上海市七宝中学2016届高三上学期期中考试数学理试题 含答案

2015年七宝中学高三第一学期期中考试
理科数学
一、填空题
1、设集合
2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤,则M N =_________。

[0,1]
2、已知1
1
(1,)P a 、2
2
(2,)P a 、…(,)n
n P n a …是直线上的一列点,且1
22, 1.2a
a =-=-，
则这个数列{}n a 的通项公式是___________。

*0.8 2.8()n a n n N =-∈
3、设
02
πθ<<
，向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若//a b ,则tan θ=___ .
1
2
4、函数
12
log (32)
y x =-___________.
2(,1]3
5、已知单位向量1
e 与2
e 的夹角为α，且
1
cos 3α=
,向量1232a e e =-与12
3b e e =-的夹角为β，则cos β=__________。

22
6、函数
2
13,(10)
x y x -=-≤≤的反函数是___________。

131
()log 1(1)
3f x x x -=+≤≤
7、方程
lg(42)lg 2lg 3x x
+=+的解是___________。

0x =或1x = 8、,a b 是不等的两正数，若11
lim 2n n n n
n a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是
___________.
(0,2)
9、数列{}n
a 中，已知
*11121
2,(),2n n a a a a a n N +==
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈，则{}n a 的前n 项和
n S =___________。

1
3
2()2n n S -=⋅
10、若向量a 与b 夹角为3π
，||4b =，(2)(3)72a b a b +-=-，则||a =________.
6
11、若三数,1,a c 成等差,且2
2
,1,a c 成等比，则
22lim(
)
n
n a c a c →∞
++值为___________.
0或1
12、已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，
3BC BE =，DC DF λ=,若1AE AF ⋅=，则λ的值为___________.
2
13、已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，1
()(2)3g x f x =-+
，当[2,0)(0,2]
x ∈-时，
||
1(),(0)021x g x g =
=-，则方程12()log (1)g x x =+的解的个数为___________。

3个
14、已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足120,m x x x n n N π*
≤<<⋅⋅⋅<≤∈，
且
12231()()()()()()12,(2,)
m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-+⋅⋅⋅+-=≥∈,当m 取最小值
时，n 的最小值为___________。

7
二、选择题
15、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1
2
12,(,0],()x x
x x ∈-∞≠，有
1212()[()()]0x x f x f x -->，则当n N *∈时,有( ）
A
A 、(1)()(1)f n f n f n +<-<-
B 、(1)()(1)f n f n f n -<-<+
C 、()(1)(1)f n f n f n -<-<+
D 、(1)(1)()f n f n f n +<-<-
16、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ )D
A 、13
(,),44k k k Z
ππ-+∈
B 、
13
(2,2),44k k k Z
ππ-+∈ C 、13
(,),44k k k Z -+∈
D 、13
(2,2),44k k k Z
-+∈
17、已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量1
2
3
4
5
x x x x x ，
，，，和12345
,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1
1
22334455S x y
x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅,min S 表示
S 所有可能取值中的最小值,则下列命题中
（1)S 有5个不同的值；（2）若a b ⊥则min
S 与||a 无关;(3）若//a b 则min
S 与
||b 无关；(4）若||4||b a >,则min 0S >；(5)若||2||b a =，2
min 8||S a =，则a 与b 的
夹角为4π。

正确的是（ ） B
A 、(1） （2）
B 、（2) (4）
C 、(3） (5)
D 、(1) (4）
解:
S 至多
3个不同的值:
22
123S a b =+、
22
222S a a b b =+⋅+、
2
34S a b b =⋅+ （1)
错误
min 3S S =，若a b ⊥则2
min S b =与||a 无关 （2)正确
若//a b 则2
min 4S a b b =⋅+与||b 有关
(3)错误
若||4||b a >，则22min 4||+4||||cos =||(||4||cos )0S a b b b a b b b a θθ=⋅+=-≥（4）正确
若||2||b a =,则
2222min 48cos 483
S a b b a a a π
θθ=⋅+=+=⇒=
(5)错误
18、已知函数
()
f x 是定义在
R
上的奇函数，当0
x ≥时，
2221
()(23)2f x x a x a a =
-+--。

若对任意x R ∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值
范围（ ）B
A 、11[,]66-
B
、
[,66-
C 、11[,]33-
D 、
[]33-
解:当0x ≥时，2222
2
23,2(),2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-≤<⎩
显然,
2min ()f x a =- 由奇偶性可知，当0x <时，2
max ()f x a =
若对任意x R ∈,(1)()f x f x -≤ 由图像可知，2
22(4)1a
a --≤ ∴
66a -
≤≤
三、解答题
19、函数()f x 是这样定义的：对于任意整数m ，当实数x 满足不等式
1
2x m -<
时，有()f x m =。

（1)求函数()f x 的定义域D ,并画出它在[0,3]x D ∈上的图像；
(2)若数列
2
210()5n
n a =+⋅，记123()()()()n n S f a f a f a f a =+++⋅⋅⋅+,求n S 。

解：(1)1
{|,}
2D x x k k Z =≠+∈
（2）6,1
4,2()3,32,4n n n f a n n =⎧⎪=⎪
=⎨
=⎪⎪≥⎩
∴
6,1
10,2
27,3n n S n n n =⎧⎪
==⎨⎪+≥⎩
20、如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆,H 是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口H 是AB 的中点,,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =
米，AD =BHE θ∠=.
(1)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；
(2）问:当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度。

解:（1）tan BE BH BC θ=≤且cot AF AH AD θ=≤ ∴
63π
π
θ≤≤
L FH EH =++10101010(sin cos 1)()sin cos sin cos sin cos 63θθππθθθθθθθ++=++=≤≤
（2
）令1
sin cos [
2t θθ=+∈
则
201L t =
-
在1
[2上单调递减，
因此
t =
3πθ=
或
6
π
θ=
时取得最大值1)米。

21
、已知函数
()sin(
)sin()sin()4242x x
f x x π
ππ=+
--+,且函数()y g x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线
4
x π=
对称。

（1）若存在
[0,)2x π
∈,使等式2
[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值； （2）若当11[0,
]
12x π∈时不等式()()0f x ag x +->恒成立，求a 的取值范围.
解：（1)
()2sin()3f x x π
=+
()y g x =与()y f x =关于直线4
x π=
对称 则
5()2sin(2)6g x k x π
π=+
-
当
[0,)
2x π
∈时,()[1,2]g x ∈ 此时
,
2
()()m g x g x =+
∈即最大值3
，最小值
F
D
A
（2)()()0f x ag x +->即
2sin()2cos()0
3
3
x a x π
π
+
++
>恒成立
当[0,)
6x π∈时，cos()03x π+>只须
tan()
3a x π
>-+即a >当
6
x π=
时，显然成立
当11(,]612x ππ∈时，cos()03x π+<只须
tan()
3a x π<-+即1a <- 综上，
1a <<-
22、设数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,若对任意正整数n ,总存在正整数m ，使
得n
m S
a =，则称{}n a 是“H 数列”。

（1）若数列{}n a 的前n 项和
2,()n n S n N *
=∈,证明：{}n a 是“H 数列" （2)设{}n
a 是等差数列，其首项1
1a
=,公差0d <,若{}n a 是“H
数列”，求d
的值；
(3)证明:对任意的等差数列{}n
a ，总存在两个“H 数列”{}n
b 和{}n
c ，使
得
,()n n n a b c n N *
=+∈成立。

（1） ∵
2n
n S = ∴
1
2,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩
当1n =时，1
1
S a =即1m =；当2n ≥时，122n m n
m S
a -===即1m n =+.
所以{}n
a 是“H 数列"
（2）若{}n
a 是“H 数列”，则总存在正整数m ，使得n
m S
a =
即
(1)1(1)
1(1)22n n n n n n d m d m d ---+
=+-⇒=+
显然，对任意正整数n ,均有1
n Z d -∈
又因为0d < 所以1d =-
(3)111(1)()(1)n
a a n d na d a n =+-=+-- 令11,()(1)n
n b
na c d a n ==--
对于数列{}n
b ,当
(1)2n n m +=
时，总有1(1)
2n b m
n n S a b +==即{}n b 是“H
数列”
对于数列{}n
c ,当
(1)12n n m -=
+时，总有1(1)
()2n c m
n n S d a c -=-=即{}n c 是“H
数列”
又因为n
n n a
b c =+
所以对任意的等差数列{}n
a ，总存在两个“H 数列”{}n
b 和{}n
c ，
使得,()n n n
a b c n N *
=+∈成立。

23、定义在(0,)+∞上的函数
()
f x ，如果对任意
(0,)
x ∈+∞，恒有
()(),(2,)f kx kf x k k N *=≥∈成立，则称()f x 为k 阶缩放函数。

(1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(1,2]x ∈时，
12
()1log f x x
=+，求
f 的值;
（2)已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(1,2]x ∈时，()f x =证：函数()y f x x =-在(1,)+∞上无零点；
(3)已知函数()f x 为k 阶缩放函数,且当(1,]x k ∈时，
()f x 的取值范围是[0,1)，求()f x 在1(0,]()n k n N +∈上的取值范围。

解：（1）
21f f ==
（2）当1(2,2]k k x +∈时，(1,2]2k
x
∈
则()2()4()2(
)224
2k k x x
x f x f f f ===
===
令
()0f x x -=解得，0x =或2k x =均不在1(2,2]k k +内
所以函数()y f x x =-在(1,)+∞上无零点
（3) 当(1,]x k ∈时,()f x 的取值范围是[0,1)且()()f kx kf x =
因此，当1(,]n
n x k
k +∈时,
()(
)n n x f x k f k =
因为(1,]n x k k ∈所以()[0,1)n
x f k ∈
故当1(,]n n x k k +∈时，
()[0,)n
f x k ∈ 因为2k ≥，所以()f x 在1(0,]()n k n N +∈上的取值范围为
[0,)n
k 。