最新高考数学考点总复习2.5 指数与指数函数

下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻
折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一
条直线.如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线
y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.
由图象可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.
综上,a
1
的取值范围是(0, ).
2
指数函数的性质及其应用(多考向探究)
考点3
考向1 指数函数单调性的应用
【例4】 (1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则(
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>c>a
(2)若
1
1 x
x0 是方程( ) = 3 的解,则 x0 属于区间(
选B.
(2)∵(m -m)·
4 -2 <0 在区间(-∞,-1]上恒成立,∴m
2
x
x
1
立.∵y=2 在(-∞,-1]上单调递减,∴当
-1<m<2,故选 D.
1
-m<2 在区间(-∞,-1]上恒成
2
1
x∈(-∞,-1]时,y=2 ≥2,∴m2-m<2,解得
考向2 解简单的指数方程或指数不等式
【例 5】
故b的取值范围是[-1,1].
变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的
取值范围是
.
答案 (0,+∞)
解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m的取值范围
是(0,+∞).
变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,
1
1
1
1 x
1
1 3 1 3
f(x)=( ) - 3 ,f(0)=1>0,f( )=( ) -( ) ,由幂函数
1
1
f( )=( )
3
2
1
1
f(2)=(2)
2
1
3
1
2
1
-( )
3
1
-(2)
3
1
3
1
3
1
1
>0;f( )=( )
2
2
1
2
1
-( )
2
2
1
3
3
,由指数函数
1
1
<0.所以3<x0<2.故选
C.

② =
, ≥ 0,
|| =
为偶数.
-, < 0,
2.实数指数幂
(1)分数指数幂的表示


①正数的正分数指数幂的意义是 =
②正数的负分数指数幂的意义是
③0的正分数指数幂等于
0
-


=

(a>0,m,n∈N*,n>1).
1


=

1

*
(a>0,m,n∈N
,n>1).

象在y轴上的截距小于1,则a-b<1,即-b>0,所以
b<0.故选D.
(3)①当0<a<1时,y=|ax-1|的图象如下图,
因为y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点,
1
所以0<2a<1.所以0<a< 2 .
②当a>1时,y=|ax-1|的图象如下图,
而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点.
,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras= ar+s
(a>0,r,s∈Q).
②(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q).
③(ab)r= arbr
(a>0,b>0,r∈Q).
(3)无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个 确定
幂的运算性质 同样适用 于实数指数幂.
为(
)
e -e -
f(x)= 2 ,则f(x)的图象大致
答案 A
解析 函数的定义域为{x|x≠0},故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则
函数为奇函数,故排除C,D,故选A.
解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键
1
点:(1,a),(0,1),(-1,
(5)若am>an,则m>n.( × )
( × )
)
2.(2020
1 m 1 n
山东实验中学月考,3)已知( ) <( ) <1,则有(
2
2
A.m>n>0
B.0>m>n
C.n>m>0
D.0>n>m
)
答案 A
解析 因为指数函数
m>n>0,故选 A.
1 x
y=( ) 在
2
R
1 m 1 n
1 0
上单调递减,所以由( ) <( ) <1=( ) ,得
2
2
A.( ,1)
3
1 2
B.( , )
2 3
1 1
C.(3 , 2)
1
D.(0,3)
)
)
答案 (1)B
(2)C
解析 (1)因为 y=0.3x 是减函数,所以 0.30.3>0.30.4,即 c<b<1,而
0.4 0.3 4 0.3
=(
)
=(
)
>1,即
0.3
3
(2)设
a>b,则a>b>c,故选 B.
1
y= 3 单调递增,得
1 x
y=( ) 单调递减,得
2
解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不
同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个
指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比
较.
对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(
的实数.整数指数
3.指数函数的图象和性质
函
数
图
象
图象特征
y=ax(a>0,且a≠1)
0<a<1
在x轴 上方
a>1
,过定点 (0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降
当x逐渐增大时,图象逐渐上升
函
数
y=ax(a>0,且a≠1)
0<a<1
定义域
R
值域
(0,+∞)
性 单调性
在R上 单调递减
质 函数
当x=0时, y=1
形结合求解.
对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象
必定不经过(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,
则下列结论正确的是(
A.a>1,b<0
)
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
(3)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值
范围是
.
答案 (1)A (2)D
1
(3)(0, )
2
解析 (1)因为0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的大致图象如图.由图象可
知,y=ax+b的图象必定不经过第一象限.故选A.
(2)由图象知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图
2
1 -3
(1)不等式(2)
<2-2x 的解集是
(2)设函数 f(x)=
A.(-∞,-3)
C.(-3,1)
1
(2) -7,
.
< 0,
若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是(
, ≥ 0,
B.(1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
)
答案 (1){x|x>3,或x<-1}
解析
(2)C
考向2 指数函数图象的应用
【例3】 (1)若函数y=|3x-1|的图象与直线y=m有两个不同交点,则实数m的
取值范围是
.
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是
.
答案 (1)(0,1) (2)[-1,1]
解析 (1)如图,函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向
则实数m的取值范围是
.
答案(-∞,-1]
解析 作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.
由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1].
解题心得1.对于有关指数型函数图象的应用问题,一般是从最基本的指数
函数的图象入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小
关系不确定时应注意分类讨论.
2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数
2
2
2
3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=( 1 )x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集
为(
2
)
A.(-4,1) B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(0,4)
答案 B
解析 因为函数
1 x
f(x)=( ) 在
2
R 上单调递减,所以由不等式 f(a2-4)>f(3a),得
a2-4<3a,解得-1<a<4,故选 B.
1
4 4
=[24·
(-x)8·
(-y) ]
4×
=2
1
4
·(-x)
8×
1
4
·(-y)
4×
1
4
=2(-x)2(-y)=-2x2y.
3 3 3
2×4 2 2 2
3 3
10 2 2
(2)原式=
8
= .
5
解题心得 指数幂运算的一般原则:
(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
3
)
2 -3

1
-2x
<2
2
5.不等式
的解集是
.
答案 {x|x>3或x<-1}
解析 ∵
∵y=
2 -3

1
2
1
2
<2-2x,∴
2 -3

1
2
在 R 上单调递减,
∴x2-3>2x,解得 x>3 或 x<-1,
故答案为{x|x>3 或 x<-1}.
<
1 2
2
.
关键能力 学案突破
指数幂的化简与求值
1
+(500)
1
2
-
3 1
1
1 1
+ -1+ 1+ -2-1
2
6
3
3
3


=ab = .
−
167
5-20+1=- 9 .

10
8
+1=(-27)
5-2
2
3
1
+5002 -10(
5+2)+1
指数函数的图象及其应用(多考向探究)
考点2
考向1 指数函数型图象的判别
【例2】 (2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数
值变
当x<0时, y>1
化规律
当x>0时, 0<y<1
a>1
在R上 单调递增
;
当x<0时,0<y<1
当x>0时, y>1
;
常用结论
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过三个定点:(1,a),(0,1), −1,
1

.
2.指数函数y=ax与y=bx的图象特征,在第一象限内,图象越高,底数越大;在第
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成
假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算
性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
对点训练1化简下列各式:
3
(1)
3 2 ab 2
1 1
).
2.已知函数解析式判断其图象一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合
一些特殊点,判断所给的图象是否符合,若不符合则排除.
对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(
)
答案 A
解析 由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|≥1,则
f(x)≤0,故排除C,故选A.
考点1
4
【例1】(1)化简 16x 8 y 4 (x<0,y<0)的化简结果为(
A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y
1
(2)
1 -2
4
·
( 4 -1 )3
-1
(0.1)
1
3
-3
·( · )2
=
(a>0,b>0).
)
8
答案 (1)D (2)
5
1
8 4 4
4
解析(1) 16x 8 y 4 =(16x y )
2
2 -3

A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
(2)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是
(
)
A.(-2,1) B.(-4,3)
C.(-3,4) D.(-1,2)
)
答案 (1)B
(2)D
解析 (1)因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20=1,所以a<c<b.故
2022
第二章
高考总复习
2.5 指数与指数函数
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.根式
(1)根式的概念
xn=a⇒
=

a(为奇数,且∈N* ),

= ± (为偶数,且∈N* ).
(2)根式的性质

①( )n=a(n∈N*).
,为奇数,
1 1