2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试52椭圆理含解析

考点测试椭圆
高考概览
本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为分或分，中、高等难度
考纲研读
．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)
．了解椭圆的简单应用
．理解数形结合的思想
一、基础小题
．已知中心在原点的椭圆的右焦点为(，)，离心率等于，则的方程是( )
．＋＝．＋＝
．＋＝．＋＝
答案
解析依题意，所求椭圆的焦点位于轴上，且＝，＝⇒＝，＝－＝，因此其方程是＋＝，故选．
．到点(－，)与点(，)的距离之和为的点的轨迹方程为( )
．＋＝．－＝
．＋＝．－＝
答案
解析由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，而＝，＝，故＝－＝．故选．
．已知△的顶点，在椭圆＋＝上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长是( )
．．．．
答案
解析依题意，记椭圆的另一个焦点为，则△的周长等于＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝，故选．
．椭圆＋＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则等于( )
．．．．
答案
解析由＋＝及题意知，＝××，＝，故选．
．已知动点(，)满足＋＝，则动点的轨迹是( )
．椭圆．直线．圆．线段
答案
解析设点(－，)，(，)，由题意知动点满足＋＝＝，故动点的轨迹是线段．故选．．设，为椭圆＋＝的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为( ) ．．．．
答案
解析由题意知＝，＝．由椭圆定义知＋＝．在△中，因为的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线的性质可推得⊥轴，所以由＝时可得＝＝，所以＝－＝，所以＝，故选．．已知圆(＋)＋＝的圆心为，设为圆上任一点，且点(，)，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是( )
．圆．椭圆．双曲线．抛物线
答案
解析点在线段的垂直平分线上，故＝，又是圆的半径，所以＋＝＋＝＝>，由椭圆定义知，动点的轨迹是椭圆．故选．
．若椭圆的方程为＋＝，且此椭圆的焦距为，则实数＝．
答案或
解析对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为得＝，当<<时，椭圆的焦点在轴上，则－－(－)＝，解得＝；当<<时，椭圆的焦点在轴上，则－－(－)＝，解得＝．故＝或＝．
二、高考小题
．(·全国卷Ⅰ)已知椭圆：＋＝的一个焦点为(，)，则的离心率为( )
．．．．
答案
解析根据题意，可知＝，因为＝，所以＝＋＝，即＝，所以椭圆的离心率为＝＝．故选．
．(·全国卷Ⅱ)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若⊥，且∠＝°，则的离心率为( )
．－．－．．－
答案
解析在△中，∠＝°，∠＝°，
设＝，则＝＝，＝，
又由椭圆定义可知＝＋＝(＋)，
则离心率＝＝＝＝－．故选．
．(·全国卷Ⅱ)已知，是椭圆：＋＝(>>)的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，△为等腰三角形，∠＝°，则的离心率为( )
．．．．
答案
解析依题意易知＝＝，且在第一象限内，由∠＝°可得点的坐标为(，)．
又因为＝，即＝，所以＝，＝，故选．
．(·全国卷Ⅲ)已知椭圆：＋＝(>>)的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线－＋＝相切，则的离心率为( )
．．．．
答案
解析由题意知以为直径的圆的圆心为(，)，半径为．又直线－＋＝与圆相切，
∴圆心到直线的距离＝＝，解得＝，
∴＝，∴＝＝＝＝＝．故选．
．(·江苏高考)
如图，在平面直角坐标系中，是椭圆＋＝(>>)的右焦点，直线＝与椭圆交于，两点，且∠＝°，则该椭圆的离心率是．
答案
解析由已知条件易得，，(，)，∴＝＋，－，＝－，－，由∠＝°，可得·＝，
所以＋＝，
－＋＝，
即－＋(－)＝，亦即＝，
所以＝，则＝＝．
三、模拟小题
．(·山东济南一模)已知椭圆：＋＝(>>)，若长轴长为，且两焦点恰好将长轴三等分，
则此椭圆的标准方程为( )
．＋＝．＋＝
．＋＝．＋＝
答案
解析椭圆长轴长为，即＝，得＝，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴＝·＝，得＝，因此，＝－＝－＝，∴此椭圆的标准方程为＋＝．故选．
．(·河南六市一模)已知点(－，)和(，)，动点(，)在直线：＝＋上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( )
．．．．
答案
解析(－，)关于直线：＝＋的对称点为′(－，)，连接′交直线于点，则此时椭圆的长轴长最短，为′＝，所以椭圆的离心率的最大值为＝．故选．
．(·四川德阳模拟)设为椭圆：＋＝上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，且△的重心为，若∶＝∶，那么△的面积为( )
．．．．
答案
解析∵为椭圆：＋＝上一点，∶＝∶，＋＝＝，∴＝，＝，又∵＝＝＝，∴易知△是直角三角形，△＝·＝，∵△的重心为点，∴△＝△，∴△的面积为，故选．．(·安徽宣城二模)已知椭圆＋＝(>>)的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若·＝，则椭圆的离心率为( )
．．．．
答案
解析由题意知，(－，)，(，)，(，)，∴＝(－，－)，＝(，－)．∵·＝，∴－＋＝，即＝．又＝－，∴－＝．∴＋－＝，解得＝或＝(舍去)．∴椭圆的离心率为，故选．
．(·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，△是以为底边的等腰三角形，且°<∠<°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
．，．，
．，．，
答案
解析由题意可得，＝＋－·∠＝＋－···∠，即＝·，所以＝＝＋·，又°<∠<°，∴－<∠<，所以<<(＋)，则<<，即<<．故选．
一、高考大题
．(·全国卷Ⅲ)已知斜率为的直线与椭圆：＋＝交于，两点．线段的中点为(，)(>)．
()证明：<－；
()设为的右焦点，为上一点，且＋＋＝．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
解()证明：设(，)，(，)，则＋＝，＋＝．
两式相减，并由＝得＋·＝．
由题设知＝，＝，于是＝－．①
由题设得<＝，且>，即<<，故<－．
()由题意得(，)．设(，)，则由()及题设得(－，)＋(－，)＋(－，)＝(，)，
＝－(＋)＝，＝－(＋)＝－<．
又点在上，所以＝，
从而，－，＝．
于是＝＝＝－．同理＝－．
所以＋＝－(＋)＝．
故＝＋，即，，成等差数列．
设该数列的公差为，则
＝－＝－
＝．②
将＝代入①得＝－．
所以的方程为＝－＋，
代入的方程，并整理得－＋＝．
故＋＝，＝，代入②解得＝．
所以该数列的公差为或－．
．(·天津高考)设椭圆＋＝(>>)的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，＝．
()求椭圆的方程；
()设直线：＝(<)与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若△的面积是△面积的倍，求的值．
解()设椭圆的焦距为，由已知得＝，
又由＝＋，可得＝．
由＝＝，从而＝，＝．
所以，椭圆的方程为＋＝．
()设点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，由题意，>>，点的坐标为(－，－)．
由△的面积是△面积的倍，
可得＝，
从而－＝[－(－)]，即＝．
易知直线的方程为＋＝，
由方程组消去，可得＝．
由方程组消去，可得＝．
由＝，可得＝(＋)，
两边平方，整理得＋＋＝，
解得＝－，或＝－．
当＝－时，＝－<，不符合题意，舍去；
当＝－时，＝，＝，符合题意．
所以，的值为－．
．(·北京高考)已知椭圆的两个顶点分别为(－，)，(，)，焦点在轴上，离心率为．
()求椭圆的方程；
()点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：△与△的面积之比为∶．
解()设椭圆的方程为＋＝(>>)，
由题意得解得＝，所以＝－＝，
所以椭圆的方程为＋＝．
()证明：设(，)，则(，)，(，－)，
由题设知≠±，且≠．
直线的斜率＝，
故直线的斜率＝－，
所以直线的方程为＝－(－)，
直线的方程为＝(－)．
联立
解得点的纵坐标＝－．
由点在椭圆上，得－＝，所以＝－．
又△＝·＝·，
△＝·，
所以△与△的面积之比为∶．
二、模拟大题
．(·湖南衡阳一模)已知椭圆：＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，离心率为，直线＝与的两个交点间的距离为．
()求椭圆的方程；
()分别过，作，满足∥，设，与的上半部分分别交于，两点，求四边形面积的最大值．解()易知椭圆过点，，
所以＋＝，①
又＝，②
＝＋，③
所以由①②③得＝，＝，
所以椭圆的方程为＋＝．
()设直线的方程为＝－，它与的另一个交点为．
将直线与椭圆的方程联立，消去，
得(＋)－－＝，
Δ＝(＋)>．
＝·，
又到的距离＝，
所以△＝．
令＝，≥，则△＝，
当＝时，△取得最大值，为．
又四边形＝·(＋)·
＝(＋)·＝＝△，
所以四边形面积的最大值为．
．(·河南六市三模)已知椭圆＋＝(>>)的离心率＝，原点到过点(，－)和(，)的直线的距离为．
()求椭圆的方程；
()设，为椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于，两点，求△内切圆半径的最大值．
解()直线的方程为＋＝，即－－＝．
原点到直线的距离为＝，
即＋＝，①
由＝＝，得＝，②
又＝＋，③
所以联立①②③可得＝，＝，＝．
故椭圆的方程为＋＝．
()由()得(－，)，(，)，
设(，)，(，)．
易知直线的斜率不为，故设其方程为＝＋，
联立直线与椭圆的方程得
消去得(＋)＋－＝．
故④
而△＝△＋△＝－
＝· ，⑤
将④代入⑤，得
△＝· ＝．
又△＝(＋＋)·＝·＝，所以＝，
故＝＝≤，
当且仅当＝，即＝±时取等号．
故△内切圆半径的最大值为．
．(·山东济宁一模)已知椭圆：＋＝(>)，直线：＝＋(≠)与椭圆相交于，两点，点为的中点．
()若直线与直线(为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆的方程；
()在()的条件下，轴上是否存在定点，使得当变化时，总有∠＝∠(为坐标原点)？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
解()由得(＋)＋－＝，显然Δ>，
设(，)，(，)，(，)，
则＋＝－，＝，
∴＝－，＝－＋＝，
∴·＝·－＝－，
∴＝．∴椭圆的方程为＋＝．
()假设存在定点符合题意，且设(，)，由∠＝∠得＋＝．
∴＋＝．
即＋－(＋)＝，
∴＋＋－(＋)＝．
由()知＋＝－，＝，
∴－－＋＝，
∴＝，即＝，
∵≠，∴－＋＝，∴＝．
∴存在定点(，)，使得∠＝∠．。