(2.2.2.1椭圆的简单几何性质)课时提升功课(含解析解析).doc

(2.2.2.1椭圆的简单几何性质)课时提升功课(含解析解析)
椭圆的简单几何性质
〔30分钟50分〕
【一】选择题〔每题3分，共18分〕
1、椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是〔0，13〕，另一个顶点是〔－10，0〕，那么焦点坐标为〔〕
A、〔±13，0〕
B、〔0，±10〕
C、〔0，±13〕
D、〔0，±〕
【解析】选D、由条件知，椭圆的焦点在Y轴上，且A＝13，B＝10，所以C2＝A2－B2＝169－100＝69，所以焦点坐标为〔0，±〕、
2、椭圆＋＝1与＋＝1〔0《K《9〕的关系为〔〕
A、有相等的长、短轴
B、有相等的焦距
C、有相同的焦点
D、有相等的离心率
【解析】选B、对于椭圆＋＝1〔0《K《9〕，
C2＝〔25－K〕－〔9－K〕＝16，
焦点在Y轴上，所以它们有相等的焦距、
3、〔2018·孝感高二检测〕假设椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕
A、B、C、D、
【解析】选B、由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2×2B＝2A＋2C，即2B＝A＋C，
所以5C2－3A2＋2AC＝0，等式两边同除以A2得5E2＋2E－3＝0，解得E＝或E＝－1〔舍〕、
4、〔2018·茂名高二检测〕椭圆＋＝1及以下3个函数：①F〔X〕＝X；
②F〔X〕＝SINX；③F〔X〕＝COSX，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有
〔〕
A、1个
B、2个
C、3个
D、0个
【解析】选B、我们知道：①F〔X〕＝X，②F〔X〕＝SINX都是奇函数，其图象关于原点对称，
而椭圆＋＝1的图象也关于原点对称，故①②函数图象能等分该椭圆面积；而③F〔X〕＝COSX是偶函数，其图象不关于原点对称，故F〔X〕＝COSX的图象不能等分该椭圆面积、
综上可知：只有①②满足条件、
5、设AB是椭圆＋＝1〔A》B》0〕的长轴，假设把线段AB分为100等份，过每个分点作AB
的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，那么｜F1A｜＋｜F1P1｜＋｜F1P2｜＋…＋｜F1P99｜＋｜F1B｜的值是〔〕
A、98A
B、99A
C、100A
D、101A
【解析】选D、设F2为椭圆的右焦点，根据椭圆的定义及对称性有：｜F1P1｜＝｜F2P99｜，｜F1P2｜＝｜F2P98｜，…，｜F1P49｜＝｜F2P51｜，
因此｜F1P1｜＋｜F1P99｜＝｜F1P2｜＋｜F1P98｜＝…＝｜F1P49｜＋｜F1P51｜＝｜F1A｜＋｜F1B｜＝2A、
故结果应为50×2A＋｜F1P50｜＝101A、
【误区警示】此题在求解过程中，易忽视｜F1P50｜，结果选C而致错、
6、〔2018·吉林高二检测〕椭圆＋＝1的离心率为，那么K的值为〔〕
A、－21
B、21
C、－或21
D、或21
【解析】选C、当椭圆的焦点在X轴上时，A2＝9，B2＝4＋K，得C2＝5－K，由＝＝，
得K＝－；
当焦点在Y轴上时，A2＝4＋K，B2＝9，得C2＝K－5，
由＝＝，得K＝21、
【二】填空题〔每题4分，共12分〕
7、〔2018·荆州高二检测〕椭圆的中心在坐标原点，焦点在Y轴上，且长轴长为12，离心率为，那么椭圆方程为、
【解析】因为椭圆的焦点在Y轴上，
所以设椭圆的方程为＋＝1〔A》B》0〕、
由得
由A2＝B2＋C2，得B2＝32、
故椭圆的方程为：＋＝1、
答案：＋＝1
8、〔2018·上海高考〕设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，假设AB＝4，BC＝，
那么Γ的两个焦点之间的距离为、
【解析】如下图、以AB的中点O为坐标原点，建立如下图的坐标系、
设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝⇒CD＝1，DB＝1，AD＝3⇒C〔1，1〕且2A＝4，把C〔1，1〕代入椭圆标准方程得＋＝1，A2＝B2＋C2⇒B2＝，C2＝⇒2C＝、答案：
9、假设点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，那么
·的最大值为、
【解题指南】设P〔X0，Y0〕，利用数量积的坐标运算，结合椭圆的范围解出、
【解析】由题意，F〔－1，0〕，设点P〔X0，Y0〕，那么有＋＝1，解得＝3，因为＝〔X0＋1，Y0〕，＝〔X0，Y0〕，所以·＝X0〔X0＋1〕＋＝X0〔X0＋1〕＋3
＝＋X0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为X0＝－2，因为－2≤X0≤2，所以当X0＝2时，
·取得最大值＋2＋3＝6、
答案：6
【误区警示】解题中容易不考虑X0的取值范围，而直接求出二次函数的最值，而导致错误、【三】解答题〔每题10分，共20分〕
10、设椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，离心率E＝，点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程、
【解题指南】先设椭圆方程为＋＝1〔A》B》0〕，M〔X，Y〕为椭圆上的点，
由离心率得A＝2B，利用两点间的距离公式表示出｜PM｜2，假设0《B《，那么当Y＝－B时｜
PM｜2最大，这种情况不可能，假设B≥，那么当Y＝－时4B2＋3＝7，从而求出B值，最后求得所求方程、
【解析】设椭圆方程为＋＝1〔A》B》0〕，M〔X，Y〕为椭圆上的点，由＝得A＝2B，｜P M｜2＝X2＋＝－3＋4B2＋3〔－B≤Y≤B〕，
假设0《B《，那么当Y＝－B时｜PM｜2最大，即＝7，
所以B＝－》，故矛盾、
假设B≥，那么当Y＝－时，4B2＋3＝7，B2＝1，从而A2＝4、所求方程为＋Y2＝1、
11、F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°、
〔1〕求椭圆离心率的范围、
〔2〕求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关、
【解析】〔1〕设椭圆方程为＋＝1〔A》B》0〕，
｜PF1｜＝M，｜PF2｜＝N，那么M＋N＝2A、
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4C2＝M2＋N2－2MNCOS60°＝〔M＋N〕2－3MN
＝4A2－3MN≥4A2－3·
＝4A2－3A2＝A2〔当且仅当M＝N时取等号〕、
所以≥，即E≥、
又0《E《1，所以E的取值范围是、
〔2〕由〔1〕知MN＝B2，
所以＝MNSIN60°＝B2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关、
〔30分钟50分〕
【一】选择题〔每题4分，共16分〕
1、椭圆2X2＋Y2＝2的两个焦点为F1，F2，且B为短轴的一个端点，那么△F1BF2的外接圆方程为〔〕
A、X2＋Y2＝1
B、〔X－1〕2＋Y2＝4
C、X2＋Y2＝4
D、X2＋〔Y－1〕2＝4
【解析】选A、由2X2＋Y2＝2得X2＋＝1，所以B＝1，C＝1、F1〔0，－1〕，F2〔0，1〕，取B 〔1，0〕，故△F1BF2外接圆方程为X2＋Y2＝1、
2、F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，假设椭圆的长轴长是6，且COS∠OFA＝，那么椭圆的标准方程为〔〕
A、＋＝1
B、＋＝1
C、＋＝1或＋＝1
D、＋＝1或＋＝1
【解析】选D、当焦点在X轴上时，COS∠OFA＝＝＝＝、
因为2A＝6，所以A＝3，C＝2，
所以B2＝A2－C2＝9－4＝5、
所以椭圆方程为＋＝1，
同理，当焦点在Y轴上时，椭圆方程为＋＝1、
3、〔2018·邯郸高二检测〕椭圆＋＝1〔A》B》0〕的离心率E＝，右焦点为F〔C，0〕，方
程AX2＋BX－C＝0的两个实根X1，X2，那么点P〔X1，X2〕〔〕
A、必在圆X2＋Y2＝2内
B、必在圆X2＋Y2＝2上
C、必在圆X2＋Y2＝2外
D、以上三种情况都有可能
【解析】选A、因为X1，X2是方程AX2＋BX－C＝0的两个实根，所以X1＋X2＝－，X1·X2＝－＝－、
由＋＝〔X1＋X2〕2－2X1X2＝＋1，
因为A》B，所以《1，所以＋1《2，
故点P〔X1，X2〕在圆X2＋Y2＝2内、
4、〔2018·衡水高二检测〕F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕
A、〔0，1〕
B、
C、D、
【解析】选C、设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为A，B，C，因为·＝0，所以M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距C为半径的圆、
又M点总在椭圆内部，
所以该圆内含于椭圆，即C《B，C2《B2＝A2－C2，
故E2《，所以0《E《、
【二】填空题〔每题5分，共10分〕
5、〔2018·辽宁高考〕椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，假设M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，那么＋＝、
【解析】根据题意，椭圆的左右焦点分别为F1〔－，0〕，F2〔，0〕，由于点M的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点M〔－3，0〕，线段MN的中点为椭圆的上顶点H〔0，2〕，那么M关于C
的焦点的对称点分别为A〔－2＋3，0〕，B〔2＋3，0〕，而点N〔3，4〕，
据两点间的距离公式得
＋＝＋
＝12、
答案：12
6、F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，那么椭圆C的离心率为、
【解析】如图，不妨设椭圆方程为＋＝1〔A》B》0〕，B〔0，B〕为上顶点，F〔C，0〕为右焦点，设D〔X，Y〕，
由＝2，得〔C，－B〕＝2〔X－C，Y〕，
即
解得【
所以D、
因为点D在椭圆上，所以＋＝1，
解得A2＝3C2，即E2＝，所以E＝、
答案：
【变式训练】〔2018·江苏高考改编〕在平面直角坐标系XOY中，椭圆C的标准方程为＋＝1〔A》0，B》0〕，右焦点为F，直线L方程为：X＝，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为D1，F到L的距离为D2，假设D2＝D1，那么椭圆C的离心率为、
【解题指南】利用D2＝D1构建关于参数A，B，C的关系式、
【解析】由原点到直线BF的距离为D1得D1＝，因F到L的距离为D2故D2＝－C，
又D2＝D1，所以－C＝⇒A2－C2＝
⇒1－E2＝E2，又＝，解得E＝、
答案：
【三】解答题〔每题12分，共24分〕
7、椭圆X2＋＝1〔0《B《1〕的左焦点为F，左、右顶点分别为A，
C，上顶点为B，过F，B，C三点作☉P，且圆心在直线X＋Y＝0上，求此
椭圆的方程、
【解题指南】根据圆的性质，得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，因此分别
算出FC，BC的垂直平分线方程，得到它们的交点为P，代入直线X＋Y＝0解出B2＝，
即可得出此椭圆的方程、
【解析】设圆心P的坐标为〔M，N〕，因为☉P过点F，B，C三点，所以圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为X＝、①
因为BC的中点为，KBC＝－B，
所以BC的垂直平分线方程为Y－＝②
由①，②联立，得X＝，Y＝，即M＝，N＝、
因为P〔M，N〕在直线X＋Y＝0上，所以＋＝0，
可得〔1＋B〕〔B－C〕＝0，
因为1＋B》0，所以B＝C，结合B2＝1－C2得B2＝，
所以椭圆的方程为X2＋＝1，即X2＋2Y2＝1、
8、椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求·的取值范围、
【解析】由＋＝1，得F1〔－，0〕，F2〔，0〕，
设P〔X0，Y0〕，那么＝〔－－X0，－Y0〕，
＝〔－X0，－Y0〕、
所以·＝〔－5〕＋、①
又＋＝1，所以＝4－，代入①，
所以·＝－1，
因为0≤≤9，所以0≤≤5，
所以－1≤·≤4，
所以·∈【－1，4】、
【误区警示】此题易出现只注意到≥0得出·≥－1的错误，错误的原因是忽视了点P〔X0，Y0〕在椭圆上，X0应满足X0∈【－3，3】、
【变式训练】椭圆＋＝1〔A》B》0〕，假设椭圆的离心率E满足≤E≤，且＋＝2，求椭圆长轴长的取值范围、
【解题指南】由＋＝2把B2用A2表示，代入关于离心率的不等式组中，求出2A的范围、
【解析】由＋＝2得B2＝①，
所以E2＝＝＝1－，
又因为≤E≤，所以≤1－≤，
结合①B2＝可得≤≤，
所以≤A2≤，≤A≤，即≤2A≤，
故长轴长的取值范围是【，】、。