常见连续时间信号的频谱

2024/10/14
27 10
5. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf (-)
F(j) A
- 0
t
2
2
F(jt)/2
A
t
- 4π - 2π 2π 4π
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- 4π - 2π 2π 4π
f () A
- 0
2
2
28 11
6. 频移特性（调制定理）
11
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
cos0t
1 (e j0t 2
e-j0t ) F π[d (
- 0 ) d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
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12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
2
24 7
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F
1
F(j )
aa
证明:
F[ f (at)] - f (at)e-jt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
F[ f (at)]
1 a
-
-j x
f (x)e a dx
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
● 微分性质 [ f (n) (t)] ( j)n [ f (t)]
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1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
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29 12
6. 频移特性（调制定理）
F[
f
(t) cos 0t]
1 2
F[
f
(t)e j0t
]
1 2
F[
f
(t )e - j0t
]
1 2
F[
j(
-
0
)]
1 2
F[
j(
0
)]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
同理
F[
f
(t) sin 0t]
1 2j
若
f (t) F F ( j)
则
f (t) e j0t F F[ j( - 0 )]
式中0为任意实数
证明：由傅里叶变换定义有
F[ f (t) e j0t ] - f (t)e j0t e-jt dt - f (t)e- j(-0 )t dt F[ j( - 0 )]
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F[
f
(t)e j0t
]-
1 2j
F[
f
(t)e - j0t
]
-
j 2
F[ j(
-
0
)]
j 2
F[ j(
0
)]
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30 13
例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
乘后信号的频谱函数。
解: 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为
F
(
j)
A
Sa(
)
2
应用频移特性可得
F[ f (t) cos 0t]
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
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F ( j )
(π)
t
-0 0
(π)
0
正弦信号及其频谱函数
( ) π/2
0
-π/2
13
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
Cn
e
jn0t
n-
(0
2π ) T
两边同取傅里叶变换
常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度)
单边指数信号
双边指数信号e-a|t|
单位冲激信号d(t)
直流信号
符号函数信号
单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度
这些都应当是 已知的基本公式
虚指数信号
正弦型信号
单位冲激串
1
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一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t) e -at u(t)，a 0，
f(t) 1
y(t)=p(t-0.5) 1
t
0
1
t
0
1
解： f (t) -t p(t - 0.5)dt -t y(t)dt
由于 p(t - 0.5) F Y ( j) Sa (0.5)e- j0.5
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = - F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
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22 5
3. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t - t0 ) F F ( j) e- jt0
式中t0为任意实数
✓ 证明： F[ f (t - t0 )] - f (t - t0 )e-jt dt
F( j) - f (t)e-jt dt 0 e-at e-jt dt
e -(a j)t
1
- (a j) 0 a j
➢ 幅度频谱为 ➢ 相位频谱为
F ( j) 1 a2 2
() - arctan( ) a
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2
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
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一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F[sgn(t)e-
t
]
0
-
(-1)et
e- jt
dt
0
e-t e- jt dt
- e( - j)t 0
- e -( j)t - 1
1
- j
j - j j
2e-at ( sin t - a cos t) 2a
a2 2
0 a2 2
➢ 幅度频谱为 ➢ 相位频谱为
F( j) 2a a2 2
() 0
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4
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
(t)]
-
f (t)e-jt dt
-
d
(t)e
-
jt
dt
1
d (t)
F ( j)
0
4
26 9
尺度变换后语音信号的变化
f(t)
f(2t)
f(t/2)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
0
f (t)
0.05
f (1.5t)
0.1
0.15
0.2
f (0.5t)
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
/2
t
-0
0
F[ f (t) cos(0t)]
A/2
0
0
32 15
7. 时域积分特性
若f (t) F F ( j)
则-t
f
( )d
F
1
j
F( j)
πF (0)d
()
若信号不存在直流分量即F(0)=0
则-t
f
( )d
F
1
j
F( j)
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例3 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
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二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 {u(t) u(-t)} 1 {u(t) - u(-t)} 1 1 sgn(t)
2
2
22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
阶跃信号及其频谱
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10
二、常见周期信号的频谱密度
F[ fT (t)] F( j) F[
Cn
e
jn0t
]
Cn
F[e jn0t
]
n-
n-
F[ fT (t)] 2π Cnd ( - n0 )
n-
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二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式
1. 虚指数信号 e j0t (- t )
F ( j)
(2π)
由-1 e-jt dt 2πd ()
0 0
虚指数信号频谱密度
得F[e j0t ] - e-j(-0 )t dt 2πd ( - 0 )
同理:
F[e-j0t ] - e-j(0 )t dt 2πd ( 0 )
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7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
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18 2
傅立叶变换的基本性质
● 线性性质 ● 位移性质
[a f1(t) f2 (t)] a [ f1(t)] [ f2(t)]
[ f (t t0 )] e jt0 [ f (t)]
谱函数F1(j)。
f1 (t )
A
f (t)
A
0
T
t
- 0
t
2
2
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，
其对应的频谱函数为
F( j) A Sa( )
2
因为 f1(t) f (t - T ) 故，由延时特性可得
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F1 ( j) F ( j)e- jT
A Sa( )e-jT
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
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5
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。
F[1] lim F[1 e-| t| ]
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
lim [
0
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ f (t - t0 )] - f (x)e-j(t0 x)dx F ( j) e - jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域
中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
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23 6
例1 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频
f (t) e -at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2
t 0
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0
0
-π/2
3数信号 e-a|t|
F(j) 20 f (t) costdt 20 e-at costdt
1 2
F[
j(
-
0
)]
1 2
F[
j(
0
)]
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A {Sa ( - 0 ) Sa ( 0 ) }
2
2
2
31 14
例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
乘后信号的频谱函数。
解:
f (t)
A
F ( j)
A
- /2 0
/2
t
f (t) cos0t
A
- /2
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t -
t 0
F[sgn(t)] lim F[sgn(t)e- t ] 0
2
j
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一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F( j)
( )
π/2
0
0
-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
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一、常见非周期信号的频谱
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
-T 0 T
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t
-0 0 0
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4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
RX ( )
GX ()
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傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
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f (1 t) 2
-
0
f (t)
-
2
2
f (2t)
A
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-
4
4
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j) 则f (at) F 1 F ( j )
aa
2F (2 ) 2 A
t
- 0
F ( ) A
t
- 2 0 2
1 F(1)
22
1 A
2
t
- 4
20 3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * (- j) f * (-t) F F * ( j) F(j)为复数，可以表示为
F ( j) F ( j) e j() FR ( j) jFI ( j)
当f(t)为实函数时，有
|F(j)| = |F(-j)| ， () - (-)
FR ( j) FR (- j), FI (- j) -FI (- j)
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2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * (- j) f * (-t) F F * ( j)