江西省遂川中高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

江西省遂川中2015届高三上学期第一次月考数学（文）试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

)
1.设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，d }，N ＝{a ，c ，e }，则N ∩(∁U M )＝( )
A.{c ，e }
B.{a ，c }
C.{d ，e }
D.{a ，e }
2．设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知函数f (x )＝13x 3－12
x 2＋cx ＋d 有极值，则实数c 的取值范围为( ) A.c <14 B.c ≤14 C.c ≥14 D.c >14
4.若，则=( )
A. B. C. D.
5. 若f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈[0，5π6
]，则导数 (－1)的取值范围是( ) A.[3，6] B.[3，4＋3] C.[4－3，6] D.[4－3，4＋3]
6.若sin α＋cos α＝713
(0<α<π)，则tan α＝( ) A.－13 B.125 C.－125 D.13
7. 在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )
A.等边三角形
B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C.(0，2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像如图X1所示，则f (x )
的解析式及S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值分别为( )
图X1
A.f (x )＝12sin 2πx ＋1，S ＝2013
B.f (x )＝12sin 2πx ＋1，S ＝201312
C.f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2014
D.f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝201412 10.若函数满足，且时，，函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0(1)0(1)(x x
x gx x g ，则函数在区间内的零点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案直接填入相应题号的横线上)
11.已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为__________.
12.设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则f (－1)＝__________.
13.如图X2所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负
半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点.若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为__________.
14.若命题“∃x 0∈R ，x 20
＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是__________.
15.设函数f (x )＝＋1(∈Q )的定义域为[－b ，－a ]∪[a ，b ]，其中0＜a ＜b ，且f (x )在区间[a ，b ]上的最大值为6，最小值为3，则f (x )在区间[－b ，－a ]上的最大值与最小值的和是__________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题12分)已知函数)1ln()1ln()(x x x f --+=
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性；
(3)求使的x 的取值范围。

17.(本小题12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4时，求f (x )的值域.
18.(本小题12分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且
tan A ＋tan B ＝2sin C cos A
. (1)求角B 的大小；
(2)若a c ＋c a
＝3，求sin A sin C 的值.
19.(本小题12分) 已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，
且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x －12x ＋1
. (1)求f (x )在区间[－1，1]上的解析式；
(2)若存在x ∈(0，1)，满足f (x )>m ，求实数m 的取值范围.
20.(本小题13分)已知函数e dx cx bx ax x f ++++=2
34)(的图像关于y 轴对称，其图像过点，且在处有极大值。

(1)求的解析式；
(2)对任意的，不等式恒成立，求t 的取值范围。

21.(本小题14分)已知函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋bx . (1)若函数f (x )在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点，当a 2－b 取最大值时，求函数f (x )
的解析式.
(2)若a ＝－1，在曲线y ＝f (x )上是否存在唯一的点P ，使曲线在点P 处的切线l 与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
一、选择题 ABACA CDBDC
二、填空题 11. －1
12.－2. 13.－2425
. 14.2≤m ≤6. 15.－5或9 三、解答题 16.(12分)(1) (2)奇函数 (3)且
17.(12分)(1)易知f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋1－cos(2x ＋π)＝32cos 2x ＋32
sin 2x ＋1＝3sin2x ＋π3
＋1，所以f (x )的最小正周期T ＝π. 由2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴方程为x ＝k π2＋π12
，k ∈Z . (2)因为－π3≤x ≤π4，所以－π3≤2x ＋π3≤5π6
，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，3＋1. 18.(12分)(1)易知tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin （A ＋B ）cos A cos B ＝sin C cos A cos B
.∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin C cos A
， ∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3
. (2)∵a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac ，且a c ＋c a
＝3， ∴b 2＋2ac cos B ac ＝3，即b 2＋2ac cos π3ac ＝3，∴b 2
ac
＝2. 又b 2ac ＝sin 2B sin A sin C ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C ，∴sin A sin C ＝38
. 19.(12分)(1)当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1).由f (x )为R 上的奇函数，
得f (－x )＝－f (x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 2x ＋1，∴f (x )＝2x －12x ＋1
，x ∈(－1，0). 又由f (x )为奇函数，得f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，且f (－1)＝f (1)，
∴f (－1)＝0，f (1)＝0，
故f (x )在区间[－1，1]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ＋1，x ∈（－1，1），0，x ＝±
1. (2)∵x ∈(0，1)，
∴f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1
. 又∵2x ∈(1，2)，∴1－22x ＋1
∈(0，13).若存在x ∈(0，1)，满足f (x )>m ，则m <13， 故实数m 的取值范围为(－∞，13
).
20.(13分)解：关于y 轴对称，为偶函数，即
e dx ax bx ax e x d x c x b x a ++++=+-+-+-+-∴234234)()()()(
得，图像过A(0，－1)得1)(2
4-+=∴cx ax x f 又处有极大值且，解得， 132)(24-+-=∴x x x f (2) 1
6)1(7)1(211322222224+-+++-=+-+-≥x x x x x x t
]16)1(2[722++
+-=x x 347]1
6)1(2[722-≤+++-x x 当且仅当 即的取等号的取值范围为
21.(14分)(1)因为函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋bx 在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点，所以x 2＋2ax ＋b ＝0在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个实数根.
设两个实根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝b ，所以x 2－x 1＝2 a 2－b ，且0<x 2－x 1≤4，所以0<2 a 2－b ≤4，即0<a 2－b ≤4，
当x 1＝－1，x 2＝3，即a ＝－1，b ＝－3时，等号成立，此时a 2－b 取最大值4.
故函数的解析式为f (x )＝13
x 3－x 2－3x . (2)假设存在点P (x 0，y 0)符合条件.
由f ′(x )＝x 2－2x ＋b ，得f (x )在点P 处的切线l 的方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，即y ＝(x 20－2x 0＋b )x －23x 30＋x 20
. 令g (x )＝f (x )－(x 20－2x 0＋b )x －23x 30＋x 20＝13x 3－x 2－(x 20－2x 0)x ＋23
x 30－x 20，则g (x 0)＝0. 由题设知，g (x )＝f (x )－(x 20－2x 0＋b )x －23
x 30＋x 20有唯一的零点x 0，且在x ＝x 0两边附近的函数值异号，所以x ＝x 0一定不是g (x )的极值点.
易知g ′(x )＝x 2－2x －x 20＋2x 0＝(x －x 0)(x ＋x 0－2).
若x 0≠2－x 0，则易知x ＝x 0和x ＝2－x 0都是g (x )的极值点，不合题意；
若x 0＝2－x 0，即x 0＝1，则g ′(x )＝(x －1)2≥0，
此时函数g (x )＝13x 3－x 2－(x 20－2x 0)x ＋23x 30－x 20＝13x 3－x 2＋x －13＝13
(x －1)3，其在R 上单调递增. 当x >1时，g (x )>0；当x <1时，g (x )<0.故函数g (x )有唯一的零点x 0＝1，且在x 0＝1两边附近的函数值异号.故在曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P (1，f (1))，使曲线y ＝f (x )在点P 处的切线l 与曲线y ＝f (x )只有一个公共点.。