第六章 实数单元达标测试综合卷学能测试试题

第六章 实数单元达标测试综合卷学能测试试题
一、选择题
1．1的结果应该在下列哪两个自然数之间（ ）
A ．3，4
B ．4，5
C ．5，6
D ．6，7
2．在0, 3.14159,
3π,2272中, 无理数有几个（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．0，0.121221222，
132π6个实数中有理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4．给出下列各数①0.32，②227
，③π0.2060060006（每两个6之间依
次多个0 ） A ．②④⑤ B ．①③⑥ C ．④⑤⑥ D ．③④⑤
530b -= ）
A ．0
B ．±2
C ．2
D ．4
6．设n 为正整数，且n n+1，则n 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．，则x 和y 的关系是( )．
A ．x ＝y ＝0
B ．x 和y 互为相反数
C ．x 和y 相等
D ．不能确定
8．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数
没有立方根；④是17的平方根.其中正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 9．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．0 10．下列各数中，介于6和7之间的数是( )
A B C D 二、填空题
11．若已知()2120a b -++=，则a b c -+=_____．
12．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385
-)= 8-；②[x )
–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．
13．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是
2223
=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______
14．
=__________．
15．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)x A B A B A B ⊕=
++++，如果5213
⊕=
，那么45⊕= __________．
16．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则4)+=____
17．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____．
18．为了求2310012222+++++的值，令2310012222S =+++++，则
234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，所以10121S =-，即231001*********+++++=-，仿照以下推理计算23202013333++++
+的值是____________．
19．设a ，b 都是有理数，规定 *=a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．
20．若x ，y 为实数，且|2|0x +=，则(x+y) 2012的值为____________．
三、解答题
21．读一读，式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为1001
n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99，即从
1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为
50
1(21)n n =-∑，又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为1031
n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．
（2）1＋12＋13
＋…＋110用求和符号可表示为_________． （3）计算6
211n n =-∑()＝_________．(填写最后的计算结果)
22．探究与应用：
观察下列各式：
1+3＝ 2
1+3+5＝ 2
1+3+5+7＝ 2
1+3+5+7+9＝ 2
……
问题：（1）在横线上填上适当的数；
（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；
（3）根据规律计算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（结果用科学记数法表示）
23．观察下列各式：
111122
-⨯
=-+； 11112323-⨯=-+； 11113434
-⨯=-+； …
(1)你发现的规律是_________________.(用含n 的式子表示；
(2)用以上规律计算：1111223⎛
⎫⎛⎫-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113420172018⎛⎫⎛⎫-⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
24．z 是64的方根，求x y z -+的平方根
25．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式1c c <+． （1）求,,a b c 的值．
（2）求2232a b c ++的平方根．
26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12
n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122
n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．
（1）计算： 1.87<>= ；= ；
（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43
x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程
21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用已知无理数得出最接近的整数，进而得出答案．
【详解】
解：∵72＝49，82＝64，
∴78<
<，
∴617<<，
1的结果应该在自然数6，7之间．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了无理数的整数解问题，掌握求无理数的整数解的方法是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：3π4个 故选C.
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．C
解析：C
【分析】
根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数即可判断．
【详解】
0是整数，是有理数，
0.121221222是有限小数，是有理数，
13
是分数，是有理数，
，是有理数，
2
是含π的数，是无理数，
综上所述：有理数有0，0.121221222，
134个， 故选C.
【点睛】
本题考查了实数的定义，解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类．有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 4．D
解析：D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此逐一判断即可得答案．
【详解】
①0.32是有限小数，是有理数， ②
227
是分数，是有理数， ③π是无限循环小数，是无理数，
⑤0.2060060006（每两个6之间依次多个0）是无限循环小数，是无理数，
，是整数，是有理数，
综上所述：无理数是③④⑤，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数；熟练掌握定义是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
由算术平方根和绝对值的非负性，求出a 、b 的值，然后进行计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
a ﹣1＝0，
b ﹣3＝0，
解得：a ＝1，b ＝3，
∴a +b ＝1+3＝4，
∴
2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出a、b的值．6．D
解析：D
【分析】
n的值．【详解】
∴89，
∵n n+1，
∴n=8，
故选；D．
【点睛】
7．B
解析：B
【解析】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可．
详解：
,
=
∴x=-y，
即x、y互为相反数，
故选B．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y．
8．B
解析：B
【详解】
解：①实数和数轴上点一一对应，本小题错误；
②π不带根号，但π是无理数，故本小题错误；
③负数有立方根，故本小题错误；
④17的平方根，本小题正确，
正确的只有④一个，故选B．
9．A
解析：A
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，继而得出答案．
【详解】
∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴3a+1+a+11=0，a=-3，
∴3a+1=-8，a+11=8
∴这个数为64，
所以，这个数的立方根为：4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
10．A
解析：A
【分析】
求出每个根式的范围，再判断即可．
【详解】
解：A、67，故本选项正确；
B、78，故本选项错误；
C、78，故本选项错误；
D、34，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个根式的范围．
二、填空题
11．6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．【详解】
解：因为，
所以，
解得，
故，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可．
【详解】
解：因为()2
120a b -+++=，
所以10,20,30a b c -=+=-=，
解得1,2,3a b c ==-=，
故1(2)36a b c -+=--+=，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键． 12．③，④
【分析】
①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可， ②由定义得[x)x 变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义
解析：③，④
【分析】
①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x )<x≤[x )+1，[38
5-)<385-<-8，[385-)=-9即可， ②由定义得[x )<x 变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x )+1，变式即可判断，
④由定义知[x )<x≤[x )+1，由x≤[x )+1变形的x-1≤[x )，又[x )<x 联立即可判断．
【详解】
由定义知[x )<x≤[x )+1，
①[385
-)=-9①不正确，
②[x )表示小于x 的最大整数，[x )<x ，[x ) -x <0没有最大值，②不正确
③x≤[x )+1，[x )-x≥-1，[x )–x 有最小值是-1，③正确，
④由定义知[x )<x≤[x )+1，
由x≤[x )+1变形的x-1≤[x )，
∵[x )<x ，
∴x1
-≤[x)<x，
④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)<x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．
13．．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，
解析：4
3
．
【分析】
先根据题意求得2a、3a、4a、5a，发现规律即可求解．【详解】
解：∵a1=3
∴
2
2
2 23
a==-
-，()
3
21
222
a==
--，
4
24
13
2
2
a==
-，
5
2
3
4
2
3
a==
-，
∴该数列为每4个数为一周期循环，∵20204505
÷=
∴a2020=44 3
a=．
故答案为：4
3
．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．14．351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】
=10
+
=1+2+3+n
+=351
=1+2+326
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
15．【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8
故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的
解析：1745
【分析】
按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.
【详解】 解：由1521=21(21)(11)3
x ⊕=
++++ 解得：x=8 18181745==45(41)(51)93045
⊕=+++++ 故答案为
1745
. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.
16．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
4)+
4
=4=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
17．25
【分析】
利用平方根定义即可求出这个数.
【详解】
设这个数是x （x≥0），所以x ＝（-5）2＝25.
【点睛】
本题解题的关键是掌握平方根的定义.
解析：25
【分析】
利用平方根定义即可求出这个数.
【详解】
设这个数是x （x ≥0），所以x ＝（-5）2＝25.
【点睛】
本题解题的关键是掌握平方根的定义.
18．【分析】
令，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．
【详解】
令
则
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解 解析：2021312
- 【分析】
令23202013333S =+++++，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．
【详解】
令23202013333S =+++++ 则23202133333S =++++
∴2021331S S -=-
∴2021312
S -= 故答案为：2021312
-． 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．
19．1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵，
∴
=（）（）
=（2+2）（3-4）
=4（-1）
=
=2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方
解析：1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵*=a b
∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦
=*）
=（2+2）*（3-4）
=4*（-1）
==2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 20．1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了
解析：1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：2030x y +=⎧⎨-=⎩
解得23x y =-⎧⎨=⎩
则201220122012()(23)11x y +=-+==
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
三、解答题
21．（1）5012n n =∑；（2）
10
11n n =∑；（3）50 【分析】
（1）根据题中的新定义得出结果即可；
（2）根据题中的新定义得出结果即可；
（3）利用题中的新定义将原式变形，计算即可得到结果．
【详解】
解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+…+100=50
12n n =∑；
（2）1＋12＋13
＋…＋110=1011n n =∑； （3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85．
故答案为：（1）5012n n =∑；（2）
10
11n n =∑；（3）85． 【点睛】
此题考查了有理数的加法和减法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（1）2、3、4、5；（2）第n 个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝n 2；
（3）﹣1.008016×106．
【分析】
(1) 根据从1开始连续n 各奇数的和等于奇数的个数的平方即可得到.
(2) 根据规律写出即可.
(3) 先提取符号，再用规律解题.
【详解】
解：（1）1+3＝22
1+3+5＝32
1+3+5+7＝42
1+3+5+7+9＝52
……
故答案为：2、3、4、5；
（2）第n 个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝2(1)n +
（3）原式＝﹣（1+3+5+7+9+ (2019)
＝﹣10102
＝﹣1.0201×106．
【点睛】
本题考查数字变化规律，解题的关键是找到第一个的规律，然后加以运用即可.
23．（1）111111
n n n n -
⨯=-+++；（2）20172018- 【分析】 （1）由已知的等式得出第n 个式子为111111
n n n n -
⨯=-+++； （2）根据规律将原式中的积拆成和的形式，运算即可.
【详解】 （1）∵第1个式子为111122
-⨯
=-+ 第2个式子为11112323-⨯=-+
第3个式子为11113434
-⨯
=-+ …… ∴第n 个式子为111111
n n n n -
⨯=-+++ 故答案为：111111
n n n n -⨯=-+++ （2）由（1）知：原式1111111(1)()()()2233420172018=-++-++-++⋅⋅⋅+-+ 112018=-+
20172018
=- 【点睛】
本题考查有理数的混合运算以及数字规律，分析题目，找出规律是解题关键.
24．【分析】
根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．
【详解】
，
∴x+1=0,2-y=0，
解得x=-1，y=2，
∵z 是64的方根，
∴z=8
所以，x y z -+=-1-2+8=5，
所以，x y z -+的平方根是
【点睛】
此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
25．（1）6a =，8b =-，2c =；（2）12±
【分析】
(1)利用平方根，立方根定义以及估算方法确定出a ，b ，c 的值即可；
(2)把a ，b ，c 的值代入计算即可求出所求．
【详解】
解：(1)根据题意得：a−2=4，a−3b−3=27，23<<，
∴a=6，b=−8，c=2；
(2)原式=2×62+(-8)2+23=72+64+8=144，144的平方根是±12．
∴2232a b c ++的平方根是±12.
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，平方根以及立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
26．（1）2，3 （2）①
5722x ≤<②330,,42
（3）00.5a ≤< 【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =
-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．
【详解】
（1） 1.87<>=2；=3；
（2）①∵12x <->= ∴1121222
x --<+≤ 解得5722
x ≤<； ②∵43x x <>=
∴41413232
x x x -<+≤ 解得3322
x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442
x =- 故所有非负实数x 的值有330,,
42； （3）21122
a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-
22x a =-<>
∵方程的解为正整数
∴21a -<>=或2
①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。