【中考宝典】2014年中考数学真题分类汇编：七、图形与变换

第七单元图形与变换
一、尺规作图、视图与投影
（一）尺规作图
1. （2014湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，
大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接
BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（ B ）
A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④
解析:根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，故选B．
2.（2014河北）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ D ）
A．B．C．D．
解析:D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC,故选D．
3.（2014绍兴）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35°=或b≥a．
解析:如图所示：
若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥BC时，即sin35°=②b≥a．
4.（2014梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于1
2
AC长为半径画弧，两弧相交
于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：（1）∠ADE=90°；
（2）AE = EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长= 7 ．
解析：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE=90°．
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC．
（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
=，
∴4
∵AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=714.(2014天津)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
5.（2014无锡）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=x，
∴AD=AE=（﹣1）x，
∴==．
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：
．
6.（2014•广东）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
7.（2014•白银）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA
解：（1）如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线；
（2）证明：∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
8、（2014兰州）如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
解：如图所示，作出角平分线AD，
作AD的中垂线交AC于点O，
作出⊙O，
∴⊙O为所求作的圆．
例3、（6分）（2014白银）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
规范解答：
（1）解：如图，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
（二）三视图
1.（2014东营)下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ B ）
A．
B．
C．
D．
解析:从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，即可得出左视图的形状．故选B．
2.（2014•长沙）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（C）
A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥
解析：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，；
B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形；
C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆；
D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形；故选C．
3.（2014•泰州）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（C）
A．B．C．D．
解析：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，
由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合．
故选C．
4.（2014•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（B）
A．60πB．70πC．90πD．160π
解析：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内径为3，外径为4，高为10，
所以其体积为10×（42π﹣32π）=70π，
故选B．
5.（2014潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（D）
A
．B
．C
．D
．
解析：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，只有D符合题意，
6.（2014•威海）用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（D）
A．B．C．D．
解析：A、此几何体的主视图和俯视图都是“”字形；
B 、此几何体的主视图和左视图都是；
C 、此几何体的主视图和左视图都是；
D 、此几何体的主视图是，俯视图是，左视图是，
故选D．
7.(2014淄博)如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（ D ）
A． S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1C．S2＞S3＞S1D．S1＞S3＞S2
解析:主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，
S1＞S3＞S2，故选D．
8.(2014黔东南)在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为 5 ．
解析: 底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成，故答案为5．
9.（2014湖州）如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是 ．
解析: 从上面看三个正方形组成的矩形，矩形的面积为1×3=3.
10.（2014•扬州）如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm ）可以得出该长方体的体积是 18 cm 3．
解析：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3，
故其体积为：3×3×2=18.
故选D ．
（三）展开与折叠
1.（2014汕尾）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（ D ） A ．我 B
．中 C ．国 D ．梦
解析：发挥想象力，把展开图折成正方体，可得“我”对“中”，“的”对“国”，“你”对“梦”
，故选D 。

2.（2014•菏泽）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解析：选项A 、C 、D 折叠后都不符合题意，只有选项B 折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，且与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合． 故选B ．
3.（2014•枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图
②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 （3+3） cm ．
解析：如图所示：
△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形， 在Rt △BCD 中，CD==6
cm ，
∴BE=CD=3
cm ，
在Rt △ACE 中，AE=
=3
cm ， ∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为（3+3）cm ． 4.(2014潍坊)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上”高二丈周三尺，有葛藤
自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
解析: 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长2
2
2015 =25（尺）．
二、 图形的对称、平移与旋转
（一）图形的对称
1、（2014烟台）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解析：A 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A 错误； B 、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B 错误； C 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C 错误；
D 、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D 正确．故选：D ． 2.（2014巴中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解析：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故A 错误； B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故B 错误； C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C 正确；
D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故D 错误．故选C ．
3.（2014白银）下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
A
．B
．C
．D
．
解析：A 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A 错误； B 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B 错误； C 、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 错误；
D 、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D 正确．故选：D ． 4.（2014泰州）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ B ）
B
即可判断出选项B 正确.
．
解析: 根据轴对称图形的概念, 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形即可判断A 选项正确.
6.（2014•安徽）如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ C ）
A ．
B ．
C ． 4
D ．
5 解析：设BN=x ，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x ， ∵D 是BC 的中点，∴BD=3，
在Rt △ABC 中，x 2+32=（9﹣x ）2，解得x=4．
故线段BN 的长为4． 故选C ．
7.（2014•毕节地区）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E 在BC 上，将△ABC 沿AE 折叠，
使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．
解析：BC==4，
由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=（4﹣x）2，
解得：x=．
8.（2014枣庄）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 3 种．
解析:根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线.因此在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，故涂法有3种.
9.（2014•内江）有6张背面完全相同的卡片，每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，
现将其全部正面朝下搅匀，从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为．
解析：∵有6张背面完全相同的卡片，每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，是中心对称图形的有平行四边形、矩形、正方形和圆，
∴从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为：=．
10.（2014•河南）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D
的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．
解析：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB﹣BM=7﹣x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在RT△END′中，设ED′=a，
①当MD′=3时，D′E=5﹣3=2，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a，
∴a2=22+（4﹣a）2，
解得a=，即DE=，
②当MD′=4时，D′E=5﹣4=1，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a，
∴a2=12+（3﹣a）2，
解得a=，即DE=．
11.（2014邵阳）准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，∴EB∥DF，
∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，
∴菱形BFDE的面积为：×2=．
（二）图形的平移
1.（2014呼和浩特）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为（A）
A．（1，2）B．（2，9）C．（5，3）D．（–9，–4）
解析：∵点A（-1，4）的对应点为C（4，7），
∴平移规律为向右5个单位，向上3个单位，∵点B（-4，-1），
∴点D的坐标为（-4+5，-1+3），即为（1，2）．故选A．
2.(2014滨州)如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（D）
A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直
解析：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．
∵A′，，∴线段A′B与线段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，∴A′B⊥AC，
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．故选D。

3.（2014邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ D ）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
解析:分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度都是2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．4.（2014舟山）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD 的周长为（C）
A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
解析：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，
∴AD=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC
+2+AC=20cm．故选C．
5、（2014昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为（-1，3）．
解析：∵点A坐标为（1，3），
∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1-2，3），即（-1，3），
（三）图形的旋转
1.（2014遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（B）
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选B．
2.（2014烟台）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（ B ）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）
解析：∵旋转时旋转中心在对称点连线的垂直平分线上，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，∴作线段AA′和BB′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），
∴旋转中心的坐标为（1，2）．故选B．
3.(2014资阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（ B ）
A． 55°B．60°C．65°D．80°
解析:∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的
角度等于60°．故选：B．
4.（2014•黔东南州）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（D）
A．0.5 B．1.5 C．D．1
解析：∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∵AC=，
∴AB=×=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．故选D．
5.（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B
按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（C）
A．
（，）B．
（，）
C．
（，）
D．
（，4）
解析：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC=2，AC=，
由勾股定理得，OA===3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，
由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为（，）．故选C．
6.（2014舟山）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′
∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段B D的长为 6 ．
解析：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，
∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，
解得AD=8，
∴BD=AD-AB=8-2=6．
7.（2014梅州）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A= 55°．
解析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，，
∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°-35°=55°，则∠A=∠A′=55°．
8.（2014•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
解：（1）FG⊥ED．理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG⊥ED；
（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BCG=90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB=BE，
∴四边形CBEG是正方形．
9.（2014•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB 的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．
∵点A（﹣2，0）点B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵点E，点F分别为OA，OB的中点，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′=．
在Rt△BOF′中，
BF′=．
∴AE′，BF′的长都等于．
（Ⅱ）当α=135°时，如图②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，
，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′．
（Ⅲ）在第一象限内，当点D′与点P重合时，点P的纵坐标最大．
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′=．
∴AP=+1．
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH=AP=．
∴点P的纵坐标的最大值为．
（四）网格作图
1.（2014毕节）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（-3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．
解：（1）△AB1C1如图所示；
（2）如图所示，A（0，1），C（-3，1）；
（3）△A2B2C2如图所示，B2（3，-5），C2（3，-1）．
2.（2014武汉）如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称的线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
3.（2014凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
解：（1）连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC．
同理找到点B．
（2）如图所示，△A1B2C2即为所求。

（3）；
弧B1B2的长=．
点B所走的路径总长=．
4.（2014•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C （﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．（3）求△A 1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）．
解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2，
∴：=1：4．
三、图形的相似与位似
（一）相似多边形
1.（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（D）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
解析：∵两个相似多边形面积的比为1：5，
∴它们的相似比为1：．
故选D．
2、（2014河北）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似。

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（A ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
解析：由题意得，甲图中两个三角形对应边平行，则对应角相等，所以相似；
乙图中两个矩形对应角都是故选A 。

（二）相似三角形的性质与判定
1.（2014•包头）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ．若AD=2BD ，则的值为（ A ）
A .12
B .13
C .14
D .23
解析：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD=2BD ，∴2AD AE BD EC ==,2AE BF EC CF
== ∴12CF BF =，
故选A 2.（2014天津）如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ D ）
A ．3：2
B ．3：1
C ．1：1
D ．1：2
解析：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，
3.（2014宁波）如图，梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )
A. 2:3
B. 2:5
C. 4:9
D. 3:2
解析：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
∵AB：DC=2：3
∴△ABC与△DCA的面积比为4：9，故选C
4.（2014丽水）如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=1
2 DB，
作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（ A ）
解析：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠EDB=90°；
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
∠B＝∠FGE，∠BDE＝∠FEG，DE＝EF
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y-3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，
5. （2014邵阳）如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD
相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED ．
解析：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为△ABP∽△AED．
6.(2014滨州
解析：∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ．
∵S △ADE =S 四边形BCDE ，
7.（
2014玉林）如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP=BM ，连接NP ，BP ．
（1）求证：四边形BMNP 是平行四边形；
（2）线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．
（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠B ，
在△ABM 和△BCP 中，
AB ＝BC
∠ABC ＝∠B
CP ＝BM
∴△ABM ≌△BCP （SAS ），
∴AM=BP ，∠BAM=∠CBP ，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM ⊥BP ，
∵AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，
∴AM ⊥MN ，且AM=MN ，
∴MN ∥BP ，MN=BP ，
∴四边形BMNP 是平行四边形；
（2）解：BM=MC ．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
8.（2014内江）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= 1：2 ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC= BD：BC （用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结C O并延长交AB于点E，试猜想++的值，并说明理由．
解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；
当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，
故答案为：1：2，BD：BC；
（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，
如图②作OE⊥BC与E，作AF⊥BC与F，，
∵OE∥AF，
∴△OED∽△AFD，
．
∵，∴；
（3）++=1，理由如下：
由（2）得，，． ∴++=
=
=
=1．
（三）相似三角形的应用
1. （2014达州）如图，以点O 为支点的杠杆，在A 端用竖直向上的拉力将重为G 的
物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F ；当杠杆被拉至OA 1时，拉力为F 1，过点
B ′作B 1
C ⊥OA ，过点A 1作A 1
D ⊥OA ，垂足分别为点C 、D ．①△OB 1C ∽△OA 1D ； ②
OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F 1；④F=F 1．其中正确的说法有（ D ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：∵B 1C ⊥OA ，A 1D ⊥OA ，∴B 1C ∥A 1D ，∴△OB 1C ∽△OA 1D ，故①正确； ∴1
1OA OB OD OC =，由旋转的性质得，OB=OB 1，OA=OA 1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F 1，故③正确；∴
OA OB OA OB OD OC G F ===111是定值，∴F 1的大小不变， ∴F=F 1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故选D ．
2. （2014娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，则旗杆AB 的高为 9 m ．
解析：由题意得，CD ∥AB ，∴△OCD ∽△OAB ，∴=，即=，解得AB=9．
3.（2014北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 15 m ．
解析：设这根旗杆的高度为xm，由题意得：
1.8
253
x
，解得：x=15m。

4.（2014遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 1.05 里．
解析：EG⊥AB，FE⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，∴．
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，∴FA=3.5里，EA=4.5里，
∴，解得：FH=1.05里．故答案为：1.05．
5.(2014陕西)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
解：由题意得，∠BAD=∠BCE，
∵∠ABD=∠CBE=90°，
∴△BAD∽△BCE，
∴=，
即=，
解得BD=13.6米．
答：河宽BD是13.6米．
（四）位似
1.（2014•武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（A）
A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）
解析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段
AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选A．
2.（2014•日照）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，
如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（D）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）或（﹣2，3）D．（﹣2，3）或（2，﹣3）解析：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：1：2，∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．故选D．
3.（2014玉林）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ D ）
A． 3 B． 6 C．9 D．12
解析：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是12．故选D．
4.（2014•东营）下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（A）
A．②③B．①②C．③④D．②③④
解析：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；
②位似图形一定有位似中心，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，错误．
正确的选项为②③．故选A．。