湖南省长沙市教育集团2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案

教育集团2023年下学期期末考试试卷
高一数学（答案在最后）
时量：120分钟
分值：150分
命题人：
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）
1.已知集合{20}A x
x =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）
A.{2,1,0,1,2}--
B.{22}x x -≤≤∣
C.{2,1,0}
-- D.{20}
x -≤≤【答案】C 【解析】
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为{20}A x
x =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，所以{}2,1,0A B =-- ，故选：C. 2.函数()2x f x x
=的
定义域为（
）
A.(]
,2-∞ B.(),2-∞C.
()(]
,00,2-∞⋃ D.
[)
2,+∞【答案】C 【解析】
【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.【详解】由题意得：20
x x -≥⎧⎨≠⎩得：2x ≤且0x ≠，()f x \定义域为()(],00,2-∞⋃.
故选：C.
3.将885- 化为)(
)360Z,0,360
k k αα⎡+⋅∈∈⎣
的形式是（
）
A .
()1652360
︒︒
-+-⨯ B.()1953360
︒︒
+-⨯C.()1952360
︒
︒
+-⨯ D.()1653360
︒
︒
+-⨯
【答案】B 【解析】
【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.
【详解】由600,3α︒︒
⎡⎤∈⎣⎦
知()88519533195108060︒︒-+-⨯=-= .故选：B.
4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若
,,a b c R ∈，则下列命题正确的是（
）
A.若0ab ≠且a b <，则11a b
> B.若01a <<，则3a a
<C.若0a b >>，则11b b
a a
+<+ D.若c b a <<且0ac <，则22
cb ab <【答案】B 【解析】【分析】
利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A 中，0a b <<有
11a b
<，错误；B 中，01a <<时，3a a <成立，正确；C 中，2,1a b ==时，
21
32
>，错误；D 中，由题设，当0b =时，220cb ab ==，错误；故选：B
5.函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54
，
13，1
2
中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）
A.5
4313，12
B.
354，13，1
2
C.1
2，13354
，
D.13，12，54
3【答案】C 【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 5113423
>>>.故选：C ．
6.若角α，β均为锐角，25
cos 5
α=
，3cos()5αβ+=，则sin β=（
）
A.255
B.
55
C.55
-
D.255
【答案】B 【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.【详解】角α，β均为锐角，即0αβ<+<π，而3cos()5αβ+=，则4sin()5αβ+=，又5
cos 5
α=，则5sin 5
α=
，所以，4535
sin sin[()]sin()cos cos()sin 5555
βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯
55=.故选：B
7.将函数()4cos 2f x x ⎛π=⎫
⎪⎝⎭
和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，…，A n ，若P 点坐标为（0，1），则12n PA PA PA +++=
（
）
A.
B.
C.
D.0
【答案】A 【解析】
【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++
PA PA PA PA PA PA 求解.
【详解】由题意作出图象如图，共得5个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知，
1A 和5A ，2A 和4A 关于3A 对称，()31,1PA =-
，
152432PA PA PA PA PA +=+= ，
∴12+++=
n PA PA PA 故选：A.
8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有
()()
211212
0x f x x f x x x ->-成
立，且()24f =，则不等式()2f x x
>的解集为（
）
A.
()
4,+∞ B.
()0,4 C.
()
0,2 D.
()
2,+∞【答案】D 【解析】
【分析】构造函数()()f x g x x
=
，由单调性的定义可判断得()g x 在()0,∞+上单调递增，再将题设不等式
转化为()()2g x g >，利用()g x 的单调性即可求解.【详解】令()()f x g x x
=
，
因为对()120,x x ∀∈+∞、，且12x x ≠，都有
()()
211212
0x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()121
2
f x f x x x <
，即()()12g x g x <，
所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()24f =，所以()()2222
f g =
=，故
()2f x x
>可化为()()2g x g >，
所以由()g x 的单调性可得2x >，即不等式()2f x x
>的解集为()2,+∞.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.若－1＜x ＜4是－3＜x ＜a 的充分不必要条件，则实数a 的值可能是（）A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】BCD 【解析】
【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x ＜4是－3＜x ＜a 的充分不必要条件，∴{x |－1＜x ＜4}
{x |－3＜x ＜a }，∴a ≥4，
∴实数a 的值可以是4，5，6．故选：BCD ．
10.若0x >，0y >，0n ≠，R m ∈，则下列各式中，恒等的是（）
A.()
lg lg lg x y x y +=+ B.lg
lg lg x
x y y
=-
C.log log m
n
x x m
y y
n
= D.1lg lg n
x x n
=
【答案】BD 【解析】
【分析】根据对数的运算法则、换底公式逐一判断得解.【详解】因为0x >，0y >，0n ≠，m ∈R ，对于A ，lg lg lg()x y xy +=，A 错误；对于B ，lg
lg lg x
x y y
=-，B 正确；对于C ，当1,0x m ≠≠时，lg lg log log lg lg m
n n
x m x y n y n y y x m x m
===，C 错误；
对于D ，1lg lg n
x
x n
=，D 正确.故选：BD
11.下列说法正确的是（）
A.向量AB 与CD
共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件
B.若//a b ，则存在唯一实数λ使得b a
λ=
C.已知()()=1,3,1,1= a b ，则a 与a b l + 的夹角为锐角的充要条件是()
5,00,2λ⎛⎫
∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭
D.在△ABC 中，D 为BC 的中点，若AB AC AD AB AC
λ+=
，则BD 是BA 在BC 上的投影向量
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量可得AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线可判断 D.
【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线⇒向量AB 与CD
共线，反之不成立，所以A 正确；
对于B 选项：当0a = ，0b ≠时，不存在实数λ使得b a λ= ，当0a = ，0b =
时，存在无数个实数λ使得b a =
，故B 错误；
对于C 选项：因为()1,3a = ，()1,1b =r ，所以()1,3a b λλλ+=++ ，则a 与a b l +
的夹角为锐角的充要条件是()
·0a a b λ+>
且a 与a b l + 不同向共线，
即()(
)1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>
1≠，
解得()5,00,2λ⎛⎫∈-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
，则实数λ的取值范围是()5,00,2⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D 选项：由平面向量加法可知：AB AC
AB AC
+ 为“与BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量”因为AB AC AD AB AC
λ+=
，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，所以BD
是BA 在BC
的投影向量，故选项D 正确.故选：ACD.
12.函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移
π
12
个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（
）
A.函数()g x 的最大值为3
B.函数()g x 关于点π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
对称C.函数()g x 在π0,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减 D.函数()g x 的最小正周期为π
【答案】AD 【解析】
【分析】根据给定的函数图象求出函数()f x ，进而求出()g x ，再借助余弦函数的图象和性质，逐项判断即可.
【详解】观察图象知，3A =，函数()f x 的周期T 有，35ππ3π
()41234
T =--=，即πT =，则2ω=，
显然5(
312
f π=，则5ππ
22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，即π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，
因此π
()3sin(2)3
f x x =-，πππ
()3sin[2(]3sin(2)3cos21232
g x x x x =--=-=-，函数()g x 的最大值为3，A 正确；
ππ
(
3cos 0126
g =-≠，B 错误；π(0,)2x ∈，()20,πx ∈，函数()g x 在π
(0,2
上单调递增，C 错误；
函数()g x 的最小正周期为2π
π2=，D 正确.故选：AD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分
13.命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”否定是_________.【答案】[0,π]x ∃∈，sin 0x <.【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定写出结论即得.
【详解】命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”否定是：[0,π]x ∃∈，sin 0x <.故答案为：[0,π]x ∃∈，sin 0x <.
14.若()2,1
,1x x f x a x x
-+<⎧⎪
=⎨≥⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为___________.
【答案】(]0,1.【解析】
【分析】分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a 的取值范围.
【详解】由题意得：0
12a a >⎧⎨-+≥⎩
，解得：01a <≤，
故实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：(]0,1.
15.把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移4
π个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.【答案】sin 2y x =-【解析】【分析】
利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】将函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，可得cos 2y x =的图象，再向左平移4π
个单位，所得图象的解析式为cos 24y x π⎡⎤⎛
⎫=+
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，即cos 2sin 22y x x π⎛⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭
.故答案为：sin 2y x =-16.若2
sin cos 5
αα=-，则tan α=__________.【答案】2-或12
-【解析】
【分析】利用齐次式法列式，求解方程即得.【详解】由2
sin cos 5αα=-
，得22sin cos 2sin cos 5αααα=-+，即2tan 2tan 15
αα=-+，整理得
22tan 5tan 20αα++=，
所以tan 2α=-或1
tan 2
α=-.
故答案为：2-或12
-
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知集合{}1,2,3A =，{}
10B x ax =-≥.（1）当2a =时，求A B ⋂与A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{1,2,3}A B ⋂=，1
{|}2
A B x x =≥ ；
（2）1a ≥.【解析】
【分析】（1）把2a =代入求出集合B ，再利用交集、并集的定义求解即得.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】
当2a =时，1
{|210}{|}2B x x x x =-≥=≥，而{}1,2,3A =，
所以{1,2,3}A B ⋂=，1
{|}2
A B x x =≥ .
【小问2详解】
由A B A = ，得A B ⊆，则10210310a a a -≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
，解得1a ≥，
所以实数a 的取值范围是1a ≥.
18.已知函数()sin cos (R)f x x x x =-∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2
）求函数2
()1,0,
2y f x x x π⎡⎤
=+-∈⎢⎥⎣⎦
的最大值与最小值．【答案】（1）π3π
2π2π4
4k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈（2
，最小值-2，【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式化简()f x ，利用整体换元法即可求解增区间，（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.【小问1详解】
由于π()sin cos sin 4f x x x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
,故πππ2π2π242k x k -+≤-≤+，解得π3π2π2π44
k x k -+≤≤
+，Z k ∈,故函数()f x 的单调递增区间为π3π
2π2π4
4k k 轾-++犏
犏臌，，Z k ∈【小问2
详解】
22ππ()212sin 22cos 22sin 242y f x x x x x x x x
⎛⎫⎛
⎫=-=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
π2cos 2,6x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当π5π2π,612x x +==时，取最小值-2，当ππ2,0
66x x +
==19.已知函数()211x b f x x +-=+（[]1,1x ∈-）是奇函数,()()221g x x a x =+-+是偶函数.（1）求a b +;
（2）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性并说明理由;
（3）若函数()f x 满足不等式(
)()120f t f t -+<,求出t 的范围.【答案】（1）3;
（2）单调递增,理由见解析;（3）10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
【解析】
【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出a b +即可;
(2)先判断()f x 单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;(3)根据()f x 的奇偶性,将不等式化为(
)()12f t f t -<-,再根据()f x 的单调性及定义域写出范围解出即可.
【小问1详解】
解:由题知()211
x b f x x +-=+（[]1,1x ∈-）是奇函数,()100,11
b f b -∴==∴=,()()221g x x a x =+-+ 是偶函数,
()()11g g ∴=-,
2222a a ∴+-=-+,
2a ∴=,
故3a b +=;
【小问2详解】
()f x 在[]1,1-上的单调递增,理由如下:
由(1)知()21
x f x x =+,
任取[]1212,,1,1x x x x <∈-,
()()1212221211
x x f x f x x x -=-++()()()()
22122122121111x x x x x x +-+=++()()
22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()12122212111x x x x x x --=++,
[]1212,1,1,10x x x x ∈-∴-> ,
12120x x x x <∴-< ,
()()120,
f x f x ∴-<()()12,
f x f x <∴故()f x 在[]1,1-上的单调递增;
【小问3详解】
由(1)(2)知()21
x f x x =+是奇函数且在[]1,1-上的单调递增,()()120,
f t f t -+<()()()()12,12f t f t f t f t \-<-\-<-,
11112112t t t t -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩,103
t ∴≤<,故10,3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
.
20.某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元），当年产量不足80台时，()21402
C x x x =+，当年产量不小于80台时，()101C x x =+81002180x -，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全
部售完.
（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.
【答案】20.2160500,080,N 281001680,80,N x x x x y x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎪--≥∈⎪⎩
；21.90台，1500万元.
【解析】
【分析】（1）考虑080x ≤<和80x ≥两种情况，根据()100500y x C x =--计算得到答案.
（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.
【小问1详解】
当080x ≤<，N x ∈时，
()2211100500100405006050022y x C x x x x x x =--=-
--=-+-；当80x ≥，N x ∈时，()8100810010050010010121805001680y x C x x x x x x =--=--+-=--，所以年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式是2160500,080,N 281001680,80,N x x x x y x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎪--≥∈⎪⎩
.【小问2详解】
当080x ≤<，N x ∈时，()22116050060130022
y x x x =-+-=--+，当60x =时，y 最大值为1300；当80x ≥，N x ∈
时，8100168016801500y x x =--
≤-=，当且仅当8100x x
=，即90x =时取等号，而15001300>，所以当90x =时，y 有最大值为1500.
21.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦
.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；
（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）m =
（2）
764
m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．
（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭
，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝
⎭ ，
∴a b +=
==∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m t =
，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32
m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2
min 12
m y =-=-
∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32
m =舍，
综上，m =.
（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049
m x m x -+=，
∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
上共有四个不同的实根，
∴3127
41273477m m m m ≤<≤<≠
∴727637{840
m m m ≤<≤<≠
∴764m ≤<.22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；
（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；
（2）由（1）可得()
2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.
（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，
令()
2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，
设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，
等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720
h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.
（3）因为0m >且1m m
>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，
所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝
⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，
只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，
设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，
又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，
所以m 的取值范围是()1,2.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。