人教(A版)高中数学选修2-2课程教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(2)--分析法

2.2直接证明与间接证明（教学设计）（2）
2. 2 .1 综合法和分析法（2）--分析法
教学目标：
知识与技能目标：
（1）理解分析法证明的概念；（2）能熟练地运用分析法证明数学问题；（3）综合法与分析法结合使用证明数学问题。

过程与方法目标:
（1）通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；（3）通过实例引导学生灵活选用证明的方法。

情感、态度与价值观：
（1）通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。

（2）通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；（3）通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力。

教学重点：了解分析法思考过程、特点
教学难点：对分析法的思考过程、特点概括
教学过程:
一、复习回顾：
1、综合法定义：
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：
()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒
2、综合法的特点是：
由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

二、创设情境，新课引入
证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

三、师生互动，新课讲解：
例1：求证：
ab b a ≥+2
（a >0，b >0） 证明：
要证 ab b a ≥+2
， 只需证 ab b a 2≥+，
只需证
02≥-+ab b a ，
只需证
0)(2≥-b a 由于0)(2≥-b a 显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

这种方法叫做分析法。

分析法可表示为：
()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐
分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。

分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题1B 为真，从而有……
这只需要证明命题2B 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故命题B 必为真
例2（课本P39例4）：求证5273<+。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明
5273<+，
只需明
22)52()73(<+，
展开得 2021210<+，
只需证 521<，
因为2521<成立，所以
22)52()73(<+ 成立。

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真，
这只需要证明命题B 1为真，从而有……
这只需要证明命题B 2为真，从而又有……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故B 必真
在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。

但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例3（课本P41例6）：已知,()2k k Z π
αβπ≠+∈，且
sin cos 2sin θθα+= ①
2sin cos sin θθβ= ② 求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβαβ--=++。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角θ，因此第一步工作可以从已知条件中消去θ。

观察已知条
件的结构特点，发现其中蕴含数量关系2(s i n c o s )2s i n c o s 1θθθθ+-=，于是，由 ①2一2×② 得
224sin 2sin 1αβ-=．把224sin 2sin 1αβ-=与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为22221s sin (s sin )2
co co ααββ-=-,再与224sin 2sin 1αβ-=比较，发现只要把22221s sin (s sin )2
co co ααββ-=
-中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 证明：因为2
(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将 ① ② 代入，可得 224sin 2sin 1αβ-=. ③
另一方面，要证
22221tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβαβ--=++， 即证 22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ
--=++ ， 即证
22221s sin (s sin )2
co co ααββ-=-， 即证
22112sin (12sin )2
αβ-=-， 即证 22
4sin 2sin 1αβ-=。

由于上式与③相同，于是问题得证。

例4．用分析法证明：若0a >12a a +-．
12a a +≥
0a >∵，∴两边均大于零．
因此只需证22221
11422a a a a a a ⎫
++++++++⎪⎭，
只需证1a a ⎫
+⎪⎭， 只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2
212a a +≥，而221
2a a +≥显然成立，
∴原不等式成立．
四、课堂小结、巩固反思：
1、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。

2、分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题1B 为真，从而有……
这只需要证明命题2B 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故命题B 必为真
五、布置作业：
A 组：
1．分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的（A ）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是(
) A ．a －b >0 B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
[答案] C
[解析] 要证b 2－ac <3a
只需证b 2－ac <3a 2
只需证b 2－a (－b －a )<3a 2
只需证2a 2－ab －b 2>0.
只需证(2a ＋b )(a －b )>0，
只需证(a －c )(a －b )>0.
故索的因应为C.
B组：
1、（课本P44习题2.2 B组NO：1）
2、（课本P44习题2.2 B组NO：2）。