2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)

利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）
【教学目标】
一、方向向量与法向量概念
【知识点】
1.直线的方向向量：
如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。

注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。

（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。

⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。

2.平面的法向量：直线l a
（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）
3.确定平面的法向量的方法
（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面
的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。

（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =
（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =
（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0
n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；
（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示
12,n n
2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥
12120n n n n ⊥⇔⋅=
n ， 的法向量为m l α
0n m n m ⊥⇔⋅=
α⊥
//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n m
β //()n m n km k R ⇔=∈β⊥
0n m n m ⊥⇔⋅=
【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)
★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1
(1,,2)2
n =，且21l l ⊥，则(m = )
A ．8
B ．8-
C ．1
D ．1-
★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直
C ．12l l ⊥
D ．不能确定
★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则
y = ，z = ．
★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )
A ．(7-，6，12)
B ．(7，10-，12)-
C ．(7，6-，12)
D ．(7-，10，12)
★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-
B ．(2-，1，1)
C ．(1，2-，2)
D ．(4，2-，1)
★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)
C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)
D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-
★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )
A ．(1，1，1)
B ．(1-，1，1)
C ．(1，1-，1)
D ．(1，1，1)-
★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )
A ．(4，9-，16)-
B ．(4，9，16)-
C ．(16-，9，4)-
D ．(16，9，4)-
★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥
C ．l 与α斜交
D ．l α⊂或//l α
★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）
★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4
C ．2-
D ．4-
二、利用空间向量证明平行关系
【知识点】
（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈； （2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα
⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；
（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.
【例题讲解】
★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．
★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： 求证：//PA 平面EDB .
★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． （1）求点E 、F 的坐标； （2）求证：1//EF ACD 平面．
P
★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，
2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .
★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．
★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．
★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．
三、利用空间向量证明垂直关系
【知识点】
（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面垂直：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明； ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。

（3）面面垂直：
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直； ②证明两个平面的法向量互相垂直。

★★☆例题1．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且
AE BF =．求证：11A F C E ⊥.
★☆☆练习1. 在如图所示的几何体ABCED 中，EC ⊥面ABC ，DB ⊥面ABC ，2CE CA CB DB ===，
90ACB ∠=︒，M 为AD 的中点．证明：EM AB ⊥．
1l 2l a b 12l l ⊥⊥a b 0⋅=a b l a αu l α⊥//a
u
★★☆练习2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111()A P A B R λλ=∈．证明：PN AM ⊥.
★★☆练习3. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ，证明P A ⊥BD.
★★☆例题2．（1）已知(1AB =，5，2)-，(3BC =，1，)z ，若AB BC ⊥，(1BP x =-，y ，3)-，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为( ) A ．337，15
7
-，4 B ．
407，15
7
-，4 C ．
40
7
，2-，4 D ．4，
40
7
，15-
（2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．求证：1AB ⊥平面1A BD .
★☆☆练习1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AC BC CC ===，M 是1AB ，1A B 的交点，N 是11B C 的中点．求证：MN ⊥平面1A BC .
★☆☆练习2. 如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111ABC A B C -，在底面ABC 中，1CA CB ==，
90BCA ∠=︒，棱12AA =，M ，N 分别为11A B ，1A A 的中点．求证：BN ⊥平面1C MN ．
★☆☆例题3．（2020•天心区）如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，P A ＝AD ＝2，M 、N 分别是A B ．PC 的中点．求证：平面MND ⊥平面PCD .
★★☆练习1. 如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，在1CC 上求一点P ，使面11A B P ⊥面1C DE ．
★★☆练习2. 如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 是BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =． （1）求证：AP BC ⊥；
（2）若点M 是线段AP 是一点，且3AM =．试证明平面AMC ⊥平面BMC ．
【题型知识点总结】
1. 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤：
（1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
（2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题．
注意：运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． 2. 解决立体几何中探索性问题的基本方法：
（1）通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.
（2）探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y ，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0，0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP →＝λAB →
，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算
【课后练习】
【巩固练习】
★☆☆1. 已知(2a =，1-，3)，(1b =-，4，2)-，(3c =，2，)λ，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
★☆☆2. 若平面α，β的法向量分别为(1a =-，2，4)，(b x =，1-，2)-，且αβ⊥，则x 的值为( ) A ．10 B ．10-
C ．
12
D ．12
-
★☆☆3. 直线l 的方向向量(1s =-，1，1)，平面π的法向量为(2n =，2x x +，)x -，若直线//l 平面π，
则实数x 的值为( ) A ．2- B ．C D ．
★★☆4. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1
AO ⊥平面ABCD ，
1AB AA ==1OCB 的法向量(n x =，y ，)z 为( )
A ．(0，1，1)
B ．(1，1-，1)
C ．(1，0，1)-
D ．(1-，1-，1)
★★☆5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱1DD 、11D C 的中点，则直线(OM )
A ．和AC 、MN 都垂直
B ．垂直于A
C ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于AC
D ．与AC 、MN 都不垂直
★☆☆6.（2018•汉中）在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1A C 的中点．应用空
间向量方法求解下列问题． （1）求EF 的长
（2）证明：//EF 平面11AA D D ； （3）证明：EF ⊥平面1A CD ．
★★☆7. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =． （1）求证：1AC BC ⊥；
（2）在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
★★☆8.（2019•运城）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥．2AD =，BD =．M
是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．证明：PQ AD ⊥.
★★★9. 如图正方形ABCD 的边长为BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的
中点，FO FO ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：//AE 平面BCF ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面AEF .
★★☆10. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，D 为BC 的中点． （1）证明：1//A B 平面1ADC ； （2）证明：平面1ADC ⊥平面11BB C C ．
【拔高练习】
★★★1．设直线1l 的方向向量是：(1cos ,sin ),(0,)a αααπ=+∈，直线2l 的方向向量为(1cos ,sin )b ββ=-，
(,2)βππ∈，直线3l 的方向得量是(1,0)c =，1l 与3l 的夹角为1θ，2l 到3l 的角为2θ，若126
π
θθ-=
，试求
sin()4
αβ
π-+
的值．
★★★2．如图，单位正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是( )
A ．11BD
B
C ⊥
B ．若111
,33
DP DD DE DC ==，则1//PE A B
C ．若点1B 、A 、
D 、C 在球心为O 的球面上，则点A 、C 1
3
D ．若111
,33
DP DD DE DC ==，则1A P 、BE 、AD 三线共点
★★★3．（2012•泰安一模）在三棱锥P ABC -中，PB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB PB ==，BC =，
E 、G 分别为PC 、PA 的中点．
（Ⅰ）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）在线段AC 上是否存在一点N ，使PN BE ⊥？证明你的结论．
★★★4． 如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直，已知4BC =，2AB AD ==． （1）求证：AC BF ⊥；
（2）在线段BE 上是否存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ？若存在，求出||
||
BP PE 的值；若不存在，请说明理由．。