导数及其应用运算单调性极值与定积分章节综合学案练习(二)含答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习
《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2020(x )＝（ ） A ．si nx B ．－sinx
C ．cos x
D ．－cosx （2020湖
南理)
2．已知函数3
3y x x c =-
+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =
（
）
A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1（2020大
纲理） 答案A
3．设0a >且1a ≠，则“函数()x
f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数
3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
4．已知32
()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中
正
确
结
论
的
序
号是 （
）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④（2020福建
文）
5．由曲线y=2x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ）112
(B)
14
(C)
13
(D)
7
12
（2020山东理7)
6．已知函数3
2
()39f x x x x a =-+++（a 为常数），在区间[2,2]-上有最大值20，那么此函数在区间[2,2]-上的最小值为（ ） A ． 37- B ． 7- C ． 5- D ． 11- 答案 B
7．设曲线
1*
()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n
x x x ⋅⋅⋅的值为（ ）
A.1n
B.11n +
C. 1n
n + D.1
答案 B
8．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223
+-++=
x a ax x x f
)0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f
（ ）
A .3
1
B .3
1
-
C .
3
7
D .31-
或35
答案
B
9．设球的半径为时间t 的函数()R t 。

若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C 9.
10．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为（ ）（全国
二文） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x
∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2
a 2+c 2的最大值为 ▲ ． 12．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β； ④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确命题的序号是________．
13． 曲线C ：x x x f 2sin )(+=在0x =处的切线斜率为 ___▲____ 14．曲线1
2
x y x +=-在ｘ＝１处的切线与直线10x by ++=，则实数ｂ的值为 ▲
15．给出下列命题：①函数)(x f y =的图象与函数3)2(+-=x f y 的图象一定不会重合；
②函数)32(log 22
1++-=x x y 的单调区间为),1(∞+；
③
ππ---=+⎰e dx e
x x
1)(cos 0
；
④双曲线的渐近线方程是x y 4
3±
=，则该双曲线的离心率是45．
其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 答案 ③
16．若曲线3
()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是
_____________. 答案 (,0)-∞
解析 由题意可知'21
()2f x ax x
=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以2311
20(0)(,0)2ax a x a x x
+
=⇒=->⇒∈-∞。

评卷人
得分
三、解答题
17．设函数2()x x
f x c e
=
+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈). (Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数. （2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））
18．设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .（2020年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WOR D 版）） 19．函数x
a
x x f -
=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）． ⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；
⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；
⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
20．已知函数3
21()23
f x x x =
+-. (Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点
2
11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′
(x )的图象上；
(Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值. （福建卷19）
本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +
++-∈在函数y =f ′(x )的图象上, 又0(N ),n a n +
>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=
所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上. (Ⅱ)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．C
2．因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2
()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值
由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±. 3．A 【2020高考真题山东理3】
【解析】若函数x
a x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。

函数3
)2()(x
a x g -=为增函数，则有02>-a ，所以2<a ，所以“函数x
a x f =)(在R 上为减函数”
是“函数3
)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件，选A. 4．C 【解析】
(0),(1)4,(3)275427(0
f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-=, 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<> 5．A
解析：A 由题意得:所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
⎰（111
1-1=3412
⨯⨯,故选A 。

6． 7． 8． 9．D
【解析】由题意可知球的体积为34()()3
V t R t π=，则'2'
()4
()()c V t R t R t π==，由此可得
'
4()()()
c R t R t R t π=，而球的表面积为2
()4()S t R t π=， 所以'2'
()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝，
即'
'
'
'
228()()24()()()()()()
c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ⨯表＝＝＝＝，故选D 10．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11． 12．①③ 13．3 14．3- 15． 16．
评卷人
得分
三、解答题
17．解:(Ⅰ)'
2()(12)x
f x x e
-=-,
由'
()0f x =,解得12
x =
, 当12
x >
时,'
()0f x <,()f x 单调递减 所以,函数()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞,单调递减区间是
1(,)2+∞, 最大值为
11
()22f c e
=+ (Ⅱ)令2()ln ()ln x x
g x x f x x c e
=-=-
- (0,)x ∈+∞ (1)当(1,)x ∈+∞时,ln 0x >,则2()ln x
x
g x x c e =-
-, 所以,2'
2()(21)x x
e g x e
x x
-=+- 因为210x ->,20x e x
> 所以 '
()0g x > 因此()g x 在(1,)+∞上单调递增.
(2)当(0,1)x ∈时,当时,ln 0x <,则2()ln x
x
g x x c e =--
-, 所以,2'
2()(21)x x
e g x e
x x
-=-+-
因为22
(1,)x
e e ∈,210x
e x >>>,又211x -<
所以2210x e x x
-+-< 所以 '
()0g x < 因此()g x 在(0,1)上单调递减.
综合(1)(2)可知 当(0,)x ∈+∞时,2
()(1)g x g e c -≥=--,
当2
(1)0g e
c -=-->,即2c e -<-时,()g x 没有零点,
故关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为0;
当2
(1)0g e
c -=--=,即2c e -=-时,()g x 只有一个零点,
故关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为1; 当2
(1)0g e
c -=--<,即2c e ->-时,
①当(1,)x ∈+∞时,由(Ⅰ)知
1
21()ln ln ()ln 12
x x g x x c x e c x c e -=-
-≥-+>-- 要使()0g x >,只需使ln 10x c -->,即1(,)c
x e +∈+∞;
②当(0,1)x ∈时,由(Ⅰ)知
1
21()ln ln ()ln 12
x x g x x c x e c x c e -=--
-≥--+>---; 要使()0g x >,只需使ln 10x c --->,即1(0,)c
x e
--∈; 所以当2
c e ->-时,()g x 有两个零点,故关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为2;
综上所述:
当2
c e -<-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为0; 当2
c e -=-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为1; 当2
c e ->-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为2.
18
．
(Ⅰ)
当
1
k =时,
()()2
1x f x x e x
=--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
x
(),0-∞
()0,ln 2
ln 2 ()ln 2,+∞
()f x ' +
-
+
()f x
极大值
极小值
右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ)
()()()1222x x x
x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令
()0f x '=,得
10x =,()2ln 2x k =,
令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()
0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()
ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}
3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令
()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则
()330k k e e ϕ'=-<-<
所以()k ϕ在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛
⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以存在01,12x ⎛⎤∈
⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()h k 在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+>
⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3
1k
M k e k =--.
19．
20．2
()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:
x (-∞,-2)
-2 (-2,0)
0 (0,+∞)
f ′(x )
+
-
+
注意到(1)12a a --=<,从而 ①当2
12,21,()(2)3
a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值；
②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值；
③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.
f (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗。