高考数学一轮总复习 第13讲 函数模型及其应用课件 理 新人教A版
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第二十五页，共59页。
【解析】 (1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以2a＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该 商品所获得利润 f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2] ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)．
第二十七页，共59页。
【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建 立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．
第二十八页，共59页。
素材 (sùcái
)1 (1)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ (116)t－a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列 问题：
(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量 最大？最大车流量是多少？(精确到 0.1 百辆∕小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过 10 百辆∕小时，则汽 车的平均速度应在什么范围内？
第十九页，共59页。
【分析】(1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式，只 需解决函数取最值的条件及所取最大值，由数学问题的解 答，得实际结论；(2)由 y>10 解不等式，得实际结论．
第十三页，共59页。
4.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1000 件，根
据市场预测，销售价为每件 100 元时可全部售完，定价每提
高 1 元时，销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价
应定为每件( )
A．100 元
B．110 元
C．150 元
D．190 元
第十四页，共59页。
【解析】设定价 x 元，销售量为 1000－5(x－100)＝1500 －5x 件，其中 x≥100，利润为 y，则
第二十六页，共59页。
从而 f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)] ＝30(x－6)(x－4)． 所以当 x∈(3,4)时，f′(x)>0； 当 x∈(4,6)时，f′(x)<0， 所以 f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最大值， 且[f(x)]max＝f(4)＝42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
A. 3 cm2
B．2 3 cm2
C．3 3 cm2
D．4 3 cm2
第九页，共59页。
【解析】设长为 12 cm 的细铁丝截成 x cm 和 (12－x) cm 的两截，两正三角形面积之和为 S， 其中 0<x<12，则
S＝ 43·(3x)2＋ 43·(123－x)2 ＝ 83(x2－12x＋72) ＝ 183[(x－6)2＋36]． 所以，当 x＝6 时，S 取最小值，Smin＝2 3， 故面积之和的最小值为 2 3 cm2，选 B.
第二十二页，共59页。
【点评】已知函数模型的实际问题，关键是根据函数特点与实 际要求，解决相关数学问题，确定实际结论．
第二十三页，共59页。
【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
第十页，共59页。
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一 组数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的
规律，其中最接近的一个是( )
A．y＝2x－2 C．y＝log2x
B．y＝12(x2－1) D．y＝(12)x
第三十六页，共59页。
故当a＋4 b≤b，即 b<a≤3b 时，x＝a＋4 b，
Smax＝a＋8 b2.
当a＋4 b>b，即 a>3b 时，函数在(0，b]上递增，
则 x＝b 时，Smax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2.
答：若 b<a≤3b，则 x＝a＋4 b时，四边形 EFGH 面积最大
为a＋8b2，若 a>3b，则 x＝b 时，四边形 EFGH 面积最大为
第十六页，共59页。
【解析】L(Q)＝k(Q)－10Q－2000 ＝－210Q2＋30Q－2000 ＝－210(Q－300)2＋2500. 所以当 Q＝300 时，L(Q)max＝2500.
第十七页，共59页。
第十八页，共59页。
一 已知函数(hánshù)模型解决实际应用 问题
【例 1】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某 公路段汽车的流量 y(百辆∕小时)与汽车的平均速度 v(千米 ∕小时)之间的函数关系为：y＝v2＋39v2＋0v1600(v>0)．
y＝(x－80)(1500－5x) ＝－5x2＋1900x－120000 ＝－5(x2－380x)－120000 ＝－5(x－190)2＋60500. 所以当 x＝190 时，y 取最大值，故选 D.
第十五页，共59页。
5.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每 年生产单位产品成本增加 10 万元，又知总收入 k 是单位产 品数 Q 的函数，k(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大 值是 2500 万元，此时单位产品数 Q 为 300 .
第二十页，共59页。
【解析】(1)依题意得 y＝v＋196v2000＋3(v>0)， 又 t＝v＋16v00≥2 v·16v00＝80， 当且仅当 v＝16v00，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 所以 y 有最大值，为 ymax＝98230≈11.1(百辆∕小时)．
第二十一页，共59页。
(2)若要求 y>10，即v2＋39v2＋0v1600>10， 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
第十一页，共59页。
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
第十二页，共59页。
3.2006 年 6 月 30 日到银行存入 a 元，若年利率为 x，且按
复利计算，到 2012 年 6 月 30 日可取回本息共计( A )
A．a(1＋x)6 元
B．a(1＋x)7 元
C．a(1＋x6)
D．[a＋(1＋x)6]元
第三十页，共59页。
(2)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据
市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*)
的关系式为 y＝－x2＋12x－2数为( )
A．2
B．4
C．5
D．6
第三十一页，共59页。
【解析】 (1)①当 0≤t≤0.1 时，
第二十九页，共59页。
①从药物释放开始，每立方米空气中
的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函
数关系式为
10t
0≤t≤0.1
y＝116t－0.1 t>0.1
；
②据测定，当空气中每立方米的含药
量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进
教室，那从药物释放开始，至少需要经过
0.6 小时后，学生才能回到教室．
第三十四页，共59页。
【分析】要确定四边形 EFGH 的面积最 值，关键是建立该面积与 x 之间的函数关 系，四边形 EFGH 的面积为矩形 ABCD 面积减去 4 个三角形面积．
第三十五页，共59页。
【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S，由题意得 S△AEH＝S△CGF＝21x2，S△BEF＝S△DHG＝12(a－x)(b－x)， 其中 0<x≤b， 所以 S＝ab－2[21x2＋21(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2(x－a＋4 b)2＋a＋8b2 (0<x≤b)．
第三十三页，共59页。
二 根据实际关系(guān xì)建立函数模型解实 际问题
【例 3】如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝a，BC＝ b(a>b)，在边 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、 CF 都等于 x，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求 这个最大面积．
第五页，共59页。
①一次函数模型：f x kx b(k、b为常数，k 0)； ②反比例函数模型：f x k b(k、b为常数，k 0)；
x
③二次函数模型：f x ax2 bx c
(a、b、c为常数，a 0)，二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的；
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
第二十四页，共59页。
【分析】 (1)已知部分变量关系模型，可根据已知数据求参 数．(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系，根据函数 求最大利润及获得条件，注意利润＝销售收入－成本．
④指数型函数模型：f x kax b
(k、a、b为常数，k 0，a 0且a 1)；
第六页，共59页。
⑤对数型函数模型：f x mloga x n
(m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)；
⑥幂函数型模型：f x axn b
(a、b、n为常数，a 0，n 0)；
⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)，
函数图象是线段 y＝10t(0≤t≤0.1)；
当 t>0.1 时，函数图象是指数函数 y＝(116)t－a；
当 t＝0.1 时，由 1＝(116)0.1－a，得 a＝0.1.
10t
0≤t≤0.1
所以 y＝116t－0.1 t>0.1
.
第三十二页，共59页。
②由 y＝(116)t－0.1≤0.25，得 2t－0.2≥1，则 t≥0.6， 所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． (2)平均利润yx＝－x2＋1x2x－25 ＝12－(x＋2x5) ≤12－10＝2， 当且仅当 x＝2x5，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
ab－b2.
第三十七页，共59页。
【点评】根据实际意义合理建立函数模型，特别注意实际 问题，自变量取值对函数最值的影响．
第三十八页，共59页。
【例 4】 已知某企业原有员工 2000 人，每人每年可为企 业创利润 3.5 万元．为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分 流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗 人数不超过原有员工的 5%，并且每年给每位待岗员工发放 生活补贴 0.5 万元．据评估，当待岗员工人数不超过原有 员工 1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－18010x) 万元；当待岗员工人数超过原有员工 1%时，留岗员工每人 每年可为企业多创利润 0.9595 万元．为使企业年利润最大， 应安排多少员工待岗？
第一页，共59页。
第二页，共59页。
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
第三页，共59页。
第四页，共59页。
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
第七页，共59页。
第八页，共59页。
1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三
角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( )
【解析】 (1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以2a＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该 商品所获得利润 f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2] ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)．
第二十七页，共59页。
【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建 立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．
第二十八页，共59页。
素材 (sùcái
)1 (1)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ (116)t－a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列 问题：
(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量 最大？最大车流量是多少？(精确到 0.1 百辆∕小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过 10 百辆∕小时，则汽 车的平均速度应在什么范围内？
第十九页，共59页。
【分析】(1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式，只 需解决函数取最值的条件及所取最大值，由数学问题的解 答，得实际结论；(2)由 y>10 解不等式，得实际结论．
第十三页，共59页。
4.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1000 件，根
据市场预测，销售价为每件 100 元时可全部售完，定价每提
高 1 元时，销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价
应定为每件( )
A．100 元
B．110 元
C．150 元
D．190 元
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【解析】设定价 x 元，销售量为 1000－5(x－100)＝1500 －5x 件，其中 x≥100，利润为 y，则
第二十六页，共59页。
从而 f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)] ＝30(x－6)(x－4)． 所以当 x∈(3,4)时，f′(x)>0； 当 x∈(4,6)时，f′(x)<0， 所以 f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最大值， 且[f(x)]max＝f(4)＝42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
A. 3 cm2
B．2 3 cm2
C．3 3 cm2
D．4 3 cm2
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【解析】设长为 12 cm 的细铁丝截成 x cm 和 (12－x) cm 的两截，两正三角形面积之和为 S， 其中 0<x<12，则
S＝ 43·(3x)2＋ 43·(123－x)2 ＝ 83(x2－12x＋72) ＝ 183[(x－6)2＋36]． 所以，当 x＝6 时，S 取最小值，Smin＝2 3， 故面积之和的最小值为 2 3 cm2，选 B.
第二十二页，共59页。
【点评】已知函数模型的实际问题，关键是根据函数特点与实 际要求，解决相关数学问题，确定实际结论．
第二十三页，共59页。
【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
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2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一 组数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的
规律，其中最接近的一个是( )
A．y＝2x－2 C．y＝log2x
B．y＝12(x2－1) D．y＝(12)x
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故当a＋4 b≤b，即 b<a≤3b 时，x＝a＋4 b，
Smax＝a＋8 b2.
当a＋4 b>b，即 a>3b 时，函数在(0，b]上递增，
则 x＝b 时，Smax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2.
答：若 b<a≤3b，则 x＝a＋4 b时，四边形 EFGH 面积最大
为a＋8b2，若 a>3b，则 x＝b 时，四边形 EFGH 面积最大为
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【解析】L(Q)＝k(Q)－10Q－2000 ＝－210Q2＋30Q－2000 ＝－210(Q－300)2＋2500. 所以当 Q＝300 时，L(Q)max＝2500.
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一 已知函数(hánshù)模型解决实际应用 问题
【例 1】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某 公路段汽车的流量 y(百辆∕小时)与汽车的平均速度 v(千米 ∕小时)之间的函数关系为：y＝v2＋39v2＋0v1600(v>0)．
y＝(x－80)(1500－5x) ＝－5x2＋1900x－120000 ＝－5(x2－380x)－120000 ＝－5(x－190)2＋60500. 所以当 x＝190 时，y 取最大值，故选 D.
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5.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每 年生产单位产品成本增加 10 万元，又知总收入 k 是单位产 品数 Q 的函数，k(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大 值是 2500 万元，此时单位产品数 Q 为 300 .
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【解析】(1)依题意得 y＝v＋196v2000＋3(v>0)， 又 t＝v＋16v00≥2 v·16v00＝80， 当且仅当 v＝16v00，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 所以 y 有最大值，为 ymax＝98230≈11.1(百辆∕小时)．
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(2)若要求 y>10，即v2＋39v2＋0v1600>10， 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
第十一页，共59页。
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
第十二页，共59页。
3.2006 年 6 月 30 日到银行存入 a 元，若年利率为 x，且按
复利计算，到 2012 年 6 月 30 日可取回本息共计( A )
A．a(1＋x)6 元
B．a(1＋x)7 元
C．a(1＋x6)
D．[a＋(1＋x)6]元
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(2)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据
市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*)
的关系式为 y＝－x2＋12x－2数为( )
A．2
B．4
C．5
D．6
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【解析】 (1)①当 0≤t≤0.1 时，
第二十九页，共59页。
①从药物释放开始，每立方米空气中
的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函
数关系式为
10t
0≤t≤0.1
y＝116t－0.1 t>0.1
；
②据测定，当空气中每立方米的含药
量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进
教室，那从药物释放开始，至少需要经过
0.6 小时后，学生才能回到教室．
第三十四页，共59页。
【分析】要确定四边形 EFGH 的面积最 值，关键是建立该面积与 x 之间的函数关 系，四边形 EFGH 的面积为矩形 ABCD 面积减去 4 个三角形面积．
第三十五页，共59页。
【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S，由题意得 S△AEH＝S△CGF＝21x2，S△BEF＝S△DHG＝12(a－x)(b－x)， 其中 0<x≤b， 所以 S＝ab－2[21x2＋21(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2(x－a＋4 b)2＋a＋8b2 (0<x≤b)．
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二 根据实际关系(guān xì)建立函数模型解实 际问题
【例 3】如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝a，BC＝ b(a>b)，在边 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、 CF 都等于 x，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求 这个最大面积．
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①一次函数模型：f x kx b(k、b为常数，k 0)； ②反比例函数模型：f x k b(k、b为常数，k 0)；
x
③二次函数模型：f x ax2 bx c
(a、b、c为常数，a 0)，二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的；
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
第二十四页，共59页。
【分析】 (1)已知部分变量关系模型，可根据已知数据求参 数．(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系，根据函数 求最大利润及获得条件，注意利润＝销售收入－成本．
④指数型函数模型：f x kax b
(k、a、b为常数，k 0，a 0且a 1)；
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⑤对数型函数模型：f x mloga x n
(m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)；
⑥幂函数型模型：f x axn b
(a、b、n为常数，a 0，n 0)；
⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)，
函数图象是线段 y＝10t(0≤t≤0.1)；
当 t>0.1 时，函数图象是指数函数 y＝(116)t－a；
当 t＝0.1 时，由 1＝(116)0.1－a，得 a＝0.1.
10t
0≤t≤0.1
所以 y＝116t－0.1 t>0.1
.
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②由 y＝(116)t－0.1≤0.25，得 2t－0.2≥1，则 t≥0.6， 所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． (2)平均利润yx＝－x2＋1x2x－25 ＝12－(x＋2x5) ≤12－10＝2， 当且仅当 x＝2x5，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
ab－b2.
第三十七页，共59页。
【点评】根据实际意义合理建立函数模型，特别注意实际 问题，自变量取值对函数最值的影响．
第三十八页，共59页。
【例 4】 已知某企业原有员工 2000 人，每人每年可为企 业创利润 3.5 万元．为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分 流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗 人数不超过原有员工的 5%，并且每年给每位待岗员工发放 生活补贴 0.5 万元．据评估，当待岗员工人数不超过原有 员工 1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－18010x) 万元；当待岗员工人数超过原有员工 1%时，留岗员工每人 每年可为企业多创利润 0.9595 万元．为使企业年利润最大， 应安排多少员工待岗？
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了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
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函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
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1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三
角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( )