高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件

B1C 所成角的大小为( C ).
A.π
B.π
C.π
D.π
6
4
3
2
【解析】因为
A1B·B1C=(A1A+AB)·(B1C1+C1C)=A1A·B1C1+A1A·C1C+AB·C1C
+AB·B1C1=A1A2.设异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 θ ,则 cos
θ
= A1B·B1C =
|A1B||B1C| (
用向量法计算二面角
如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2,D为CC1的中点,求二面角A—A1D—B的余弦值.
【解析】如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.因为△ABC 是 正三角形,所以 AO⊥BC,因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平 面 ABC⊥平面 BCC1B1,所以 AO⊥平面 BCC1B1.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
所以AB1·BD=-2+2=0,AB1·BA1=-1+4-3=0,
所以AB1⊥BD,AB1⊥BA1,又 BD∩BA1=B,所以 AB1⊥平面 A1BD,
所以AB1是平面 A1BD 的一个法向量,
所以
cos<n,AB1
>= n·AB1
|n |·|A B 1
=- 3-
| 2·2
3=- 6,
24
所以二面角
BC=1,则 A(0,0, 3),B(0,-1,0),D( 3,0,0).
2
2
2
所以OA=(0,0, 3),BA=(0,1, 3),BD=( 3,1,0).
2
22
22
显然OA=(0,0, 3)为平面 BCD 的一个法向量.
2
设平面 ABD 的法向量 n=(x,y,z),则 n·BA = 0, n·BD = 0,
问题4 用向量法计算二面角的大小 二面角 α—l—β 的大小记为 θ,平面 α 的法向量 m 与平面 β 的法向量 n 所成的角记为<m,n>. (1)θ 与<m,n>的关系是 相等 或 互补 .
|m·n|
(2)计算公式:|cos θ|=|cos<m,n>|= |m|·|n| ,根据 θ 的 象限确定 cos θ 的符号.
问题2 用向量法求两异面直线所成的角
两异面直线所成的角记为 θ,他们的方向向量 a,b 所成的角记
为<a,b>.
(1)θ 与<a,b>的关系:若<a,b>∈(0,π],则 θ= <a,b> ;若
2
<a,b>∈(π,π),则 θ= π -<a,b> .
2
|a·b|
(2)计算公式:cos θ=|cos<a,b>|= |a|·|b| .
1 y + 3 z = 0,
所以 2
2
3 x + 1 y = 0,
2
2
取 x=1,则 y=- 3,z=1,
所以 n=(1,- 3,1),所以 cos<n,OA>= 5,
5
sin<n,OA>=2 5,即二面角 A—BD—C 的正弦值为2 5.
5
5
C
【解析】由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且 BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体,建立如图所示空间直 角坐标系.
取 B1C1 中点为 O1,以 O 为原点,OB,OO1,OA为 x,y,z 轴的正 方向建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0), A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0). 设平面 A1AD 的法向量为 n=(x,y,z),
AD=(-1,1,- 3),AA1=(0,2,0).
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
1 已知二面角α—l—β的大小为60°,且m⊥α,n⊥β,则 m、n的夹角为( D ). A.30° B.60° C.120° D.60°或120°
【解析】注意法向量的夹角可能与二面角的大小相等或
互补,不能错选B.利用法向量求二面角的大小时,要结合具 体题目选择相等或2的方向向量的夹角为150°,
A—A1D—B
的余弦值为-
6.
4
[问题]上述结果正确吗?
[结论]不正确,因为二面角 A—A1D—B 的平面角为锐角,故其余弦值应为 正值.
正确解答:求 cos<n,AB1>的步骤同上述解法.
∵二面角 A—A1D—B 的平面角为锐角,
∴二面角
A—A1D—B
的余弦值为
6.
4
C
2.在如图所示的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与
则l1与l2所成的角为( A ).
A.30°
B.150°
C.30°或150° D.以上均不对
3
60°
4 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方 形,高为1,求异面直线AD1和C1D所成角的余弦值.
用向量法计算异面直线所成的角
在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D,BD 的中
异面直线所成的角.
(2)直线与平面所成的角:平面的一条斜线与斜线在平面内的 摄影 所成的 锐角 叫作斜线与平面所成的角,特别地,如果直线 与平面平行或在平面内,直线与平面所成的角为 0 ,当直线与 平 (3面 )二垂面直角时:,从所一成条的直角线为出发π2 的两个 . 半平面 组成的图形叫作二面
角,以二面角棱上任意一点为端点,在两个平面内分别 垂直于棱 的两条射线所成的角叫作二面角的平面角,平面角是直 角的二面角叫作 直二面角 .
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
2019/7/9
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A1A 2 2|A 1 A
|)2
=1,所以
2
θ
=π.
3
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1
中,∠ACB=90°,AC=BC=1,CC1=2,则直线A1B与平面
BB1C1C所成角的正弦值为
.
4.已知正△ABC与正△BCD所在的平面垂直,求二面角A—BD—C 的正弦值.
【解析】取 BC 的中点 O,连接 AO,DO,建立如图所示的坐标系,设
点,G 为
在 CD
90。
上;E,F且与CGC=1G14C所D,成H角为的C1余G 的弦中值点为.则157E1F
与
B1C .
所成角
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知有 E(0,0,12)、F(12,12,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、G(0,34,0),C1(0,1,1). (1)∵EF=(12,12,-12),B1C
问题3 用向量法求直线与平面所成的角
直线 l 与平面 α 所成的角记为 θ,这条直线的方向量 a 与这个
平面的法向量 n 所成的角记为<a,n>.
(1)θ 与<a,n>的关系:若<a,n>∈[0,π],则 θ=
2
π -<a,n>
2
;若
<a,n>∈(π,π),则 θ=
<a,n>-π
2
2
. |a·n|
(2)计算公式:sin θ=|cos<a,n>|= |a|·|n| .
因为 n⊥AD,n⊥AA1,得
n·AD = 0, n·AA1 = 0,
得
-x + y2y = 0,
3z =
0,所以
y = 0, x = - 3z.
令 z=1,得 n=(- 3,0,1)为平面 A1AD 的一个法向量.
又因为AB1=(1,2,- 3),BD=(-2,1,0),BA1=(-1,2, 3),
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
=(-1,0,-1),∴EF·B1C=0,得 EF⊥B1C,即 EF 与 B1C 所成角为 90°.
(2)C1
G=(0,-1,-1),
4
∵|C1G|=
17,|EF|=
4
23,EF·C1
G=3,
8
3
∴cos
θ
=
8
17 4
×
=
3 2
51,即
17
EF
与
C1G
所成角的余弦值为
51.
17
向量法计算直线与平面所成的角
空间向量的数乘运算
1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的 概念. 2.会用向量方法求两条直线所成的角、线面角和二面角. 3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
回顾一下二面角的定义,两个半平面形成的二面角与这 两个半平面的法向量的夹角的关系.
问题1 空间角的分类和概念
(1)两异面直线所成的角:在空间内任取一点 O,过 O 分别作两异 面直线的 平行线 ,这两条平行线所成的 锐角 或 直角 叫作