2015届九年级上期末数学试卷二解析版

2015届九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，他们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率是（）
A．B．C．D．
2．（3分）圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于（）A．60°B．120°C．140°D．150°
3．（3分）关于x的二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）
A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）4．（3分）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24m，拱高为8m，则拱的半径为（）
A．12m B．8m C．14m D．13m
5．（3分）用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d＜r，则点P在⊙O的内部”首先应假设（）
A．d≤r B．d≥r
C．点P在⊙O的外部D．点P在⊙O上或点P在⊙O的外部6．（3分）已知⊙O的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为7.5cm，那么直线和圆的公共点的个数为（）
A．1B．3C．2D．0
7．（3分）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠BAC=（）
A．65°B．75°C．55°D．35°
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为．10．（3分）函数y=（x+1）（3﹣x）取最大值时，x=．
11．（3分）如图，已知P A、PB分别切⊙O于A、B，点C在⊙O上，∠BCA=75°，则∠P=．
12．（3分）在一个不透明的布袋里放4个白球和m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸一球．摸到黄球的概率是0.8．则m=．
13．（3分）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是．
14．（3分）正△ABC边长是12cm，则它的外接圆半径是cm，边心距是．
15．（3分）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t ﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行m才能停下来．16．（3分）如图，直径AB=6的半圆，绕B点顺时针旋转60°，此时点A就到了点A′，则图中阴影部分的面积是．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x+2=0（2）t2﹣t+=0．
18．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0的实数根是x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2+2x1x2＞﹣1且k为整数，求k的值．
19．（8分）小军和小明玩一种抽卡片游戏，他们拿了八张扑克牌，将数字为1、2、3、7的四张牌给小军，将数字为4、5、6、8的四张牌给小明，并按如下游戏规则进行：小军和小明各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，若和为偶数，小军赢，若和为奇数，则小明赢．
（1）请用树状图或列表法求小军获胜的概率．
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
20．（10分）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：=．
21．（10分）某企业2012年总产值是2500万元，总支出为2000万元，经市场调查发现该厂2013年总产值比2012年降低20%，预计2014年的总产值将比2013年提高6%，为了使2014年的销售利润与2012年持平，该厂的总支出平均每年应降低百分之几？（销售利润=总产值﹣总支出）
22．（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c与y=x2的图象形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）求函数解析式；
（2）求抛物线与x轴的两个交点A、B（A在B的左侧）及与y轴交点C构成的三角形面积．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．
24．（12分）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．
销售量p（件）p=50﹣x
销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+x
当21≤x≤40时，q=20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
25．（12分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为A．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．
26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，他们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率是（）
A．B．C．D．
考点：概率公式．
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：根据题意可得：大于3的有4，5三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到大于3的概率是．
故选B．
点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．2．（3分）圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于（）A．60°B．120°C．140°D．150°
考点：圆内接四边形的性质；多边形内角与外角．
分析：由圆内接四边形的对角互补，所以∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：5：4，即可求
∠D=180°×=120°．
解答：解：∵四边形ABCD圆内接四边形，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：5：4，
∴∠D=180°×=120°．
故选B．
点评：本题利用了圆内接四边形的性质即圆内接四边形的对角互补求解．
3．（3分）关于x的二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）
A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
考点：二次函数的性质．
分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
解答：解：∵这个函数的顶点是（1，2），
∴函数的开口向下，对称轴是x=1，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
故选C．
点评：本题主要考查了二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性．
[来源:学科网ZXXK]
4．（3分）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24m，拱高为8m，则拱的半径为（）
A．12m B．8m C．14m D．13m
考点：垂径定理的应用；勾股定理．
分析：将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．
解答：解：拱桥的跨度AB=24m，拱高CD=8m，
∴AD=12m，
利用勾股定理可得：
122=AO2﹣（AO﹣8）2，
解得AO=13m．
即圆弧半径为13m．
故选D．
点评：本题考查了垂径定理和勾股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的．
5．（3分）用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d＜r，则点P在⊙O的内部”首先应假设（）
A．d≤r B．d≥r
C．点P在⊙O的外部D．点P在⊙O上或点P在⊙O的外部
考点：反证法．
分析：用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立．解答：解：命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r则点P在⊙O的外部”的结论为：点P在⊙O的外部．
若用反证法证明该命题，则首先应假设命题的结论不成立，即点P在⊙O上或点P在⊙O 内，
故选：D．
点评：此题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法．
6．（3分）已知⊙O的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为7.5cm，那么直线和圆的公共点的个数为（）
A．1B．3C．2D．0
考点：直线与圆的位置关系．
分析：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．
解答：解：根据题意，可知圆的半径为6.5cm．
因为圆心到直线l的距离为7.5cm，
所以直线和圆是相离的关系，[来源:学*科*网]
所以有0个交点，
故选D．
点评：主要考查了直线与圆的位置关系与数量之间的联系以及直线和圆的位置关系的概念．
7．（3分）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
考点：圆锥的计算．
专题：计算题．
分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可．
解答：解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR，
∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，
∵πR=2πr，
∴R：r=2：1，
故选A．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长列出有关母线长和底面半径之间的关系式．
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠BAC=（）
A．65°B．75°C．55°D．35°
考点：旋转的性质．
专题：计算题．
分析：根据旋转的性质得∠ACA′=35°，∠A=∠A′，再利用垂直的定义得到
∠A′+∠ACA′=90°，则可计算出∠A′=55°，所以∠A=55°．
解答：解：∵△ABC绕点C顺时针旋转35°，得△A′B′C，
∴∠ACA′=35°，∠A=∠A′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′+∠ACA′=90°，
∴∠A′=90°﹣35°=55°，
∴∠A=55°．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为10．
考点：等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
专题：压轴题．
分析：由等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
解答：解：∵x2﹣6x+8=0，
∴（x﹣2）（x﹣4）=0，
解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10．
∴这个三角形的周长为10．
故答案为：10．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．
10．（3分）函数y=（x+1）（3﹣x）取最大值时，x=1．
考点：二次函数的最值．
分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
解答：解：∵y=（x+1）（3﹣x）=﹣x2+2x+3，
=﹣（x﹣1）2+4，
∴当x=1时，函数取最大值．
故答案为：1．
点评：本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，把函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．
11．（3分）如图，已知P A、PB分别切⊙O于A、B，点C在⊙O上，∠BCA=75°，则∠P=30°．
考点：切线的性质．
分析：首先连接OA，OB，由P A、PB分别切⊙O于A、B，可得OA⊥P A，OB⊥PB，又由点C在⊙O上，∠BCA=75°，可求得∠AOB的度数，继而求得答案．
解答：解：连接OA，OB，
∵P A、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥P A，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB=2∠BCA=2×75°=150°，
∴∠P=360°﹣∠AOB﹣∠OAP﹣∠OBP=30°．
故答案为：30°．
点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（3分）在一个不透明的布袋里放4个白球和m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸一球．摸到黄球的概率是0.8．则m=16．
考点：概率公式．
分析：由在一个不透明的布袋里放4个白球和m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸一球．摸到黄球的概率是0.8，可得=0.8，继而求得答案．
解答：解：∵在一个不透明的布袋里放4个白球和m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸一球．摸到黄球的概率是0.8．
∴=0.8，
解得：m=16，
经检验，m=16是原分式方程的解．
故答案为：16．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是1．
考点：三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理．
分析：根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
解答：解：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中．
14．（3分）正△ABC边长是12cm，则它的外接圆半径是4cm，边心距是2cm．
考点：正多边形和圆．
分析：根据题意画出图形，过点O作OD⊥BC于点D，则BD=BC=6cm，∠OBD=30°，再根据直角三角形的性质求出OD及OB的长即可．
解答：解：如图所示，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵△ABC是边长为12cm的等边三角形，
∴BD=BC=6cm，∠OBD=30°，
∴OB===4，OD=OB=2．
故答案为：4，2cm．
点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15．（3分）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t ﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行20m才能停下来．
考点：二次函数的应用．
分析：由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
解答：解：依题意：该函数关系式化简为S=﹣5（t﹣2）2+20，
当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．
点评：本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．
16．（3分）如图，直径AB=6的半圆，绕B点顺时针旋转60°，此时点A就到了点A′，则图中阴影部分的面积是6π．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
分析：由旋转的性质可得半圆A′B和和半圆AB的面积相等，所以阴影部分的面积和为扇形A′BA的面积，计算扇形A′BA的面积即可得到答案．
解答：解：∵半圆，绕B点顺时针旋转60°，
∴把阴影部分的半圆旋转到空白处，则阴影部分恰好为扇形A′BA，
∵AB=6，∠ABA′=60°，
∴S阴影=S扇形A′BA==6π，
故答案为：6π．
点评：本题主要考查扇形面积的计算，由旋转得出阴影部分的面积等于扇形A′BA的面积是解题的关键．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x+2=0
（2）t2﹣t+=0．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）先分解因式，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先去分母，再分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：解：（1）分解因式得：（x﹣）2=0，
x﹣=0，
x1=x2=；
（2）去分母得：t2﹣4t+3=0，
（t﹣3）（t﹣1）=0，
t﹣3=0，t﹣1=0，
t1=3，t2=1．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
18．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0的实数根是x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2+2x1x2＞﹣1且k为整数，求k的值．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）由方程有两个实数根，则其判别式大于或等于0可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系表示出题目中的条件，结合（1）可求得k的取值范围，可求得k 的值．
解答：解：（1）∵方程有两个实数根，
∴b2﹣4ac≥0，即22﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤2；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣2，x1x2=k﹣1，
∵x1+x2+2x1x2＞﹣1，
∴﹣2+2（k﹣1）＞﹣1，
∴k＞，
由（1）知k≤2，
∴＜k≤2，
∵k是整数，
∴k=2．
点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根⇔△＞0、有两个相等的实数根⇔△=0和无实数根⇔△＜0是解题的关键．
19．（8分）小军和小明玩一种抽卡片游戏，他们拿了八张扑克牌，将数字为1、2、3、7的四张牌给小军，将数字为4、5、6、8的四张牌给小明，并按如下游戏规则进行：小军和小明各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，若和为偶数，小军赢，若和为奇数，则小明赢．
（1）请用树状图或列表法求小军获胜的概率．
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先求得小军赢与小明赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
解答：解：（1）画树状图得：
[来源:学科网ZXXK]
∵共有16种等可能的结果，和为偶数的有6种情况，
∴小军获胜的概率为：=．
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
（2）不公平．
∴P（小军赢）=，P（小明赢）=1﹣=，
∴P（小军赢）≠P（小明赢），
∴这个游戏不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．（10分）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：=．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
专题：证明题．
分析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，然后由OC=OE，可得∠C=∠E，继而证得∠DOB=∠BOE，则可证得：=．
解答：证明：连接OE，
∵CE∥AB，
∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，
∵OC=OE，
∴∠C=∠E，
∴∠DOB=∠BOE，
∴=．[来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]
点评：此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
21．（10分）某企业2012年总产值是2500万元，总支出为2000万元，经市场调查发现该厂2013年总产值比2012年降低20%，预计2014年的总产值将比2013年提高6%，为了使2014年的销售利润与2012年持平，该厂的总支出平均每年应降低百分之几？（销售利润=总产值﹣总支出）[来源:学,科,网Z,X,X,K]
考点：一元二次方程的应用．
专题：增长率问题．
分析：设该厂的总支出平均每年应降低的百分率是x，根据销售利润=总产值﹣总支出，且使2014年得销售利润与2012年持平，可列出方程求解．
解答：解：设该厂的总支出平均每年应降低的百分率是x，
2500﹣2000=2500（1﹣20%）（1+6%）﹣2000（1﹣x）2
解得x=0.1=10%或x=1.9（舍去）．
该厂的总支出平均每年应降低10%．
点评：本题考查理解题意能力，考查的是增长率问题，发生了两年的变化，且根据销售利润=总产值﹣总支出，且使2010年得销售利润与2008年持平，可列方程求解．
22．（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c与y=x2的图象形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）求函数解析式；
（2）求抛物线与x轴的两个交点A、B（A在B的左侧）及与y轴交点C构成的三角形面积．
考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
专题：计算题．
分析：（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，加上a=，可直接得到所求抛物线解析式为y=（x+2）2﹣4；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征先分别求出A、B、C点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解答：解：（1）根据题意得，所求抛物线解析式为y=（x+2）2﹣4=x2+x﹣3；
（2）当x=0时，y=x2+x﹣3=﹣3，则C点坐标为（0，﹣3）；、
当y=0时，（x+2）2﹣4=0，解得x1=﹣6，x2=2，则A（﹣6，0），B（2，0），
所以△ABC的面积=×3×（2+6）=12．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O
的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．
考点：切线的判定；扇形面积的计算．
专题：压轴题．
分析：（1）首先连接OC，易证得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，证得BE与⊙O相切；
（2）首先设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，易求得OC的长，即可得∠BOC=120°，又由S=S四边形OBEC﹣S扇形OBC求得答案．
解答：（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠EOC=∠EOB，
∵在△EOC和△EOB中，
，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴∠OCE=∠OBE=90°，
即OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴CD=BC=×2=，
设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，
在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2，
∴x2=（x﹣1）2+（）2，
解得：x=2，
∴OC=2，∠COD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴CE=OC•tan60°=2，
∴S=S四边形OBEC﹣S扇形OBC=2S△OCE﹣S扇形OBC=2××2×2﹣×π×22=4﹣π．
点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
24．（12分）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．
销售量p（件）p=50﹣x
销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+x
当21≤x≤40时，q=20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
考点：二次函数的应用；一次函数的应用；反比例函数的应用．
专题：压轴题．
分析：（1）在每个x的取值范围内，令q=35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；（3）当1≤x≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+612.5，求出一个最大值y1，当21≤x≤40时，求出一个最大值y2，然后比较两者的大小．
解答：解：（1）当1≤x≤20时，令30+x=35，得x=10，
当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35，经检验得x=35是原方程的解且符合题意
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，y=（30+x﹣20）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y=（50﹣x）=﹣525，
即y=，
（3）当1≤x≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+612.5，
∵﹣＜0，
∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴随x的增大而减小，
当x=21时，最大，
于是，x=21时，y=﹣525有最大值y2，且y2=﹣525=725，
∵y1＜y2，
∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．
点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
25．（12分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为A．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：（1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，则∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；
（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；
（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．
解答：（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG=1，
∴CG=CE，[来源:学科网]
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；
（3）解：能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α==135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°
则α=360°﹣=315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．
26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；。