析】
解：延长CD交AB于E．∵∠C=20°，∠BAC=90°，∴∠CEB=∠C+∠BAC=110°．∵∠B=21°，∴∠BDC=∠B+∠CEB=21°+110°= 131°．故答案为131°．
点睛：本题考查了三角形外角的性质，能灵活运用性质进行推理是解答此题的关键．注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n 的值为__________
【答案】－3
【解析】
【分析】
根据轴对称的点的坐标变化规律可得出答案
【详解】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，
∴b=1，a=﹣2．
∵点Q（b，2）与点M（m，n）关于y轴成轴对称，
∴m=﹣1，n=2，
则m﹣n=﹣1﹣2=﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了轴对称，明确关于x(y)轴对称的点的坐标的规律是解题关键.
15. 如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.
【答案】74°【解析】
【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线
的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=1
2
∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．
16. 平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________.
【答案】5
【解析】
解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0），∴AB=22
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即
（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故答案为5．
点睛：本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
【答案】九边形、27条
【解析】
试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n-2）×180°=1260°，然后解方程即可．
试题解析：解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1260°
解得：n=9，∴这个多边形为九边形，∴对角线的条数=(9−3)×9 ÷2 =27条．
答：这个多边形是九边形，有27条对角线．
18. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．【详解】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，
又AB＝DE，AC＝DF，
故△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
考点：全等三角形的判定与性质.
19. 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？如果能，求出其他两边的长；如果不能，说明理由
【答案】能，7.5 cm、7.5 cm
【解析】
【分析】
题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行讨论，注意利用三角形三边的关系进行检验．【详解】解：①当5cm为底时，腰长=7.5cm；
②当5cm为腰时，底边=10cm，因为5+5=10，故不能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图形中作出△ABC 关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（3）是否存在一点P到AC、AB的距离相等，同时到点A、点B的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点P的位置，并简要说明理由；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：（1）根据三点的坐标作出△ABC，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据已知条件知：点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点，据此作图即可．
试题解析：解：（1）如图，S△ABC=1
2
×5×3=7.5；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）；
（3）如图所示，点P即为所求．∵点P到AC、AB的距离相等，∴点P在∠CAB平分线上．∵到点A、点B的距离也相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
点睛：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点及角平分线和中垂线的性质是解答此题的关键．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E
(1) 求证：CD＝BE
(2) 若AD＝3.5 cm，DE＝2.7 cm，求BE的长
【答案】（1）见解析；(2) 0.8 cm
【解析】
试题分析：（1）根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题．
试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∵∠E ＝∠ADC ，∠EBC ＝∠DCA ，BC ＝AC ，∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴BE =DC ； （2）∵△CEB ≌△ADC ，∴BE =DC ，CE =AD =3.5．
∵DC =CE -DE ，DE =2.7cm ，∴DC =3.5-2.7=0.8cm ，∴BE =0.8cm ．
22. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F (1) 说明BE ＝CF 的理由
(2) 如果AB ＝a ，AC ＝b ，求AE 、BE 的长
【答案】（1）见解析；（2）AE ＝2a b
+，BE ＝2
a b - 【解析】
试题分析：（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE =DF ，再证明△DBE ≌△DCF 就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE ≌△ADF 就可以得出AE =AF ，进而就可以求出结论． 试题解析：解：（1）连接DB 、DC ．∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB =DC ．
∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∠AED =∠BED =∠ACD =∠DCF =90°．在Rt △DBE 和Rt △DCF 中，∵DB =DC ，DE =DF ，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE =CF ． （2）在Rt △ADE 和Rt △ADF
中，∵AD =AD ，DE =DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），∴AE =AF ．∵AC +CF =AF ，∴AE =AC +CF ． ∵AE =AB ﹣BE ，∴AC +CF =AB ﹣BE ． ∵AB =a ，AC =b ，∴b +BE =a ﹣BE ，∴BE =2a b -，∴AE =a ﹣2
a b -=2a b
+．
答：AE =
2
a b -，BE =2a b
+．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是__________，△AEF的周长是__________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
【答案】（1）5；BE+CF=EF；20；（2）2；BE+CF=EF，证明见解析；△AEF的周长=18；（3）BE-CF=EF，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得
∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得
BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
试题解析：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CD平分
∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠F DC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共
5个，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20．
故答案为5；BE+CF=EF；20；
（2）BE+CF=EF．∵BD平分∠ABC，CD平分
∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD．∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF．△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18．
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18．
（3）BE﹣CF=EF．由（1）知BE=ED．∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF．又
∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
(1) 如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标
(2) 如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
(3) 如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
【答案】（1）P(2，4)；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由见解析；（3）OD＝AE，理由见解析
【解析】
试题分析：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．线求出直线AB的解析式，利用面积构建方程求出PH即可解决问题；
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．连接OP．只要证明△PON≌△P AM即可解决问题；
（3）结论：OD=AE．如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出
OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△P AE≌△P AG即可解决问题；
试题解析：解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．
∵A（6，0），B（0，6），∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．∵1
2
•OA•PH=12，∴PH=4，当y=4时，
4=﹣x+6，∴x=2，∴P（2，4）．
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．证明如下：
如图2中，连接OP．
∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=P A，∴OP=PB=P A，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，∴∠OP A=90°．
∵AM=ON，OP=OP，∴△PON≌△P AM，∴PN=PM，∠OPN=∠APM，∴∠NPM=∠OP A=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（3）结论：OD=AE．理由如下：
如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO，∵OB=OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD=AG，∠BDO=∠G．∵∠BDO=∠PEA，∴∠G=∠AEP．∵∠P AE=∠P AG=45°，P A=P A，∴△P AE≌△P AG，∴AE=AG，∴OD=AE．
点睛：本题是三角形综合题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。