人教版九年级数学上22.二次函数y=ax2的图象和性质课件

… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 2x2 y
10
y x2
9
8
7
6
5
4
3 2
y 1 x2 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y= x2,21y=2x2的图象 与函数y=x2(图中虚线图形)
的图象相比,有什么共同点
和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y 1 x2
2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
归纳
二次函数 y ax2的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点， a值越大，抛物线开口越大； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
巩固
1、说出下列函数图象的性质：
(1) y3x2 (2) y3x2 (3) y 1 x2
3
巩固
2、已知二次函数 y ax2的图形经
y=－2x2 … -８ -4. 5
-１ -0.25 ０ -0.25 -０.５ -０.１２５ ０ -０.１２５
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
-１ -2.25 -４ …
-０.５ -１.１２５ -2 … -２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点
y 2x2
1、根据左边已画好的函数图象填空：
y 2 x2 3
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
(m+3，y3)在抛物线
y
1 4
x 2 上，则
y1、 y2、y3的大小关是
。
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
（2）抛物线
y
2 3
x
2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x 0时，y<0.
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 象
开口方向
y Ox 向上
y
O
x
向下
顶点坐标 对称轴
(0 ,0) y轴
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点？
y x2
(2)抛物线与坐标轴有交点吗？如果有,交点坐标是 什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
并计算相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -2x1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4
0 1 49 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数的 图象形如物 体抛射时所 经过的路线, 我们把它叫 做抛物线
y x2
y x2
议一议
y x2
视察图象,回答问题：
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x2的顶点
它是抛物线 y x2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
9
列表 描点
描点时87应以哪y些=数x2 值作为56点的坐标？
4
3
2
连线
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小
值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 方(除顶点外),在对称
3
轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 … … 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
描点法
y
10
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2x2
函数y=－ x221,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；
巩固
3、若抛物线 y(n1)xn2n的开口
向下，求n的值。
巩固
4、若抛物线 y 6x2上点P的坐标为
(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点
P’的坐标为
。
巩固
5、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
22.2 二次函数图象和性质
1、二次函数的一般情势是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4
3
你会用描点法画二次函数y=x2,y=x²的图象吗?
视察y=x2,y=-x²的表达式,选择适当x值,
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx  x 2 的图象图是形轴吗对？称如图果形是，，
对称轴是y轴
对称轴是什么？
y 10
9 8
y x2
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3-2 -1 o1 2 3 4 5 x
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
不同点: 开口大小不同;
|a|越大， 抛物线的开口越小。
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象． 2
解: (1) 列表
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=－x2 … -４ -2.25
y=－
1 2
x2
…
-2
-１.１２５
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x=0时, 函数y 的值最小, 最小值是0.
当x=0时,函数y 的值最大,最大 值是0.
当x<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。
当x>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。
当x<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。
叫做抛物线的顶点。
做一做 在学中做—在做中学
(1)二次函数y=2x²，y=-2x2的图象是什
么形状？
(2)先想一想，然后在同一坐标系作出y=2x²，
y=-2x²的图象．
y 2x2
y 2 x2 3
y ax2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
y 1 x2 2
y 1
-1 0 1 -1 -2 -3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2
|a| 越大，抛物线的开口越小．
-5
y 2x2
对照抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
y x2 y x2
在同一坐标系内,抛物线y ax2与 抛物线 y ax2是关于x轴对称的.
y x2 当x>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
y x2
仔细视察右图， 并完成填空。
y x2
抛物线
y=x2
顶点坐标
（0，0）
对称轴
y轴
位置
在x轴的上方（除顶点外）
开口方向
向上
增减性 极值
当x=0时，最小值为0。
y=-x2
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外）
向下
当x=0时，最大值为0。
点
对称轴与抛物
线y 的交x2叫做
抛物线的顶点.
议一议
y x2
视察图象,回答问题：
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点？
y x2
(2)抛物线与坐标轴有交点吗？如果有,交点坐标是 什么? (3)当x取什么值时,y的值最小（最大）?最小值 （最大值）是什么? 你是如何知道的？
小结
1、二次函数y=ax2的图象是什么？ 2、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
归纳
二次函数 y ax2的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴是y轴， 顶点是原点。
归纳
二次函数 y ax2的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上，顶点是最低点， a值越大，抛物线开口越小； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
y 2 x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这对对这对对这对条称对称条称称条称抛，称轴抛，轴抛，y物轴。轴物y。物y线。轴轴就线线关就就是关关于是是它于于y它它轴的yy轴的轴的 对称轴与抛物线的交点