高中数学 1.4.2《正切函数的性质与图象》教学设计 新人教A版必修4

1.4.2《正切函数的图象与性质》教学设计
【教学目标】
1.理解利用正切线作出的正切函数图象.
2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.
3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】 复习
我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.
新授课阶段 一、
正切函数的图象：
当α在第一象限时， 正弦线sinα=BM>0 余弦线cosα=OM>0 正切线tanα=AT>0
那么，当α在其他三个象限 的情况呢？请同学们画 出其他三个象限的正切线. 我们将区间,
22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
进行
八等分，9个点分别为32
84
π
ππ
-
-
-，，
,0,
,88π
π-
3,.482πππ
，分别画出其中
384ππ--，，,0,,88ππ-3ππ，的正切线， 然后利用描点法画出正切函数的大致图象. M
A
x
O
由正切三角比的诱导公式可知：tan()tan παα+= 那么y =tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图象如下：
例1 （1）比较tan1670
与tan1730
的大小;
Y =tan α，α∈,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
π23-π-π
2
π
-2
ππ2
30
y
x
（2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5
17tan π
的大小. 解：(1)∵900
<1670
<1730
<1800
，而y=tanx 在900
～1800
上单调增函数， ∴tan1670
<tan1730
. (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
πΘ4π，52tan 5
17tan ππ
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
， 又：20,tan 0,4
522y x π
πππ⎛⎫
<
<
<= ⎪⎝⎭
在内单调递增， ⎪⎭
⎫
⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4
tan
即. 二、
正切函数的性质
观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z π
π⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭
， 2.值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π， 2
π+π−→−k x 时，∞−→−
x tan 当x 从大于()2
k k z π
π+∈，2
x k π
π−−
→+时，-∞−→−
x tan . 3.周期性：π=T .
4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.
5.单调性：在开区间,2
2k k k z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
内，函数单调递增. 从图象上看出函数y=tanx 的单调区间是,2
2k k k z π
πππ⎛⎫
-+
∈ ⎪⎝
⎭
，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？
考察0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
这个区间内任意取12x x 、
，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2
=
1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212
sin cos cos sin sin()
cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202
x x π
≤<<
，所以120.2
x x π
-
<-<则cosx 1、cosx 2>0， sin(12x x -)<0,从
而tanx 1-ta nx 2<0，y 1<y 2.即正切函数y=tanx 在0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上是增函数.由奇函数的性质可知，在,02π⎛⎤
-
⎥⎝⎦上正切函数y=tanx 也是增函数.由于y=tanx 的周期为π，则函数y=tanx 在开区间,2
2k k k z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
内单调递增. 除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx ，你还有什么方法能够证明它在开区间,2
2k k k z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
内单调递增吗？ 证法2：在0,2π⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
这个区间内任意取12,x x ，且12x x <,tanx 1-tanx 2=1212tan()1tan tan x x x x -+⋅. 因为120,2
x x π
-
<-<所以tan(x 1-x 2)<0，tanx 1≥0，tanx 2>0.因此1+tanx 1·tanx 2>0.
则tanx 1-tanx 2<0, tanx 1<tanx 2, 即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上是增函数.接下来的证明同前一种方法.
[说明]
在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在,2
2k k k Z π
πππ⎛
⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
每一个单调区间．．．．．．．上．
是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明. 例2 讨论函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=4tan πx y 的性质. 略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|π
π且; 值域：R;它是非奇非偶函数; 在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+-
4,43ππππk k 上是增函数;
令f (x)=tan(x+
4π)=tan(x+4π+π)=tan[(x+π)+4π]=f(x+4
π
)， 因此，函数f(x)的周期是π.
例3 求下列函数的单调区间：
13tan().24
y x π
=+
解：1,3tan 24
u x y u π
=
+=令那么， 124
u x π
=
+Q 是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),2
2
u k k k Z ππππ∈-+∈
1:24u x π∴=+由得12242
k x k πππππ-<+<+；
13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222
k k k Z ππππ-+∈（，）.
变式训练1：求函数3tan()24
x y π
=-+的单调区间.
解：因为原函数可以化为：3tan();24
y ππ
=--
;tan 24x u y u π
=
-=令所以的单调递增区间为：(,),22
u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24
u x π
∴=
-由得1.2242k x k πππππ-<-<+
13tan()24y x π
∴=-+的单调递减区间为3(2,2)22
k k k Z ππππ-+∈.
例4 求下列函数的周期：3tan(2).4
y x π
=+
解：
()3tan(2)4
f x x π
=+Q 3tan(2)4x π
π=+
+3tan[2()]24x ππ=++()2
f x π
=+，
2
T π
∴=
周期.
变式训练2：求解13tan()24
y x π
=+的周期. 解：
1()3tan()24f x x π=+Q 13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24
x π
π=++(2)f x π=+，
2T π
∴=周期.
（||
T π
ω=
周期） 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 解：令u=3x-
3
π
,则y=tanu ，由u≠2k k Z ππ+
∈可得：
5()318k x k Z ππ≠
+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫
∈≠
+∈⎨⎬⎩⎭
，且，. y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
的值域为R . 存在x=
9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3
π], 所以，y=tan 33x π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
是非奇非偶函数. 由,2
2
k u k π
π
ππ-
<<+
可以得到
5()318318
k k x k Z ππππ-<<+∈. ∴y=tan 33x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭在5(
,)()318318
k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
=tan 33x π
π⎛⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f(x)=y= tan 33x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的周期是3π.
课堂小结
小结和归纳这节课所学习的内容： 正切函数y=tanx 的性质：
定义域：|,2x x k k Z π
π⎧⎫
≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
值域：全体实数R 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=π 奇偶性：奇函数
单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫
-
++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数.
我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.
我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx 的周期是π的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.
作业 见同步练习 拓展提升
1. 函数)4
3tan(2π
+=x y 的周期是 ( )
(A)
32π (B) 2π (C)3π (D)6
π
2.函数)4
tan(x y -=π
的定义域为 ( )
(A)},4
|{R x x x ∈≠
π
(B)},4
|{R x x x ∈-
≠π
(C) },,4
|{Z k R x k x x ∈∈+
≠π
π (D)},,4
3|{Z k R x k x x ∈∈+
≠π
π 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2
π
)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )
(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:
(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)，
其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上).
6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域.
参考答案 1.C 2.D 3.C
4. tan2<tan3<tan1
5.(1)(4)(5)
6.,2
4x k x k k Z π
π
ππ⎧⎫
-+<<
+∈⎨⎬⎩
⎭。